книги / Микронапряжения в конструкционных материалах

контроля? Оказывается, что такая необходимость все же есть и она связана, например, с развитием теории усталостной прочности материалов. Металловедам давно известно, что всякая пластиче­ ская деформация, как бы она мала ни была, независимо от ее знака, сопровождается остаточным увеличением объема тела — пластическим разрыхлением, свидетельствующим о том, что в теле образуются микропоры и микротрещины.

В работе [135] было показано, что этот факт описывается уравнениями теории пластичности, если предположить, что кри­ терий пластичности хотя бы очень слабо, но все же зависел не только от среднего касательного напряжения, но и от среднего нормального напряжения. При этом остаточное изменение объема оказывается пропорциональным сумме площадей всех петель гистерезиса, образующихся на диаграмме напряжение—дефор­ мация. Отсюда представляют интерес теоретический анализ пла­ стических деформаций при циклических нагружениях, выявление их закономерностей, а это связано с необходимостью существен­ ного уточнения теории пластичности в сторону более строгого учета поведения статически неопределимой системы зерен, образующей

всовокупности поликристаллическое тело.

1.3.МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ВАРИАНТОВ

ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ

Теория пластичности является отделом реологии (общей науки о течении), в которой широко используются наглядные модели, имитирующие свойства тел со сложным поведением при их де­ формировании. Эти модели конструируются из элементов, харак­ теризующих упругость, пластичность и вязкость, связываемых различным образом в единую систему. При этом такие модели обычно рассматривают как одномерные, описывая поведение ма­ териала лишь при одноосном напряженном состоянии.

Ранее было показано, что понятия микронапряжений и микро­ деформаций, хорошо известные металловедам, могут быть созна­ тельно введены в феноменологическую теорию пластичности поли­ кристаллов. Оказалось, что микронапряжения посылают своего представителя в мир макроскопических явлений, наблюдаемых в лабораториях сопротивления материалов на хорошо известных и повсеместно распространенных испытательных машинах. Таким представителем и оказался макроскопический тензор pfJ-, работа которого на осредненных деформациях равна работе микрона­ пряжений на микродеформациях.

Указанное основное свойство р^, а также экспериментальные данные позволяют достаточно достоверно определить его через посредство влияния на картину макроскопической деформации. 11спользование этого тензора позволяет составить осредненное представление о картине микронапряжений и ее зависимости от пути нагружения. В пояснение всего этого приведем еще следую-

21

трения погашается равнодействующей натяжений обеих пружин. Пусть далее одна из сил (например, X) получает бесконечно малое приращение АХ, причем считается, что AF"> 0. Тогда тело начнет скользить по плоскости, однако не в направлении той силы, которая возросла, а в направлении равнодействующей сил X и Y, поскольку только в этом последнем направлении сила трения уравновешена.

Таким образом, из изложенной выше механической аналогии вытекает, что тензор приращения пластической деформации дол­ жен быть соосен тензору напряжений (а не тензору их прираще­ ний), как это и принимается в теории течения Рейсса.

При,распространении данной аналогии на случай, когда ма­ териал обладает упрочнением, имеются три возможности:

22

(рис. 1.4). Условие уравновешивания силы трения (уравнение

г де Xi, Ух — усилия в дополнительных пружинах.

Таким образом, в рассматриваемом случае граница текучести

Если сообщить силе X бесконечно малое приращение АХ (такое, чтобы равнодействующая сил X, У, Хх, Ух превосходила гилу трения), то тело начнет перемещаться к новому положению равновесия, причем вектор этого перемещения будет направлен

23

не в сторону внешней силы F и не в сторону ее приращения, а по направлению равнодействующей сил F и Т7! (показанному на рис. 1.4 штриховой линией), поскольку только в этом направлении сила трения является уравновешенной.

Нетрудно видеть, что описанной механической схеме в теории пластичности соответствуют уравнения теории Ишлинского.

Действительно, согласно равенствам (1.3), граница текучести не изменяет при деформации ни формы, ни размеров, тензоры

def/ и о'ц — рtf подобны (а следовательно, и соосны), грц есть тен­ зор упругих деформаций по отношению к напряжениям ptj. Физический смысл этих последних величин состоит в том, что они являются теми скрытыми «внутренними» [79 ] упругими микро­ напряжениями, которые возникают в теле при пластической де­ формации. После снятия нагрузки эти напряжения остаются (по­ скольку сами по себе они не могут преодолеть сил сухого трения, препятствующих пластическим сдвигам).

Можно рассмотреть и механическую схему, соответствующую случаю «в», когда упрочнение является эффектом, не полностью упругим. При этом условие уравновешивания силы сухого тре­ ния (в двухмерном случае) будет иметь вид

При нижнем предельном значении <и получаем границу теку­ чести, соответствующую идеальному эффекту Баушингера, а при верхнем его предельном значении — равномерно расширяющуюся границу текучести с неподвижным центром.

Применив к случаю «в» те же рассуждения, что и ранее, придем к такому выводу: тензор приращения пластических деформаций должен быть соосен не тензору истинных напряжений а}/, а тен­ зору активных напряжений %ц = о'ц — рц, причем pt/, как и в случае «б», — упругие остцточные напряжения, характеризую­ щие перемещение центра границы текучести. Случаю «в» соответ­ ствует система формул (1.4).

Для определения функций т и а требуются опыты на растяже­

ние и последующее обратное ему сжатие (рц = аец). Пластические свойства реальных квазиизотропных тел ближе

всего описываются схемой «в».

Следует при этом отметить, что материал, работающий по схеме «б», т. е. материал с идеальным эффектом Баушингера, по своим механическим свойствам, несомненно, ближе к действи­ тельности, чем материал, работающий по схеме «а».

24

Ввиду этого случай идеального эффекта Баушингера, описы­ ваемый формулами (1.3), представляет несомненный интерес и заслуживает изучения.

Из изложенного видно, почему в указанной теории тензор приращения пластических деформаций был принят подобным именно тензору активных напряжений %ц = о'ц — р а не тен­ зору aif. Объяснено также, почему рц были выражены через пластические деформации по принципу упругой взаимосвязи. Становится понятен и термин остаточные напряжения, поскольку напряжения р^ сохраняются в теле й после снятия внешней на­ грузки, так как сами по себе они не могут преодолеть пластиче­ ского сопротивления. Такого рода моделирование можно провести и для более сложных вариантов теории течения.

Г Л А В А 2

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ

Поликристаллы представляют собой конгломераты монокристаллических зерен, механические свойства поликристаллов опре­ деляются статистическими свойствами этих конгломератов. Име­ ются существенные успехи в отношении определения констант упругости поликристалла по заданным статистическим свойствам стационарного случайного поля, образуемого тензором модулей упругости всей совокупности кристаллов [109, 116, 19 и др.1. При этом оказалось, что даже в простейшем случае, когда поля напряжений и деформаций стационарны, для определения зави­ симости между математическими ожиданиями напряжений и упру­ гих деформаций в поликристалле приходится решать нелиней­ ную, стохастическую краевую задачу.

Распространение такого подхода на область пластического деформирования поликристалла в настоящее время нереально, гак как пластические свойства кристаллитов несравненно сложнее их упругих свойств. Последнее объясняется не столько тем, что пластические сдвиги развиваются в поликристаллах по дискрет­ ным плоскостям и направлениям, сколько неоднородностью про­ цесса скольжения, являющегося результатом перемещений в атом­ ной решетке многочисленных дефектов. Некоторые из них при ♦том исчезают, другие возникают, третьи образуют устойчивые скопления.

Трудность теоретической расшифровки экспериментальных кривых, отражающих связь между напряжениями и деформациями и кристаллах, объясняется тем, что эти кривые выражают весьма ♦ложные и до сих пор еще не поддающиеся истолкованию стати­ стические закономерности.

25

Таким образом, если при определении упругих свойств поли-* кристаллов приходится иметь дело лишь с одной статистикой (и притом более простой) — статистикой упругих зерен, то при определении пластических свойств поликристаллов необходимо считаться с гораздо более сложной статистикой дефектов. Все это предопределяет неизбежную нестрогость всех предпринятых до настоящего времени попщток построить теорию пластичности поликристаллов.

Например [23], кристаллы принимаются либо идеально пла­ стичными, либо упрочняющимися по обобщенной на кристаллы теории Ишлинского [51 ]. Кроме того, принимается гипотеза Кренера [233] о линейной связи между отклонениями напряже­ ний и деформаций от их средних значений. Указанные предполо­ жения позволяют рассчитывать кривые напряжений — дефор­ маций для поликристаллов при некоторых видах их нагружения.

Слабым местом исследований данного направления является, на наш взгляд, недостаточная их строгость с теоретической точки зрения и недостаточная обозримость с практической точки зрения. Внимание в этих работах сосредотачивается, главным образом, на скрупулезном учете анизотропии кристаллитов; что же ка­ сается их механических свойств, то последние (а также условия совместности деформации кристаллитов) довольно грубо схема­ тизируются. Не считая возможным (при современном состоянии физики твердых тел) разработку статистической теории пластич­ ности поликристаллов и не считая целесообразным детальный учет анизотропии кристаллитов ввиду невозможности достигнуть той же степени строгости в отношении описания их пластических свойств и оценки их взаимодействия, авторы предлагают ниже квазистатистический вариант теории пластичности, в котором при отказе от точного осреднения анизотропии кристаллитов, точного осреднения условий их взаимодействия и точного учета механических свойств отдельных кристаллитов тем не менее де­ лается попытка уловить статистический характер процесса пла­ стического деформирования.

Неравномерность пластической деформации, обусловленная как зернистостью структуры поликристалла, так и неравномер­ ностью распределения Дефектов в атомных решетках кристаллитов, приближенно учитывается путем представления тензора пласти­ ческой деформации в виде суммы (или в пределе в виде интеграла) элементарных пластических деформаций, каждой из которых отвечают своя поверхность текучести и система внутренних микроупругих сил. Указанный подход основывается на предположении, что статистика анизотропных кристаллитов может быть подме­ нена статистикой изотропных. частиц, обладающих 'различными пределами текучести.

Приемлемость данного предположения подтверждается рядом примеров, показывающих, что соответствующая теория способна описывать и даже предсказывать достаточно тонкие эффекты,

26

наблюдаемые при симметричных и несимметричных циклических нагружениях. Последний вид нагружений, относящийся к числу наиболее сложных .(поскольку при нем траектория пластического деформирования многократно меняет свое направление на про-' тивоположное) и в то же время являющийся достаточно простым с точки зрения вычислительной, служит своего рода «испытатель­ ным стендом», на котором следует проверять и сопоставлять раз­ личные варианты теории пластичности, желая достигнуть высо­ кой степени точности.

Идея описанного выше обобщения феноменологической теории пластичности родственна работам И. Бесселинга [13, 141. Однако упомянутый автор ограничился только простейшим вариантом этой идеи и не сделал попытки придать своей теории квазистатистический характер, что достигается только путем перехода к мо­ делям с бесконечным числом элементов. Рассмотрение таких мо делей интересно в том отношении, что позволяет вскрыть предель­ ные возможности тех или иных моделей с конечным числом эле­ ментов. Ясно, что если какой-либо эффект, наблюдаемый при пла­ стическом деформировании, не может быть описан моделью с бес­ конечным числом элементов, то тем более его нельзя Ъписать с помощью аналогичной модели, но с конечным числом элементов.

Такой подход, основы которого заложены в работах Г. Мазинга [240], А. Ю. Ишлинского [50], Н. Н. Афанасьева [6 ], позволяет по-новому, с единых позиций взглянуть на широкий класс теорий пластичности и ползучести, увидеть их общие черты и различия и четко проследить, какие возможности существуют в детализации теории для лучшего согласования с опытными данными.

2.1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ

Пластическая деформация объемного элемента поликристалла неоднородна ввиду его микроскопической и субмикроскопической неоднородности и анизотропности. В соответствии с этим осредненная по всему объему пластическая деформация может быть представлена в виде суммы

Здесь и в дальнейшем угловые скобки обозначают осреднение по объему. Объем элемента мыслится подразделенным на N об­

ластей, в пределах которых осредненные деформации равны е?/А). Каждая из таких областей состоит из множества частиц, не имею­ щих друг с другом общей границы, поскольку одинаковые средние

27

ствующих им пределов текучести. При этом [для того чтобы из­ бежать в ряду (2.1) весовых коэффициентов] допустим, что не­ которые области могут иметь и одинаковые пределы текучести. Тем самым можно будет учесть, что не все значения пределов текучести одинаково вероятны.

В каждый момент нагружения будут пластически деформиро­ ваться только те области, в которых пределы текучести окажутся превзойденными. Поэтому в ряду (2.1) некоторые из его членов будут равны нулю, причем число пластически деформированных областей увеличивается с ростом напряжений. Аналогично и осреднение напряжения в объемном элементе поликристалла можно представить в виде

N

<2-2)

k=\

(Ь\

где под о\]} подразумеваются средние значения девиатора напря­ жений в тех же областях объемного элемента, о которых гово­ рилось ранее.

В соответствии с (2.1) и (2.2) приращение работы пластиче­ ской деформации поликристалла, отнесенное к единице его объема,

Известно, что при деформировании по замкнутому циклу часть работы пластических деформаций всегда обратима, что обусловли­ вается существованием микроупругих сил, оказывающих сопро­ тивление остаточным сдвигам. Механизм возникновения этих микроупругих сил состоит в том, что условиям совместности деформации подчиняются не упругие и пластические деформаций порознь, а их сумма. Отсюда неоднородной пластической дефор­ мации всегда сопутствует и неоднородная упругая деформация, сопровождающаяся возникновением внутренних упругих сил, оказывающих сопротивление пластическому деформированию (а в некоторых случаях, например при разгрузке и противополож­ ном нагружении, наоборот, ему помогающих).

28

если интегрирование выполняется по любой траектории, замкну­ той в отношении всех е?/(/). Отсюда

причем для первоначально изотропных тел скалярные функции

должны зависеть только от инвариантов тензоров е?/г) (/= 1, 2, .... N).

В первом приближении предположим, что соотношения между

Что же касается тензоров диссипативных сил %ц\ то их будем считать связанными с локальными пластическими деформациями соотношениями типа сухого трения (типа Рейсса):

где < &) есть предел текучести &-й области объемного элемента поликристалла.

Допущение здесь возможности.знака равенства пределов теку** чести позволяет учесть неодинаковую вероятность пределов те­ кучести, о чем уже упоминалось. Математически это равносильно введению в ряд (2Г1) весовых коэффициентов

причем с ббльшими весами должны входить те члены, которым соответствуют области с наиболее вероятными значениями пре­ дела текучести.

Приведенных соотношений, однако, недостаточно для опреде­

ления осредненной пластической деформации (еу) по заданному закону изменения осредненных напряжений (Оу>. Сюда необ­ ходимо добавить соотношения, связывающие локальные напря­

жения <$> с (еу), (еу) и Следуя рекомендациям Е. Креиера [2331, примем, что локальные отклонения напряжений от их осредненных значений линейно связаны с аналогичными от­ клонениями пластических деформаций:

29

получаемое из (2.10) при тк = 0.

Аналогичное допущение принималось при определении эф­ фективного модуля упругости поликристаллов А. Рейссом [250].

2. Другой крайний вариант теории получается, если, сохранив неравномерность распределения напряжений, предположить, что равномерно распределены в элементарном объеме суммарные де­ формации, т. е. что

[263]. Этот последний вариант теории допускает наглядную ин­ терпретацию в виде модели, образованной из N параллельно соединенных элементов, каждый из которых состоит из пружины и груза, удерживаемого сухим трением (рис. 2.1).

То обстоятельство, что предложенные Е. Кренером соотноше­ ния (2.10) содержат в себе как крайние частные случаи модели поликристалла, рассмотренные А. Рейссом и В. Фохтом, говорит в пользу этих соотношений. Последнее дает основание полагать, что при надлежащем выборе тк можно получить теорию, доста­ точно близкую к экспериментальным данным.

Изложенный^ подход открывает возможности построения при­ ближенных вариантов теории пластичности, основанных на удер­ жании того или иного числа элементов N, причем чем больше их будет сохранено, тем более полно можно описать картину пласти­ ческого деформирования.

Самый простой вариант получается при N = 1. Он оказы­ вается тождественным известной теории Ишлинского [51]. При N = 2, 3, 4, ... и см = 0, /л* е= 2G получается теория, пред­ ложенная И. Бесселингом [13]. Но прежде чем подробно рассма-

30