книги / Микронапряжения в конструкционных материалах
..pdfгривать все эти возможности, целесообразно довести рассматри ваемую идею до ее логического завершения, перейдя к моделям г бесчисленным множеством элементов, и уже из них получить все частные случаи.
Введем следующие обозначения:
Е?/ (е?/)*— случайный тензор пластической деформации; S» (°tj) — случайней тензор напряжений;
Ti; (%) — случайный тензор диссипативных сил сопротивле ния пластическим деформациям.
В скобках указаны обозначения реализаций этих случайных величин. Сразу обратим внимание на то обстоятельство, что в даль нейшем осреднение будет .производиться не по объему, а по мно жеству реализаций, т. е. мы считаем правомерным пользоваться ?<р['одической гипотезой. Осреднение по множеству реализаций
будем обозначать угловыми скобками, например: (в?/), (о*/)
И Т. д.
Пусть интенсивность тензора сил сухого трения Т (т) будет единственным случайным параметром задачи. Тогда, считая, что плотность распределения этой случайной величины р (т) известна,
будем рассматривать другой параметр X (|), |
связанный с Т (т) |
|||||
следующей зависимостью: 1 = |
Ф |
р («') (к!. В этом елучае |
||||
оо |
( • ) |
* ! > |
I |
|
) |
|
<е?/> = |
J |
( * ) =dl, J e ? / ( 6 |
||||
D |
|
О |
|
|
|
|
|
оо |
|
1 |
|
|
(2.13) |
(аи) = |
J ои (<в) dO («) |
== J аи (£) |
|
|||
Соотношения типа Кренера примут в нашем елучае вид |
||||||
(аф — ai} = m (в?/ — (в?/)), т = const. |
(2.14) |
|||||
Локальный |
закон |
течения запишется |
так: |
|
||
т de,pii = |
<vtj dk. |
|
|
|
|
(2.15) |
Соотношение, обобщающее (2.4), (2.7), имеет вид
% |
* |
г |
|
= о „ -| с (5 , Е*)в?,(1')dl' |
|
||
|
|
О |
|
ИЛИ |
|
оо |
|
|
|
|
|
*(/ - |
аи — |.с (®* « ) вР1 (чг ) d<D (<®). |
(2.16) |
|
|
|
О |
|
1десь ядро с (£, 5*) должно быть [по аналогии с формулой (2.7) ] «нмметричным.
31
Подставляя |
(2.14) |
в |
(2.16), имеем |
|
|
itj = |
<о»> |
|
i |
Jс ( £ ,t ) в?, ( $ ') d g \ |
|
т- е р(1— |
(2.17) |
||||
|
|
|
О |
|
|
где с* (I, |
£') = |
с (g, |
£') — т. |
достаточна для |
|
Совокупность соотношений (2.13), (2.15), (2.17) |
|||||
определения осредненной пластической деформации (е?/) по за данной истории изменения осредненных напряжений. Для про извольного пути нагружения эта задача весьма трудоемка, но для частных видов нагружения она существенно упрощается. В процессе решения такой задачи выясняется область значений £,
где е?/ отлична от нуля, причем |
величина этой |
области зависит |
и от осредненных напряжений |
и от всей |
предыстории их |
изменения. Например, если нагружение пропорционально, то данная область в начале нагружения односвязна, а затем, при более сложных нагружениях, область может оказаться много связной, состоящей из нескольких отрезков интервала. Если с (£, £') = 0, то в одноосном случае поведение материала удо влетворяет принципу Мазинга.
Теория Ишлинского [51] и ее обобщение [79] учитывают влияние микронапряжений на микроскопические пластические деформации лишь в первом приближении. В частности, согласно этим теориям, центр области упругих деформаций после деформи рования по замкнутому циклу возвращается в начальное положе ние, т. е. материал вновь становится изотропным, что в действи тельности обычно не наблюдается. Для устранения этого недо статка в ряде работ [4, 136, 232 ] предложены уточненные варианты
теории, |
согласно |
которым |
|
хи = |
°tj — ае?, — J e?//i (т) dr, |
(2.18) |
|
ха — ач ~ j f2 |
(°t]> е?/) d&h', |
(2.19) |
|
xu — |
— J /з (<*„) dsp/- |
(2.20) |
|
В этих формулах под 0{/, е?/, <гг/ подразумеваются осредненные по всему элементарному объему поликристалла значения соответ ствующих величин. Функции (г), (аи) подбираются экспе риментально; интегрирование выполняется от начального недеформированного состояния до рассматриваемого деформирован
ного. Если учесть, что в (2.17) компоненты е?/ (|) отличны от нуля не на всем отрезке 0 1, а лишь на его части, размеры которой зависят от пути нагружения, т. е. что входящий в (2.17) интеграл по существу берется в пределах, изменяющихся с из-
32
менением деформации, то становится очевидным качественное сходство поправок, рекомендованных в работах [4, 36, 232], и поправок, предложенных выше. При этом предлагаемый под ход, разумеется, носит значительно более общий характер и, соответственно, открывает существенно больше возможностей в отношении описания свойств микронеоднородных квазиизотропных тел при пластическом их деформировании.
2.2. ДИСКРЕТНЫЙ ВАРИАНТ КВАЗИСТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ (N = 2)
Возможности теории рассмотрим в одноосном случае, ограни чившись дискретной' моделью при N — 2.
Определяющие соотношения имеют вид
о =F <®i — сцер(1) — с12ер(2>= 0, a =р т2 — с12ерЧ> — с22ер(2>= 0,
<ер> = -^ -(ер(»-(-ер(2)), |
(2.21) |
где <*!, <в2, с1а, е12, с22 — заданные постоянные величины. Верхний знак в формуле (2.21) относится к случаю, когда
деформации еР (*> и еР <2*возрастают, а нижний знак — к случаю, когда деформации убывают. Сказанное вытекает из основного свойства сил сухого трения, состоящего в том, что они всегда про тивоположны перемещениям, ими вызываемым.
Рассмотрим один из этапов нагружения о > 0, которому соот ветствует начальное значение локальных пластических деформа ций ер(1), еР,(2). Изменение пластических деформаций на этом этапе начинается в том случае, когда напряжения достигнут значения
а = щ + спе:(1)+ с 12< (2) |
(2.22) |
ИЛИ |
|
а = т2 + с,2<(1) + с22е : <2). |
(2.23) |
Нели одно из условий реализуется раньше, то пластическая де- I]Kфмация определяется одним уравнением. Например, при реа
лизации |
(2.22) |
имеет |
место а — «1 — сцвр(1) — Ci2ep(2) = 0, |
и котором еР(2) |
сохраняет постоянное значение. При дальнейшем |
||
нагружении могут реализоваться две новые возможности. |
|||
1. |
Изменяются начиная с некоторого момента обе составляю |
||
щие пластической деформации. В этом случае необходимо решить |
|||
гистему |
алгебраических |
уравнений (2.22), (2.23). |
|
* П овоиняов В. В. |
33 |
2. |
|
Изменяется |
вторая состав |
||||
ляющая пластической деформации |
|||||||
еР(2\ |
а |
|
достигнув |
некото |
|||
рого значения, остается в даль |
|||||||
нейшем |
величиной |
постоянной. |
|||||
Тогда |
достаточно |
рассмотреть |
|||||
лишь |
уравнение |
(2.23). |
|
|
|||
Остановимся |
на случае, |
когда |
|||||
с1Ъ< |
£12 < |
С22• |
При |
этом |
опи- |
||
сьшаемый |
уравнениями |
(2.22), |
|||||
(2.23) |
материал |
может оказаться |
|||||
циклически |
анизотропно |
упроч |
|||||
няющимся (при А = |
С\1С22 -- С\2> |
||||||
> 0) |
или |
циклически |
анизотро |
||||
пно разупрочнякяцимея (при Д < |
|||||||
< 0) (по терминологии |
А. П. Гу |
||||||
сенкова [28, 29]). На рис. 2.2—2.4 |
|||||||
показаны |
типичные |
результаты, |
|||||
даваемые |
|
формулами |
|
(2.22), |
|||
(2.23) |
для |
случая |
симметрич |
||||
ного циклического растяжения—
сжатия |
(при А > О, А < |
0, |
А = |
|
= 0). |
Было |
обращено |
особое |
|
внимание на |
материалы |
цикли |
||
чески |
анизотропные [177], |
по |
||
скольку их теоретическое |
описа |
|||
ние связано с наибольшими затру днениями.
Такие материалы, в частности, не могут быть описаны в рамках теории Бесселинга, даже если по ложить в ее основу модель с до статочно большим' количеством элементов. При асимметричных циклических нагружениях, когда напряжения изменяются в пре делах 0 а *< а0, предлагаемые формулы дают смещение петли гистерезиса и монотонный рост амплитуды пластической дефор мации, как это и наблюдается экспериментально (рис. 2.5). Если отказаться от условия с12 = с21> возможности теории существенно возрастут.
При желании сблизить резуль таты теории и опыта, оставаясь
34
при этом в рамках дискретной модели, состоящей всего из двух мементов, могут быть также рекомендованы формулы
de?,(t) = «8* d<Di (f,); |
dePi,(2) = |
йФ2 (v2); |
' t £ / ) = Oij — С ц 8? / ( 1 ) — |
C i 28? / 2 ) ; |
t (tf = Otj ■ c\2e?/1*— c22e?/2); |
*1 |
|
(2.24) |
|дс Фх (тД, Фа (<®a) — заданные монотонные функции, выбираемые на основании экспериментальных данных.
Эти формулы являются попыткой наделить двухэлементную модель свойствами, присущими моделям с большим числом эле ментов, что достигается путем отказа от предположения постоян- <ша сухого трения в каждом из элементов.
Рассмотренная в параграфе 2.1 теория, моделируемая системой
■ бесконечным числом элементов, |
приводит, если ее применить |
к одноосному нагружению, к формуле |
|
■1 |
|
±<5 (Б) = <*> - «в* (6 )- J с (1, |
Г) е” (Б') d r, |
о |
|
I не верхний знак относится к случаю возрастания еР , нижний — к случаю убывания еР. Коль скоро функции т и с (Б, Г) известны, мычисления по формуле не составляют затруднений. Первая из
.гих функций характеризует неоднородность диссипативных сил,
.1 иторая — неоднородность микроупругих сил, возникающих при пластическом деформировании.
Интересные результаты могут быть получены даже при наи
более простых предположениях относительно т (Б) |
и с (Б, Г)- |
|
Например, |
заслуживают внимания формулы <в = |
% = const, |
. (Б, Б') = |
Ле“ <*+*'> + В. |
|
Для конкретизации параметров теории достаточно провести опыты на одноосное циклическое нагружение с заданной ампли- !Удой напряжений.
2.3. О РЕОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ, ОТВЕЧАЮЩИХ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМ СООТНОШЕНИЯМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Варианты теории, изложенные в параграфах 2.1 и 2.2, допукают наглядную интерпретацию в виде элементов с бухим тре нием и упругих пружин, соединенных различным образом. Случай •л,, = 2G,. ск[ = 0 отвечает параллельному соединению элементов (рис. 2.1), случай mh = 0, См = 0, k Ф I — последовательному ■>единению элементов (рис. 2.6). Такие модели (в одномерном ■лучае) тщательно анализировал Б. Персо 1247]. Б. Персо, кроме (•но, привлек внимание к так называемым произвольным группи-
; |
35 |
Рис. 2.6
ровкам, которые, как видно из приведенных им примеров, име ют специфические законы раз вития деформации. Поведение таких группировок не может быть объединено в параллель ные или последовательные це почки. Несмотря на то что сам
Б. Персо рассматривал свои предложения не более чем набросок,
его |
подход заслуживает |
пристального |
внимания и обобщения |
|||
[62, |
150]. |
|
[150], если |
рассматривать |
реологическую модель, |
|
Оказалось |
||||||
изображенную на рис. 2.7, то она при |
mh = т дает |
|||||
СaU) —Gij = |
т (е?/ — (е?/)), |
= ^у* + Р//>> |
||||
P(f/J = |
i=l сыв?/(/), cki = |
cik9 |
|
|
||
|
|
|
|
N |
|
|
C^i — |
Akh |
Ь ^ Л |
"b £ |
Ahh |
k — /, |
|
(otj) = n (<e„> - <e?y)),
т. e. соотношения (2.4), (2.7)—(2.9).
2.4.ОБ УЧЕТЕ НЕСТАБИЛЬНОСТИ
ВТЕОРИЯХ ПЛАСТИЧНОСТИ
Уже анализ простейших одноповерхностных вариантов теории пластичности показал, что для согласования теоретических и опытных результатов необходимо существенное уточнение пара метров определяющих уравнений.
Статистический вариант теории пластичности, учитывающий нестабильность материала, в простейшей редакции имел вид [60]2
2G (е„& |
= |
(т ат$+%) |
|
dep |
( 2 .2 5 ) |
||
|
+ (1 — Р ) т е ? у; |
||||||
e iy = |
atj/(2G) |
+ |
е?у; |
|
= ( в ^ > ; |
(2 .2 6 ) |
|
|
|
гц |
|
||||
(в ? /) = |
J J |
J |
е ? /р |
(<р0,т) Рйщ, d p d m . |
(2 .2 7 ) |
||
36
■*десь <р0>Р* /я — параметры, характеризующие предел текучести, эффект Баушингера и упрочнение материала; р (<r0, р, т) — со вместная функция распределения случайных величин я0, р, /п.
Локальный закон течения (2.25) обладает линейным упроч нением и линейным эффектом Баушингера.
В работе [60] обсуждался случай, когда параметры ч?0> Р>т независимы, а в работах [57, 58] — случай, когда параметры связаны функционально. В последнем случае целесообразно определяющие уравнения записать иначе:
1
«о = *о (Е), р = р (S), т = т (I), <е?/> = J в?, d|.
Q
Ограничимся анализом одномерного нагружения и будем считать, что р = const, т = const.
Если осуществить знакопеременное нагружение, то согласно ( 2. 25) —(2.27) выполняется обобщенный принцип Мазинга в форме:
еР = F (з) — для |
прямого |
нагружения; |
|||
Дер |
/ |
As — 2Ре0) |
\ |
послеДУЮ1Дего нагружения |
|
2^1 |
= F |
2(1 — Р) |
J “ для |
||
противоположного |
знака (А — знак |
приращения). |
|||
Когда эффект Баушингера и упрочнение нелинейны, исполь |
|||||
зование теории [60] |
становится весьма громоздким, поэтому |
||||
о н а не нашла широкого применения. |
|
||||
Другой путь учета эффекта нестабильности в теории пластич |
|||||
ности был |
предложен в работе [58]. |
|
|||
При сохранении простейшего варианта теории, учитывающего мнкронапряжения, предполагалось, что локальный предел теку чести материала и коэффициент упрочнения в процессе нагруже ния изменяются и зависят от ряда макроскопических параметров,
з |
одной стороны, введение таких параметров часто не приводит |
к |
усложнению определяющих уравнений, а с другой — следует |
|
огласиться е той точкой зрения, что влияние осредненных пара |
м е т р о в должно сказываться на локальных законах деформирова ния не только через соотношения типа Кренера, но и непосред-
. Iпенно [121, 122]. Какие же дополнительные параметры надо нводить в теорию? В работе [58] рекомендовалось поступать так:
.мписать локальный закон течения в классической форме
оо
шер = 2Ge =F т, а = 2G (е — ер); (ер>= J ър йФ (т0), е = <е>
о
(2.28) I (читать т и m зависящими от одного макроскопического пара-
м.-ipa |
К, т. е. |
|
« - |
Т.Л (К), %= f, (То, К), m = f, (т0. К), |
(2.29) |
и- К — длина дуги траектории деформирования.
37
В частности, эти соотношения привели (т — const) к обобщен ному критерию Мазинга, близкому по форме к предложению В. В. Москвитина [1291:
прямое нагружение
т ( ер ) |
с |
/ |
2Ge |
\ , |
|
|
|
~ПЩ~ ~ |
\fi(K)/ ’ |
|
|
|
|||
последующее |
нагружение |
противоположного |
знака |
||||
т Дер |
|
_ |
р / |
2<5Де ___ ^ |
|
||
Ъ Ш + К Ш ~ |
\ h ( K ) + h ( К о ) ) ' |
|
|||||
Если же т — const, г = |
/а (%, К), то справедливы такие .со |
||||||
отношения: |
|
|
|
|
|
|
|
прямое нагружение |
|
|
* |
||||
2Ge = |
/а (г*, К), |
т <ер>= |
F (г*, К)\ |
|
|||
последующее |
нагружение |
противоположного |
знака |
||||
2G Ае = U (**. |
*) + |
h ('г*. А'о). т <Дер>= Fа (т*, /С) + F, (т*, К0), |
|||||
dFAxt , К) |
= |
ф , х |
а/«(т„ Д-) _ |
|
|||
d-t* |
|
' |
*' |
дт* |
|
||
Простейший случай реализуется, естественно, при |
|||||||
Л (**, К) = А (Ю% + в (К), |
|
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
2Ge = |
А (К) г* + |
В (К); т (ьр) = А (К) F (г*); |
F' (г*) = Ф (г*); |
||||
т < 8р) |
С Г 20е - В ( К ) ~ \ . |
|
|||
А (К) |
~ Г |
I |
А (К) |
J ’ |
|
т Д < е р > |
|
„ Г |
20Де — В (К) — В (Ко) |
1 |
|
А (К) + А (Ко) |
- Г 1 |
А (К) + А (Ко) |
J |
||
Если А = |
1, |
то |
|
|
|
(2.30)
(2.31)
Д < е р > |
„ Г 2б Д е — В ( К ) — f l ( / ( 0) “I |
(2.32) |
|
— T— = F l --------------2------------ _]• |
|||
|
|||
В работе |
[58] рассматривался вариант теории, в котором |
||
е = (е>. Естественно, что возможности теории возрастут, если дополнительно использовать упомянутые выше соотношения типа Кренера.
Выбор параметра К и истории его изменения должен быть про блемой специального изучения. Можно записать для такого пара метра специальные дифференциальные соотношения, а можно ограничиться и более простыми предложениями. Представляется, что в первом приближении зависимость К от (%) иг* (Я — длина дуги траектории неупругого деформирования; т* — ширина зоны активного нагружения г0) вполне достаточна для практики. Заме тим, что идея о явном включении параметра г* в определяющие уравнения теории была высказана в работе [55].
Включение параметра г* оказывает существенное влияние на изменение формы петли гистерезиса при циклическом нагружении
38
возможно лишь в рамках многоповерхностных теорий течения. Для иллюстрации характера получаемых соотношений рас-
1<>трим еледующий локальный закон: тяР = 2G& =F f (К, «о, ч?#), 8 = <в>.
Горда при прямом одноосном нагружении имеем: 2Ge = f (К, «*); т (в”) = F (К, 47*, т*);
(К, Тр, Т«) |
__ ф /(р \ |
д / (К> То, Тщ) |
(2.33) |
|
дт$ |
® |
дтр |
||
|
л- Ф (чг0) — интегральная функция распределения предела текугти материала.
При последующем активном нагружении противоположного
1лка |
имеют место формулы: |
|
|
||
2G |
Де = / |
(К, ч;., |
<с„) + / (Ко, ч:®, |
ч?2); |
|
m (Дер>= |
F (К, |
и,, к.) + F (Ко, |
<). |
(2.34) |
|
Следует отметить, что изменение поверхности текучести в про
чее нагружения носит более сложный |
характер [165, 177], |
||||
м вытекает из приведенных выше зависимостей. Это |
прежде |
||||
1чо касается поведения центра поверхности текучести. |
|||||
Представляется,, что |
класс |
локальных |
законов вида |
|
|
“ • ‘Ж ' + РМ’ |
+ |
= |
+ |
= |
+ |
|
|
|
|
|
(2.35) |
жжется достаточным для практики, если учесть, что параметры феделяклцих ‘уравнений будут зависеть (как указано выше) макроскопических параметров различной природы. Не следует 41 этом увлекаться, усложнением определяющих уравнений, и» привлекательность любой теории состоит в простоте ее исполь-
ШЛНИЯ.
И заключение отметим, что если в качестве локального закона формирования принять соотношения типа (2.24), то статистиче- -ш теория пластичности будет учитывать циклическую нестаиыюсть материала. Например:
ц (to, h) d E ^K d h ) = ti}>; dki =]Л*в?,(1,&?,(2);
ч (то, |
Х2) de1,{2)/(dX2) = т ^ ; |
dk2 = У & ?/(2)&?/,2); |
|
|||||
|
|
|
О ц — c u e ? /0 — Ci2e ? /2); |
|
|
PSi) + еРЯ) |
|
|
|
i ? |
= |
e?/ (T 0) = |
— |
V |
|
||
4/ |
= Otj — C\2&ij |
— с22ъ?/ |
{e?/} = |
J е?/(то) dQ) (TO) |
|
|||
■и |
двух, условиях |
осреднения: |
0 |
(еи) или ai} = |
(ai}) |
|||
= |
||||||||
I* (to) — заданная интегральная функция распределения |
пре- |
|||||||
i.i |
текучести материала]. |
|
|
|
|
|||
39
ГЛАВА 3
ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНЫХ МИКРОНАПРЯЖЕНИЙ НА МАКРОСКОПИЧЕСКУЮ ДЕФОРМАЦИЮ
ПОЛИКРИСТАЛЛОВ
В гл. 2 предложен и проанализирован квазистатистический вариант теории пластичности при условии, что основным случай ным параметром является интенсивность сил сухого трения г. Эта величина служит физической характеристикой поликри сталла, закон распределения которой считается известным. Зада ние плотности вероятности р (т) определяет разброс локальных пределов текучести. В этой главе будет выяснено влияние слу чайного поля начальных упругих микродеформаций на собтношения между макронапряжениями и макродеформациями и сфор мулирована общая теория пластичности, учитывающая микроде формации.
3.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ -ПОДХОДА
Начнем анализ с изучения локального закона течения
defy |
|
|
%i} = <г dk ’ «у = |
- «в?/- |
(3.1) |
Все результаты, однако, легко могут быть распространены и на закон те чения вида
йяРц |
(3.2) |
хи = т ~зг> хи = 20 <®у> - meh- |
Эти варианты в случае неучета начальных микронапряжений, как указывалось в гл. 2, имеют определенные недостатки; тем интереснее проследить, какие новые явления могут быть объяс нены с их помощью. Отсутствие же интегральных членов в урав нениях (3.1), (3.2) позволит существенно упростить анализ реше ния. Обратим внимание на то обстоятельство, что уравнения
записаны для реализаций случайных тензоров е?/, тг/, которые зависят как от истории нагружения, так и от нескольких случай ных аргументов. Поэтому для каждой реализации соотношения (3.1) и (3.2) могут быть разрешены в ряде случаев и без конкре тизации статистических характеристик поликристаллического ма териала.
Действительно, если задан путь нагружения, то легко разре шаются уравнения (3.1), если же задан путь деформирования, то легко решаются уравнения (3.2). Более того, исследовав поведение локальных пластических деформаций по уравнению (3.1), мы тем самым попутно получим поведение локальных пластических де-
40