книги / Микронапряжения в конструкционных материалах

Подставляя зависимости (3.149)’, (3.150)] в соотношения Кренера (3.71), находим

Умножим правую и левую части соотношений Кренера в форме

Очевидно, что равенство в (3.152) достигается для тех направ­ лений а1} и значений То, для которых имеет место микропластическое деформирование.

Обозначим множество направлений активного микропластического деформирования через £2. Тогда условие течения пред­ ставим в виде

Равенство в последнем выражении достигается для всех а1} £ О. По аналогии с тем, как это сделано в параграфе 3.4, функцию Е (то, Щ)) здесь можно трактовать как функцию интенсивности

разрешающих деформаций. Из неравенства (3.153) следует, что микропластическое деформирование в направлении ац для ча­ стицы с пределом текучести по деформации То может осуще­ ствляться только в том случае, когда интенсивность разрешаю­ щих деформаций окажется равной проекции девиатора средних

формирования из (3.153) очевидным образом следует дифферен­

Здесь, как и выше, точка обозначает производную по времени. Последнее уравнение является основным разрешающим урав­ нением теории микродеформации при жестком нагружении. Оно служит для определения интенсивности скорости микропласти-

определения области активного микропластического деформиро­ вания. При известной функции ёр (у0, &ц) и области Q скорость макропластической деформации определяется по формуле (3.74).

81

т. е. в конечном счёте представляются разрешенными относи­ тельно скоростей изменения напряжений, в отличие от (3.102), которые являются разрешенными относительно скоростей де­ формаций.

Скорость изменения разрешающих деформаций зададим по

atl = — aq

(3.156)

Воспользовавшись основным разрешающим уравнением тео-' рии (3.154), с учетом явного выражения для скорости изменения интенсивности разрешающих напряжений (3.156) находим

B\kp [aq, t) -|- В % В з J ёр (aq, t) dQ = (ёц)

а

Введем в рассмотрение девиатор активных деформаций

= (bci) — Вз (ё?/).

Тогда уравнение для определения ёр (aq, t) представится в сле­ дующем виде:

где Fq= | a'qdQ'i щ = B3/Bi.

Соотношения (3.157) позволяют полностью решить задачу построения определяющих уравнений теории микродеформации при жестком нагружении, когда известна область Q направле­ ний активного микропластического деформирования. Для опре­ деления самой области Q необходимо воспользоваться неравен­ ством (3.153) и условием активности процесса микродеформйрования для направления, которое имеет вид ёр (aq, t) > 0. Оче­ видно, что для исследования этих неравенств требуется знать

82

интенсивность разрешающих деформаций Е (at}, ij, которая опре­ деляется интегрированием соотношений (3.156) по времени.

Соотношения (3.156) с учетом явного выражения (3.157) для скорости изменения интенсивности микропластической деформа­ ции ер (atj, t) можно привести к виду

Зависимости (3.158) дают возможность построить интенсив­ ность разрешающих деформаций для произвольного жесткого нагружения и из (3.153) совместно с условием ёр {aijy t) > О найти область й при произвольном нагружении.

Подстановка выражений (3.157) в формулу (3.74) приводит

где обозначено, как и выше, Gm i = J а'цаkidQ\

Разрешая полученные зависимости относительно скорости из­ менения пластической деформации, находим

Из (3.155) с учетом (3.159) находим определяющие соотношения теории микродеформации при жестком нагружении:

Как отмечалось выше, определяющие соотношения в такой трак­ товке разрешающих уравнений теории микродеформации пред­ ставляются в виде, разрешенном относительно скоростей измене­ ния напряжений.

83

3.8. ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ МАТЕРИАЛА

Для конкретизации определяющих соотношениЗ теории микро­ деформации необходимо установить правила построения универ­ сальных функций материала A lt Л2, р, тр В связи с этим в пер­ вую очередь необходимо задать, от каких параметров процесса деформирования или нагружения должны зависеть эти функции.

В качестве таких переменных могут быть использованы: Я —> площадь гиперсферического сегмента единичного радиуса или «тех — максимальный угол отклонения направления активного микропластического деформирования от направления девиатора активных напряжений (ri}) и <Х> — длина траектории макропластического деформирования. При таком подходе параметр Я или атах характеризует циклически стабильные свойства, тогда как введение параметра (X) позволяет описать явления цикличе­ ской нестабильности. Очевидно, что нецелесообразно решать воп­ рос о построении универсальных функций материала для описания всех возможных свойств материалов. Здесь ограничимся рассмо­ трением циклически упрочняющихся и циклически стабильных материалов, подчиняющихся обобщенному принципу Мазинга. Для

и 1) = 1. Причем функцию р можно считать слабо изменяющейся по переменной (к).

Для построения алгоритма определения универсальных функ­ ций материала рассмотрим в рамках теории микродеформации мягкое циклическое нагружение. Процесс такого нагружения определим так же, как и в параграфе 3.6 (п. 2):

(CTi/) = 0°ц (— 1)Й 1(t — tk—l) Т0; 0°ц</(1 = 1.

Задача построения зависимости О ь~ е£ для такого закона из­ менения напряжений сводится к интегрированию соотношений (3.103) . Как было показано выше, область активного микропла­ стического деформирования в этом случае представляет собой гиперконус в девиаторном пространстве напряжений с осью, направленной вдоль а®/, и с углом раствора при вершине, равным ak. С учетом этого упрощающего обстоятельства соотношения (3.103) , как показано в параграфе 3.6, принимают следующий вид:

84

Соотношения (3.164) и (3.165) устанавливают зависимости для At = At (ашах) и р = fjb (ашах), так как в данном случае а шах = а*. Если же в качестве параметра принимается Q, то зависимости Ах = Ai (D) и р. = р>(£2) можно построить, используя формулу (3.162), связывающую Q с аг. Заметим, что при монотонном на­ гружении представления универсальных функций материала через а тах и Q эквивалентны, тогда как при сложном активном нагружении в угловой точке излома траектории нагружения пара­ метр а шах изменяется непрерывным образом, a Q — скачком.

Вприведенных выше формулах остается неизвестной функция

р= р (е?), определяемая при простом нагружении. Для построе­ ния этой функции необходимо привлекать дополнительные эк­ спериментальные данные. В частности, можно использовать ре­ зультаты экспериментального построения поверхности равного уровня пластической деформации, причем процесс построения

функции р (е?) можно существенно упростить, если принять р = рQf (ef). В таком случае для определения р0 достаточно иметь данные для одной поверхности. Отметим, что в литературе от­ сутствуют, как правило, данные комплексных эксперименталь­ ных исследований, позволяющие реализовать в полной мере алгоритмы построения универсальных функций материала. Поэ­ тому в отдельных случаях приходится изменять описанные ал­ горитмы; так, в частности, для нахождения постоянной а можно использовать эксперименты на сложное нагружение. Постоянная а при этом определяется простым подбором.

Вдальнейшем при проведении конкретных расчетов функции /,

Фи р принимались в следующем простейшем виде:

В этом случае задача конкретизации уравнений состояния теории микродеформации сводится к определению постоянных т0, Оо, п, г0, х0, пи л2 и формулы (3.164), (3.166) преобразуются к виду

На рис. 3.9 приведены результаты сравнения теоретических данных с экспериментальными [129] при знакопеременном на­ гружении. При проведении теоретических расчетов принято <с0 = 80 МПа, п = пх = Пг = 2,5, х0 = а0а, а0 = 0,53, а = 0,13.

86

поведение металлов. Для учета циклической нестабильности достаточно, как отмечалось выше, принять р слабо изменяющейся функцией длины траектории макропластического деформирова­ ния. Зависимость функции р от (к) можно определить из экспе­ риментов на мягкое циклическое нагружение с постоянной амплитудой напряжений. Если дополнительно принять, что к =

=a ((A,)) f (б ? ), т о с учетом введенных обозначений приходим к про­

стой формуле для описания циклически нестабильного поведения:

ок + ок- 1 = 8* {TQ + / [(eg + 8fe_i)/efe]},

На рис. 3.10 приведены результаты сравнения эксперименталь­ ных данных [129] с теоретическими, построенными с помощЫо

87

3.9. ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ТЕКУЧЕСТИ

ПО ТЕОРИИ МИКРОДЕФОРМАЦИИ

Предположим, что в результате предварительного нагруже­ ния достигнуто некоторое распределение разрешающих напря­ жений. Тогда задача построения поверхности текучести и равного уровня пластической деформации сводится к построению области активного микропластического деформирования при заданной функции Т (ai}, t), отличной от постоянной.

Пусть предварительное нагружение будет мягким цикличе­ ским, как описано в п. 4 параграфа 3.6. Тогда функция интенсив­ ности разрешающих напряжений в конце k-ro полуцикла нагру­ жения будет определяться формулами (3.147):

Как следует из записанных зависимостей, поверхность теку­ чести будет состоять из трех частей, отвечающих различным фор­ мам задания разрешающих напряжений.

Пусть 0 •< 0ft <; ак, где 0* — направление начального микро­ пластического деформирования после предварительного цикличе­ ского нагружения. В этом случае из (3.77) и (3.167) следует

Отсюда находим, что поверхность текучести в точке предвари­ тельного нагружения ак (t) = ак (tk) сингулярна, так как ра­ венство в (3.168) достигается при любых Кк из указанного выше промежутка. Если же ак (t) Ф ак (th) и cos ак < Хк < 1, то поверхность будет представлять гиперконус в девиаторном про­

Последнее неравенство приводит к поверхности текучести, пред­ ставляющей собой гиперсферу радиусом R = т0 4- и (tk) с цент­

88

точки, определяющей положение центра гиперсферической ча­

cos ah+1 = [т0 + к (/)]/[rft+1 (/)].

Полученные выше результаты дают возможность по экспери­ ментальным данным построить центр гиперсферической части поверхности равного уровня пластической деформации, сформи­ ровавшейся после первого полуцикла нагружения, и найти по­ стоянную а = р (е?)// (ef).

На рис. 3.11—3.13 показаны результаты обработки экспери­ ментальных данных, приведенных в работах [180, 265]. На рис. 3.11 изображено развитие текучести, отвечающее эксперименталь­ ным результатам работы [265]. При построении принято: а —

— 0,5; ф (е?) = 3ef. Соответствующие им кривые равного уровня пластической деформации при допуске 0,05 % на остаточную пла­ стическую деформацию приведены на рис. 3.12, где кружочками показаны экспериментальные результаты [265].

На рис. 3.13 показаны кривые равного уровня пластической деформации при допуске 0,2 %, отвечающие экспериментальным

ментальные данные [180] для начальной поверхности, А — после первого и V — после третьего полуциклов нагружения с амплиту­ дой 2 % остаточной деформации; □ — поверхность при одноос­ ном растяжении до 3 % остаточной деформации. При построении теоретических кривых принято: а = 0,26; ф = 0,16/ (А,).

89

2 О

500

Приведенные данные показывают, что теория микродеформации дает удовлетворительное описание экспериментальных резуль­ татов.

3.10. УГЛОВАЯ ТОЧКА ТРАЕКТОРИИ НАГРУЖЕНИЯ ПОСЛЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО МОНОТОННОГО НАГРУЖЕНИЯ

Пусть в процессе монотонного нагружения достигнута область направлений микропластического деформирования й 0. Зададим скорость изменения девиатора напряжений (д'ц) и построим опре­ деляющие соотношения теории микродеформации, не ограничивая при этом ориентации девиатора {д'ц> по отношению к (гф. Оче­ видно, что если девиатор {оц) удовлетворяет условиям моно­ тонности нагружения (3.124), то поставленная задача уже решена в п. 1 параграфа 3.6.

Предположим, что условия монотонности нарушаются, т. е. угол излома траектории нагружения больше угла монотонности. В этом случае область направлений активного микропластического

Неравнство (3.169) необходимо дополнить условием течения (3V77), из которого в условиях предварительного монотонного на­

Введем в рассмотрение локальную систему координат по следу­ ющему правилу: первую ось в девиаторном пространстве напра-

90