книги / Проектирование стальных мостов с учетом пластических деформаций

Выражения (5.40) — о б о б щ е н и е уравнений теории тонко­ стенных стержней в упругопластической стадии при использовании комбинированного метода.

5.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И РАСЧЕТ БАЛОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Определение перемещений — важнейший этап во всех видах рас­ четов. При развитии ограниченных пластических деформаций имеют место особенности в их вычислении. Рассмотрим д в а х а р а к ­ т е р н ы х случая: 1) растяжение (сжатие) с одновременным изги­ бом и чистым кручением замкнутого недепланирующего сечения: 2> растяжение (сжатие) с одновременным изгибом и стесненным круче­ нием сечения открытого профиля с исчезающе малой жесткостью чистого кручения. Формулы для определения перемещений для пер­ вого (Аг) и второго (Д2) случаев:

при ир = 1/р; Фр = y!r0

гдеЗ\Г, М, Мк, В — силовые факторы от единичной нагрузки, приложен­

ной в направлении искомого перемещения; ер , кр, Фр, ф £—кинематические факторь), вызываемые внешней нагрузкой; Го — радиус вписанного круга.

Выражение J В Ф"р dx — это работа внутренних сил è сече­

Используя это выражение, получим зависимость для кривизны

Учитывая, что ет/Л = M njl/(EJc), можно записать: tyi\=d\A (Cj X)].

Здесь h — половина высоты сечения; я|зн — функция пластичности для всего сечения стержня.

Для решения задач изгиба балок методом дополнительных на­ грузок выражение для дополнительного момента находят из усло­ вия

^ н = ^пл/(Мцл + ЛМ).

Отсюда АМ/МТ = А (с, X) — с или AM = М т[А (с, X) — с].

Таким образом, функция пластичности фи сечения, а также до­ полнительный момент AM в этом сечении зависят от функции A (ct X), которая для различных видов сечений и типа диаграммы деформирования может быть табулирована. Для диаграммы дефор­ мирования с упрочнением (с модулем £ ')

значение гртях зависит от с = М пл/Мт; X = 1 — Е'/Е. Следова­ тельно, А (с, X) ^ 1, а для упругой стадии работы сечения А (с, X) = 1; при образовании пластического шарнира А (с, X) = 1; при образовании пластического шарнира А (с, X), по значению стремит­ ся к бесконечности (при X = 1, что соответствует диаграмме Прандтля).

Величина ер тох зависит от действующего в сечении изгибающего момента М ап и в случае коробчатого сечения и диаграммы Прандтля может быть выражена по формуле, полученной автором [47]:

*ршах = 8т ( | / Г 3_ 2с + б в ( 1_ в ) ~ ' ) ПР" “ = s / c T ‘

Если а = О, получим формулу для прямоугольного сечения. Окончательно для рассматриваемого случая функция А (<с, X = 1) имеет вид

Дифференциальное уравнение изгиба балок по методу перемен­ ных параметров упругости

Дифференциальное уравнение изгиба балки по методу дополни­ тельных нагрузок:

Возможна другая запись дифференциального уравнения, а имен­

но:

d4 ш

закону распределения напряжений и деформаций.

Эта форма записи удобна при использовании метода последова­ тельных приближений.

Для иллюстрации изложенного приведены на рис. 5.8 кривые зависимостей фи и ДМ Мт от степени исчерпания несущей способ­ ности сечения. Отметим некоторые особенности этих кривых. При значении аргумента с = Мпл/Мт, равном 1,0, функция пластично­ сти равна тоже 1,0, а дополнительный момент — нулю. Это — гра­ ничное состояние, соответствующее переходу в упругопластическую

ция пластичности равна нулю, что выражает факт образования в сечении пластического шарнира. Этим же значениям аргумента со­ ответствуют асимптомы на графике для дополнительного момента. Таким образом, при функции пластичности, равной нулю, дополни­ тельные моменты стремятся к бесконечно большим значениям. Сле­

Рис. 5.9. Графики и эпюры к расчету балки на подвижную нагрузку

Расчеты статически неопределимых систем, включая многоба­ лочные конструкции, показывают [47], что при ограниченном раз­ витии пластических деформаций, в конструкции в первую очередь реализуются резервы несущей способности сечения fo), а затем — связанные со статической неопределимостью системы (с2).

Отсюда следует, что при ер = 0,0006 еще не происходит заметного перераспре­ деления усилий.

Для двухпролетной неразрезной балки 2 ХбОм, имеющей коробча­ тое сечение из стали с криволинейной диаграммой деформирования, произошло (за счет развития пластичности) несущественное изменение изгибающих моментов — в пролете с 9,17 до 9,33, а на опоре с 11,00 до 10,67 условных единиц. При этом в сечении на опоре макси­ мальные относительные деформации составили 0,00712 (т. е. 4 ет),

апластические — 0,00527.

Ос о б е н н о с т ь расчета на подвижную нагрузку в упруго­ пластической стадии по сравнению с упругой — усилия и переме­ щения в каком-либо сечении при данном положении нагрузки в об­ щем случае зависят от воздействий нагрузки при всех предыдущих

ееположениях. В статически определимых балках это отражается только'на перемещениях.

Рассмотрим свободно опертую балку постоянного сечения с дви­ жущимся по ней грузом (рис. 5.9, а). Для каждого сечения построим линии влияния от заданного груза (рис. 5.9, б) и на том же графике отложим значение изгибающего момента, соответствующего началу текучести. Проследим движение нагрузки по балке. Вначале, когда грузнаходится в сечениях 1 и 2, балка работает в упругой стадии. При переходе нагрузки в сечение 3 возникают пластические дефор­ мации, и балка начинает работать в нелинейной стадии. Дальнейшее движение груза вызывает пластические деформации в новых сече­

ниях, а в предыдущих — разгрузку вследствие уменьшения изги­ бающих моментов. Прогиб балки в данной точке можно вычислить через значения кривизны, заданные во всех сечениях, при фиксиро­ ванном положении груза. Необходимо учитывать при этом, что в се­ чениях, подвергающихся пластическим деформациям, зависимость кривизны от момента неоднозначна и ее нужно принимать соответст­ венно при нагружении и разгрузке.

Например, при положении груза в точке 5 кривизна в той же точ­ ке берется по кривой активного нагружения, а для точек 3 и 4 по линиям разгрузки. В точках 1 и 2, 8 и 9 кривизна вычисляется по формуле 1/рi = Mi/(EJ). В точках 3,4, 5, 6 и 7 кривизна берется из графика (рис. 5.9, в).

Зная значения остаточной кривизны после прохождения нагрузки (рис. 5.9, г), можно вычислить остаточный прогиб (рис. 5.9, д) для точки с абсциссой хт :

Аналогичным образом можно рассмотреть движение по балке системы связанных между собой грузов.

Представляет интерес случай нагрузки в виде сплошной полосы, надвигающейся на пролетное строение. В каждом сечении при этом будет иметь место а к т и в н о е нагружение, т. е. возрастание усилия, что объясняется однозначностью линий влияния для соот­ ветствующих сечений. Как следствие этого — статическая нагрузка, приложенная к балке на некоторой длине, эквивалентна подвижной. Таким образом, воздействие полосовой нагрузки на однопролетные балки равносильно многократному приложению статической на­ грузки, распределенной по всей длине пролетного строения.

Более сложные случаи статически определимых систем также мо­ гут быть рассмотрены по изложенному методу, например, двухпро­ летная балка с шарниром (рис. 5.10, а). Принимая нагрузку в виде сплошной полосы, обозначим координатой х ее положения при надвижке на пролетное строение и / — при сходе с него. При дви­ жении нагрузки на пролетное строение распространение пластично­ сти идет как вдоль, так и по высоте балки.

За изменением усилий (момента) в сечении можно проследить, пользуясь линиями влияния, например, для точки 2 (рис. 5.10, 6} в координатах М 2 — %(*')• При надвижке нагрузки изменение мо­ мента идет по линии ОА, причем точке А соответствует ограничен­ ное развитие пластичности в сечении 2. При перемещении нагрузки по пролетному строению (пролет /2) момент уменьшается и точка В соответствует полному загружению пролетного строения в пролетах 1г и 12, если длина полосы нагрузки / ^ + h-

При сходе нагрузки с участка пролетом 1Х(что характеризуется переменной х') происходит дальнейшее уменьшение момента, при­ чем точка с соответствует минимальному его значению. После схода

нагрузка надвигается на участки пролетами /1 и /2, после чего начи­ нается ее сход (рис. 5.10, в).

Таким образом, для л ю б о г о с е ч е н и я можно проследить изменение его напряженного состояния и найти как остаточные (упругие) напряжения, так и остаточную кривизну после прохода нагрузки. Остаточную линию прогибов целесообразно находить численным способом. Следует отметить, что проход расчетной на­ грузки, согласно методике предельных состояний, возможен лишь один раз, что при развитии пластических деформаций означает на­ ступление предельного состояния.

Для статически неопределимых систем, например неразрезных балок, рассмотренные расчеты сильно усложняются и для практи­ ческих целей можно рекомендовать использование упругих линий влияния при определении невыгодного положения нагрузки и на эти нагружения вести упругопластические расчеты. В общем случае расчет статически неопределимых систем с учетом ограниченногоразвития пластических деформаций на подвижную нагрузку заслу­ живает самостоятельного исследования.

.5.7 ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ СТАЛИ ПРИ УЧЕТЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Учет в расчетах пластических деформаций позволяет более пол­ но и эффективно использовать несущую способность стали в конст­ рукциях пролетных строений мостов. Степень использования несу­ щей способности материала с расчетным сопротивлением R в-задан­ ном объеме V конструкции можно характеризовать коэффициентом! э ф ф е к т и в н о с т и использования материала

Î(5.54>

Очевидно, что в случае неравномерного распределения напряже­ ний в материале (градиентное напряженное состояние), эффектив­ ность его использования зависит от вида принятого критерия пре­ дельного состояния. Критерий точечной текучести дает завышение несущей способности и ведет к неоправданному перерасходу мате­ риала. Достижение предельного равновесия, которое дает К в = 1,. для реальных конструкций невозможно (см. п.1.4).

В качестве примера расчета по ограниченным пластическим де­ формациям рассмотрим наиболее типичный случай изгибаемых эле­ ментов.

Для коробчатого (двутаврового) сечения с двумя осями симметрии! коэффициент эффективности: