книги / Проектирование стальных мостов с учетом пластических деформаций

определится то же по известным формулам, в которые нужно под­ ставить упругие составляющие перемещений, т. е. h и 0lf

Рассмотрим частные случаи поперечных сечений стержня. Возьмем с п л о ш н о е с и м м е т р и ч н о е сечение (£7 0 = 0),

в котором все действующие нагрузки отнесены к геометрической оси балки. Система разрешающих уравнений:

(Oo + O J- £ -= ? * ;

(6 . 10)

OJK~ Ox-M.do+S.)- j - = - m.

Отсюда упругие перемещения

Выражение для Мкр отражает случай идеально прямой балки при отсутствии нагрузок qx и т, т. е. M KV — критическое значение изгибающего внешнего момента, соответствующее потере устой­ чивости первого рода (бифуркация форм равновесия). При прибли­ жении величины М к Л1чр перемещения балки, имеющей начальные искривления или возмущающие нагрузки, стремятся по значению к бесконечности. Здесь можно провести аналогию со сжатым стержнем, имеющем начальную кривизну. В данном случае сложного сопро­ тивления балки ее напряженное состояние определяется прогибами в вертикальной плоскости (обычный расчет), а также прогибами в горизонтальной плоскости и углами закручивания (деформацион­ ный расчет). Для сплошного сечения от изгиба в двух плоскостях возникают нормальные напряжения, а от кручения касательные. По длине балки их максимальные значения в общем случае не сов­ падают.

Для двутаврового т о н к о с т е н н о г о с и м м е т р и ч ­ н о г о сечения с исчезающе малой жесткостью чистого кручения (GJU= 0) система разрешающих уравнений относительно неизвест­ ных перемещений ^ и 0Химеет вид:

Здесь в отличие от случая сплошного сечения критический мо­ мент:

М к р — р ( E J & E J y) 1/2

При сосредоточенной силе, приложенной в середине пролета, максимальное дополнительное напряжение

Если на балку действует равномерно распределенная нагрузка,

то

Особенно простая формула для дополнительного напряжения в двутавровой балке, имеющей начальную погибь в горизонтальной плоскости, получается в случае синусоидальной нагрузки с ампли­ тудным коэффициентом q0:

дополнительному напряжению сгд определить допустимое значение стрелки / искривления балки в горизонтальной плоскости. Это лег­ ко делается по приведенным формулам.

Практический интерес представляет напряженное состояние двутавровой балки, имеющей только начальное закручивание сече­ ний. При этом дополнительное напряжение

GK = M ( \ I W x + % I W XJ) t

где М , 60 — соответственно изгибающий момент в сечении и начальное закручивание сечения.

Перейдем теперь к с ж а т ы м стержням. Рассмотрим тонкостей* ный стержень внецентренно сжатый с двуосным эксцентриситетом. Иногда это явление трактуется как потеря устойчивости 1-го рода [12]. В действительности же здесь имеет место потеря устойчивости 2-го рода — постепенное нарастание деформаций, в том числе угла закручивания, с самого начала приложения нагрузки. Практическое 'решение возможно с использованием критерия «устойчивой прочно.- сти» или другого приближенного критерия при упругом решении задачи.

Для стержня постоянного сечения с одной осью симметрии си­ стема неоднородных дифференциальных уравнений (приближенное решение):

EJy u " + N (u— ex)— N ( v + a y — ey)\Ф = 0 ;

EJx v + N ( v - e y) + N ( и - е х) Ф = 0 ;

,(6.15)

EJa Ф1У + {Ф' [Nr*—GJK— 2N ( v - e v) p„)} ' - N [(v + ay - ey)u' -

мента за счет развития пластических деформаций по высоте и длине балки. Поэтому в области малых гибкостей коэффициент продольно­ го изгиба для сжатого стержня должен быть увеличен, чтобы его можно было использовать для расчета устойчивости балки. Реко­ мендуется следующая приближенная формула для п о в ы ш а ю ­ щ е г о коэффициента

Здесь коэффициент Ст представляет собой отношение предель­ ного момента, соответствующего образованию пластического шар­ нира в сечении, к моменту, вызывающему текучесть в одной точке (предельный упругий момент). При наличии начальных искривле­ ний в балке образование пластического шарнира исключается даже при гибкости равной нулю. Коэффициент Сш нужно заменять на коэффициенте, которым пользуются в расчетах сечений на прочность (см. п. 4.2).

Рассмотрим некоторые характерные случаи расчета балок и стер­ жней на изгибно-крутильную устойчивость.

При и з г и б е б а л о к изгибно-крутильную устойчивость стальных балок проверяют по выражению

маемой в расчете свободной длины I сжатого пояса балки; <pç — коэффициент продольного изгиба, определяемый в зависимости от условной гибкости Х5 = = 1/г$ из плоскости балки, как для центрально-сжатого стержня при относи­

Если на балку наряду с вертикальной действует и горизонталь­ ная поперечная нагрузка, коэффициент срб нужно принимать при

/1= 0’г/<Тв,

где стг — наибольшее в сечении в пределах средней трети свободной дли­ ны (а для консоли — в заделке) напряжение на кромке сжатого пояса от из­ гиба горизонтальной нагрузкой; ов — напряжение в центре тяжести сжатого пояса от вертикальной нагрузки, определяемое по наибольшему изгибающему моменту в том же сечении.

Радиус инерции гб необходимо определять в зависимости от ти­ па балок, условий их опирания и вида нагрузки в соответствии со

где Jyy JKt Jffl — моменты инерции при изгибе относительно оси у, чистом

кручении, бимомент инерции сечения; ау *— расстояние от центра тяжести дд центра-изгиба сечения с соответствующим знаком по направлению оси у ау > 0г в обратном направлении аи < 0; Jx — момент инерции сечения относительно оси х.

Первое значение гб соответствует нагрузке, направленной вниз,- а. второе — направленной вверх; при этом меньшее значение соот­ ветствует случаю сжатия более слабого пояса балки. Для каждого случая необходимо принимать свой момент сопротивления ежатого пояса.

г 2. В случае изгиба ж е с т к о з а щ е м л е н н о й консоли пролетного .строения (балки) радиус инерции

( 6. 20)

при. р = P lq , к = 0 ,7 3 + 2р //0, а = Jy (су—0 ,25еу + 0 ,2 5 аь) ,

где р — параметр сосредоточенной нагрузки Р, приложенной на конце консоли с эксцентриситетом по высоте еу\ q — интенсивность равномерно распределенной по всей длине консоли /0 нагрузки, приложенной, как и Р , с эксцентриситетом по высоте еу\ еу — расстояние от центра тяжести сечения до, точки приложения сил по высоте (с соответствующим знаком);

Остальные обозначения прежние.

того по концам стержня при изгибе в плоскости наибольшей жест­

Щ

Рассмотрим п р и м е р р а с ч е т а на общую устойчивость участка длиной 525 см двутавровой стальной балки, расположенного между попереч­

стадии идет не в запас несущей способности. При расчетных напря­ жениях; превышающих предел пропорциональности, определяя устойчивость, нужно пользоваться теориями пластичности.1 Наибо­ лее приемлемой надо признать теорию малых упругопластических деформаций—д е ф о р м а ц и о н н у ю т е о р и ю. На основе этой теории-начиная с 1944 г. получен ряд практических результатов.

На пластинки можно распространить подход, использованный для расчета устойчивости стержней в упругопластической стадии, а именно — не учитывать эффект разгрузки в момент выпучивания, т. е.- рассчитывать по касательному модулю. Тогда соотношения между приращениями напряжений и деформаций будут-'в зонах до­ гружения и разгрузки одними и теми же. Нейтральная поверхность при этом будет совпадать со срединной поверхностью пластины.

Дифференциальное уравнение устойчивости прямоугольной пластинки, нагруженной по контуру напряжениями аХ1 ои, т:

где .а .— соотношение модулей; Ек — касательный модуль; Ес — секу­ щий модуль; а,- — интенсивность напряжений; е* — интенсивность деформа*

Дий; D i цилиндрическая жесткость пластины, отвечающая секущему модулю при р = 0,5.

-Заметим, что интенсивность напряжений выражается через ин­ тенсивность деформаций, т. е. аг- = Есег*.

Таким образом, задача обеспечения устойчивости изотропной пластины в упругопластической стадии сводится к изучению неко­ торой анизотропной пластины, жесткости которой в рамках приня­ той теории пластичности определяются уровнем напряженно-дефор­ мированного состояния. Решение уравнения устойчивости (6.26) получено лишь для частных случаев. Рассмотрим некоторые из них.

Если прямоугольная ш а р н и р н о о п е р т а я пластина со сторонами а (длина) и b (ширина) обжимается нагрузкой, равномер­ но распределенной п о к о н т у р у, то ах = ау = at = а; т = 0. Решение уравнения (6.26) будем искать в форме

10= a sin (лх/а) sin (лу/Ь) ,