книги / Проектирование стальных мостов с учетом пластических деформаций

открытого контура, описываемая уравнением стесненного круче­ ния:

а также теория тонкостенных стержней замкнутого контура, опи­ сываемая уравнением:

(2.5)

где Jc — направленный полярный момент инерции сечения.

Между двумя типами стержней открытого и замкнутого контура лежит широкий класс конструкций смешанного типа, например, открытый контур, усиленный связями, или система коробчатых се­ чений, связанных между собой плитой в одном (верхнем) уровне. Универсальная теория таких стержней отсутствует, видимо, по при­ чине сложного описания депланации при кручении стержней со смешанным сечением. Практически для таких типов сечений можно использовать одно из уравнений (2.4) или (2.5), при этом погреш­ ность решения остается неустановленной (в пределах различия пере­ численных теорий).

Теория тонкостенных стержней позволяет эффективно и доста­ точно просто рассчитать сложные системы мостов (неразрезные, ван­ тово-балочные) и получать при этом удовлетворительные результаты. Однако следует отметить невозможность по этому методу учета де­ формаций контура поперечного сечения и неравномерности распре­ деления напряжений по ширине поперечного сечения при симметрич­ ной нагрузке. В сравнении с классической теорией в сечениях тонко­ стенного стержня учитывают дополнительные силовые факторы для открытого (замкнутого) профиля:

бимомент

Дополнительный (седьмой) кинематический фактор сечения — депланация 0 = Ф' (г) для открытых типов сечений и мера деплана­ ции для замкнутых р = Ф' (z)/p —- М„/(рОУс).

Таким образом, учет пространственной работы по теории тонко­ стенных стержней приводит к дополнительным нормальным и каса­ тельным напряжениям, действующим в сечении. Это результат стес­ ненного (изгибного) кручения стержней.

Теория п л и т н о - б а л о ч н ы х конструкций (складчатых оболочек) базируется на решениях прикладной теории упругости, в частности пластинок. Теория позволяет достаточно полно выявить работу всех элементов пролетного строения — главных балок, плит, стенок балок и др. Однако эта теория не лишена недостатков — трудности учета переменного сечения по длине, граничных условий в сложных системах.

Метод к о н е ч н ы х элементов получил достаточно широкое распространение в последние 10—15 лет благодаря своей универ­ сальности. Это численный метод, основанный на условном разделе­ нии упругого тела (конструкции) на ряд элементов, решение для ко­ торых имеет простую форму, а в ряде случаев элементарно. Объеди­ няются элементы в узлах, в которых полностью удовлетворяются условия неразрывности перемещений и условия равновесия.

Рассмотрим конечный элемент прямоугольной формы при плос­ ком напряженном состоянии и изгибе для расчета системы, состоя­ щей из множества таких элементов [60].

Перемещения точек прямоугольного элемента в е г о п л о с к о ­ с т и при плоском напряженном состоянии ддя ортотропной плас­ тины может быть задано в таком виде:

Эти перемещения получены из решения плоской задачи теории

обеспечивается при любых коэффициентах внутри элемента. По­ стоянные коэффициенты /0, f7 и /8 в выражении (2.6) .возникли при получении перемещений. При решении плоской задачи методом пере­ мещений в каждом узле вводят два неизвестных линейных переме­ щения U и Vi. Постоянные коэффициенты fu ..., /8 могут быть лёгко выражены через перемещения четырех узлов элемента, если соста­ вить соответствующую систему уравнений (для каждого узла по два уравнения). Напряжения внутри элемента проще всего найти через функцию напряжений ср (х, у).

канонических уравнений метода перемещений для рассчитываемой конструкции.

Порядок составления матрицы жесткости для прямоугольного элемента толщиной Л, шириной а и высотой b следующий.

В уравнения (2.6) для и и и подставляют координаты узлов эле­ мента, что дает матрицу А восьмого порядка. Получают обратную матрицу А”1, из которой берут пять строк в соответствии с числом постоянных fi в функции напряжений, т. е. рассматривают в даль­ нейшем матрицу Ag"1. Вводят матрицу физикомеханических пара­ метров элемента, в данном случае из ортотропного материала

Матрицу жесткости рассматриваемого прямоугольного элемента

Заметим,что матрицы С и В входят в следующие уравнения связи:

Данный полином удовлетворяет однородному дифференциаль­ ному уравнению изгибаемой пластины. На каждый узел (угол) плас­ тинки накладываются связи — одна линейная (прогиб) w и две уг­

А, В, и С. Матрица А получается в результате подстановки коорди­ нат узлов элемента в уравнение (2.8) и выражения ^ и ^ . Для каж­

дого узла имеем 3 уравнения и порядок матрицы А будет равен 12. Матрица В входит в преобразование

^ д2 w ~ дх2

д2 w ду2

d2w

дудх

После введения этих выражений матрица жесткости изгибаемого прямоугольного элемента:

Используя полученные выражения (2.7) и (2.9), можно дать раз­ вернутые формулы для матриц жесткости при плоском напряженном состоянии и изгибе пластины.

2.4. ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ К СТАЛЬНЫМ МОСТАМ

Существующие теории и методы расчета пространственных сис­ тем могут бытьэффективио использованы для расчета стальных мос­ тов. В зависимости от вида конструкции необходимо учитывать осо­ бенности применения того или иного метода расчета.

Рнс. 2.9. Основная система для кинематически неопределимого блока:

1 — внешние кинематические воздействия

Методы с т е р ж н е в ы х систем в канонической форме широ­ ко используются для расчета при проектировании мостов. В част­ ности, метод перемещений применен автором для пространствен­ ного расчета сквозных пролетных строений под железную дорогу. В них конструкция проезжей части (балочная клетка) посредством специальных диафрагм включена в совместную работу с главными фермами, что значительно повысило степень кинематической неоп­ ределимости системы.

При реализации метода расчета на ЭВМ целесообразно выделять из системы к и н е м а т и ч е с к и н е о п р е д е л и м ы е блоки, в качестве которых, в данном случае, можно принимать кон­ струкцию проезжей части, заключенную между двумя соседними по­ перечными балками.

Такой подход позволяет, с одной стороны, сократить число не­ известных, определяемых на одном этапе расчета, а с другой — стандартизировать расчет балочной клетки проезжей части, для ко­ торой вычисление коэффициентов уравнений имеет ряд тонкостей (учет эксцентриситетов, схем диафрагм).

Пример для кинематически неопределимого блока проезжей час­ ти показан на рис. 2.9. Выделены внешние кинематические воздей­ ствия и внешние силы по отношению к блоку. В качестве внешних кинематических воздействий выступают линейные и угловые пере­ мещения, которые являются неизвестными для пролетного строения в целом и должны быть определены. В расчете блока их величины принимают равными единице при определении реакций. Кинемати­ чески неопределимый блок имеет внутреннюю неопределимость (см. рис. 2.9), которая раскрывается методом перемещений.

3. к о м б и н и р о в а н н ы й м е т о д п р и к л а д н о й

ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

3.1.ОСОБЕННОСТИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

ИМЕТОДА УПРУГИХ РЕШЕНИЙ

Наиболее развита в настоящее время теория малых деформаций упругопластических тел, что соответствует расчету конструкций с учетом ф и з и ч е с к о й н е л и н е й и о с т и. Полагают [21], что единственный дефект современной математической теории плас­ тичности — отсутствие доказательства теоремы существования ре­ шения основной краевой задачи, что, однако, не служит серьезным препятствием для широкого использования теории пластичности в технических приложениях.

Первая математическая теория пластического течения металлов была создана в XIX в. Б. Сен-Венаном и основывалась на гипотезе о пропорциональности девиаторов напряжений и скоростей дефор­ маций при условии текучести Треска (наибольших касательных на­ пряжений). За прошедший период были созданы различные вариантты теории пластичности, но как отмечает А. А. Ильюшин [18], все же не было создано по степени соответствия опыту сопоставимой с теорией упругости Коши-Навье. Для одних типов нагружения тел более правильными оказывались результаты расчетов по теории те­ чения, для других — по теории деформаций и т. д.

Основы общей математической теории пластичности разработаны А. А. Ильюшиным [18], но практическое использование затруднено; однако можно устанавливать границы обоснованного применения ее вариантов, а также найти правильные соотношения для ранее неисследованных процессов деформирования.

Анализом основных теорий пластичности — теории вязкоплас­ тических течений, малых упругопластических деформаций, идеаль­ ной пластичности [18] с позиций общей математической теории — показано, что теория малых упругопластических деформаций стро­ го справедлива для процессов простого нагружения и дает удовлет­ ворительные результаты для процессов, заметно отклоняющихся от простых нагружений. Главная п р о б л е м а т е о р и и плас­ тичности — установление соотношений между напряжениями и де­ формациями, для чего используется ряд гипотез и предположений. Наиболее общей является теория пластичности, основанная на те­ ории течения и рассматривающая скорости пластических деформа­ ций и напряжений. Она базируется на фундаментальном квазитермодинамическом постулате Друккера, гласящем [27], что, если элемент тела находится в каком-либо напряженном состоянии и под влиянием внешнего воздействия в нем возникают дополнительные напряжения, то как в процессе приложения дополнительных напря­ жений, так и за полный цикл приложения и снятия дополнительных напряжений, внешнее воздействие совершает положительную рабо­

ту, т. е. из элемента, имеющего исходное напряженное состояние, нельзя выделить полезную энергию в процессе приложёния и сня­ тия дополнительных напряжений.

Для поликристаллических тел используется п р и н ц и п м а к ­ с и м а л ь н о г о сопротивления пластическим деформированиям [27], по которому каждому приращению пластической деформации при данном напряженном состоянии аи соответствует приращение работы, равное или большее значения работы, совершаемой прира­

щением деформации dz\f при любом другом напряженном состоя­ нии off, соответствующем области, ограниченной поверхностью те­ кучести или на самой поверхности текучести, т. е.

33

ДД {ач ~ а*1) <Чр) > °-

Принцип максимального сопротивления пластическому деформи­ рованию имеет два важных следствия: 1) поверхность течения в про­ странстве напряжений или обобщенных сил никогда не может быть вогнутой; 2) поверхности течения должны соответствовать уравне­ ния, связывающие напряжение и деформацию, т. е. вектор прира­ щения деформации в данной точке поверхности течения перпенди­ кулярен к поверхности в той же точке и пропорционален вектору внешней нормали (напряжению).

Кроме этого, в теориях пластичности используют предположе­ ние о том, что действительные деформации всегда можно предста­ вить в виде суммы упругих ге и пластических sp деформаций, при­ чем упругие подчиняются закону Гука.

Помимо теории течения, как уже было указано, существует так­ же деформационная теория пластичности Генки-Илыошина, ко­ торая не рассматривает скорости пластических деформаций и напря­ жений и в связи с этим имеет серьезные дефекты [19,21]. Однако не­ смотря на это, признается возможность ее использования в прак­ тических приложениях, если пути нагружения всех элементов кон­ струкции не слишком сильно отклоняются от пропорционального нагружения. При этом ограничения нагружений более слабые для случая материалов с сингулярными поверхностями текучести, т. е. когда на границе между упругой и пластической областями имеются ребра или угловые точки. При полностью произвольных путях на­ гружения деформационная теория, естественно, неприменима; одна­ ко следует учитывать, что для каждого элемента конструкции мож­ но заранее определить режим нагружения, и ограничение отпадет.

В. В. Новожиловым, Л. М. Качановым, В. Т. Койтером и другими исследователями показано, что при активном процессе нагружения уравнения деформационной теории (упругопластических деформат ций) совпадают с уравнениями нелинейно-упругого тела, что, с од­ ной стороны, ограничивает ее применение при сложных зигзагооб­ разных путях нагружения, а с другой — открывает возможности ис­ пользования теорем и методов нелинейной теории упругости .(имеет­ ся в виду физическая нелинейность).