книги / Проектирование стальных мостов с учетом пластических деформаций
..pdfРис. 4.2. График и эпюры для сечений в упругопластической стадии при дей ствии касательных напряжений
Граница между упругой и пластической зонами определяется высотой
hnn—Kxfi |
при |
Gyp |
|
(тх-(- Gyp) |
|||
|
|
Значения допустимых поперечных сил в случае диаграммы Прандтля и прямоугольного сечения находятся из формул (QÜJI
= J тdF):
<3пл = “^" ЬЬ (тшт+ 2тт+ 2G ур—20 ур кх) |
(4.6) |
|
при Тя11п = ^(7т +Y P) ( l —а) |
YР ~ YpmaxO —Тт1ц/?тах)> |
|
где k — половина высоты стенки; b — толщина стенки; тт1п, ттпх—зна
чения касательных напряжений в упругой стадии работы сечения.
Проверка на прочность:
Ттах = ^ |
_ < С ' * х "РИ |
Rx = ~ W |
’ С' = 1 + ~ тт1п(+2тТТ) ’ |
(4,7) |
Рассмотрим |
пример: Rx = |
тт я* 0,6R = |
0,6-320=192 МПа; тт |П = |
0; |
/0,0040-84000
192 + 0,0040-84000 _ ’ '
Коэффициент увеличения расчетного сопротивления
2-84000»0,0040 (1—0,80) |
_ |
С ~ + |
2-192 |
“ |
* ' |
Полное условное расчетное сопротивление cfRt = |
192*1,35 = 259 МПа. |
||
4.3. ОЦЕНКА ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ КАЧЕСТВ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ
Критерий пластической деформации в поперечных сечениях пролетного строения — исходный для определения допустимых усилий в элементах. По условиям эксплуатации могут накладываться огра ничения на перемещения узлов и элементов пролетного строения. Таким образом, требуется определять, какие перемещения в конст рукции соответствуют пластическим деформациям, допущенным в отдельных элементах. Для этого следует использовать деформационный критерий по перемещениям (критерий 2-го уровня), который служит интегральным по отношению к критерию пластической де формации. Этим интегральным критерием, например, для изгибае мых балок, может служить максимальный относительный остаточ ный прогиб.
Рассмотрим вопрос о полных и остаточных прогибах для изги баемых элементов пролетных строений мостов. При этом пластичес кая деформация в наиболее напряженных сечениях принимается в границах ер = 0,0006-^-0,0025. Перемещения (например, прогибы) сечений балок в упругопластической стадии могут быть найдены по формуле Мора
где М — момент от единичной нагрузки, приложенной в направлении ис комого перемещения; Мпл == сМт— момент от внешней нагрузки (Мт —
— момент, соответствующий началу текучести в крайней фибре); г|>„ — функ ция пластичности для сечения, переменная по длине балки.
Возьмем балку п о с т о я н н о г о с е ч е н и я на двух шар нирных опорах и нагруженную сосредоточенной силой Р в середине пролета. Сечение балки — симметричное, коробчатое. Определим прогиб балки под силой (в середине пролета).
Изгибающий момент в каком-либо сечении балки от внешней на грузки М = 0,5 Рх. Для удобства введем новую переменную интег рирования х = 2М/Р; тогда dx = 2Р~гйМ. Изгибающий момент от
единичной силы М = х/2 или М = MIP с учетом новой переменной. Для заданного поперечного сечения
Мпл |
Мт |
Фи |
^ у з + 6 а —2с(1+За) 9 |
где а = SFn/SfcT — отношение площади всех верхних и нижних полок
к площади всех стенок [471.
Область интегрирования (с учетом симметрии) разделяем на два участка — упругий 0 ^ М ^ М т и упругопластический М т^
Мпл ^ М т&х- Тогда прогиб в середине пролета
_М_ М 2dM
о E J Р Р
|
л'шах |
2dM |
|
M |
|
+ 2 |
Jf “EJ 1 /з + 6a—2c (1 —3a) P |
P |
|
мт |
|
при Mmax=cPT 1/4, PT = W T!l, P = cP.r.
После интегрирования и преобразований получим
4 + 9a c(l+3a) + (3 -j-'ба)
1 +
" Щ «* L* ' (l+3e)* |
(l+ 3 a )\ |
|
X "j/З + б а —2c(l+3a)j при w ?=P7 |
(4.8) |
|
где а/т — прогиб, соответствующий началу текучести в |
крайней фибре |
|
поперечного сечения в середине пролета балки. |
|
|
Для прямоугольного сечения а = |
0; формула (4.8) совпадает с |
|
решением H. Н. Малинина [28]. |
|
|
Исследуем полученное выражение для прогиба. Введем безраз
мерные прогибы: w = w/wT— для общего прогиба; w0CT= &уост/шт — для остаточного прогиба. Остаточный прогиб
w0CT = w~— |
= |
-cw?. |
(4.9) |
Соответствующие зависимости для однопролетной балки прямо угольного (а = 0) и коробчатого (а — переменное) сечений даны на рис. 4.3, Влияние переменности параметра а на значение коэффи циента стаа можно оценивать по графику (рис. 4.4). Анализируя эти зависимости, рассмотрим полные и остаточные прогибы, воз никающие в балке, загруженной с о с р е д о т о ч е н н о й силой.
Ограниченному развитию пластических деформаций в сечении со ответствуют определенные прогибы. Так, если в крайней фибре на иболее напряженного сечения допускается пластическая деформа ция Вр = 0,0006, прогибы w = 1,28 шт; шост = 0,03 адт; при плас тической деформации ер — 0,0025, получим w = 1,63 wT; w0CT =
= 0,2 wT.
При wT = //400 остаточный прогиб в рассмотренном примере из меняется в пределах (1/13300 -f- 1/2000) /.
Оценим полный и остаточный относительные прогибы в середине
пролета балки при равномерно |
р а с п р е д е л е н н о й нагрузке. |
||
При пластической деформации ер=0,0006 |
прогибы ку=1,31 Wt ; |
||
WOCT = |
0,06 шт; при пластической деформации |
ер = 0,0025 прогибы |
|
w = 1,975 шт; шост = 0,545 wT. |
прогиб в случае равномерно рас |
||
При |
= //400 остаточный |
||
пределенной нагрузки изменяется в пределах (1/6670—1/735)/. Вычислим полные и остаточные прогибы для различных элемен тов полетных строений при пластических деформациях ер в сечении, равных 0,0006, и 0,0025 для стали 10ХСНД с пределом текучести
ат = 350 МПа и стали 16 Д при сгт — 210МПа..
Относительные упругие прогибы w^ll, соответствующие достиже нию в наиболее напряженном волокне предела текучести сгт, опреде лим по формулам:
1) для сосредоточенной силы, приложенной в середине пролета разрезной балки:
дот/ /= а т//(12£г),
где г — расстояние от нейтральной оси до наиболее напряженного
волокна;
Рис. 4.3. Зависимости между прогибами в середине пролета и коэффициентом с, ха
рактеризующем степень развития пласти ческих деформаций:
/ — полный прогиб, а = 0, |
нагрузка |
в середине |
пролета; /' — максимальные |
полные |
прогибы при |
различных значениях а, нагрузка в середине про
лета; |
2 — полный прогиб, |
|
0, |
нагрузка |
равно |
||
мерно |
распределенная; |
3 — остаточый |
прогиб, |
||||
а = 0, |
пагрузка в середине |
пролета; |
3 ' — макси |
||||
мальные остаточные |
прогибы |
при |
различных |
||||
значениях а., нагрузка в |
середине пролета; 4 — |
||||||
остаточный прогиб, |
а = 0, |
нагрузка |
равномерно |
||||
|
распределенная |
|
|
|
|||
Рис. 4.4. Зависимость коэффициента Стах от геометрического параметра а сечения
2) для равномерно рас пределенной нагрузки, дей ствующей на всей длине разрезной балки;
wTlI= стт //(9,6Яг) .
Результаты вычислений для некоторых конкретных поперечных сечений и ти пов элементов пролетных строений приведены в табл. 4.1. Эти данные нуж но рассматривать как ориентировочные, но позво ляющие сделать весьма оп ределенные в ы в о д ы :
для сталей с более вы соким пределом текучести остаточные прогибы полу чаются большими по срав нению со сталями менее прочными;
остаточные прогибы эле ментов, работающих на ме стную нагрузку (продоль ные балки), на порядок меньше остаточных проги бов всего пролетного строе ния при пластической де формации ер = 0,0025;
элементы конструкции проезжей части, имеющие значительный пролет, на пример, поперечные балки ортотропиой плиты, иоту% получать остаточные про гибы одного порядка с прот гибами пролетного строе ния при бр = 0,0025;
Прогибы полные w/l H остаточные о>ост// Для пластических деформаций
Элементы пролетного строения
10ХСНД
2p=0,0006
w/l |
wocrl‘ |
|
|
||
16Д |
10ХСНД |
16Д |
|
||
10ХСНД
2p= 0| 0025
w/l |
10ХСНД |
шостД |
|
1оД |
16Д |
||
|
Продольные |
ребра |
1 |
J _ |
1 |
1 |
J _ |
J _ |
1 |
1 |
|
(/=2,5 м) |
ортотроп- |
450 |
750 13200 |
32000 |
350 |
590 |
2900 |
4850 |
||
ной плиты |
|
балки |
||||||||
Продольные |
1 |
|
1 |
I |
1 |
J _ |
I |
1 |
||
(/==11 м) |
сквозных |
330 |
560 |
3300 |
5500 |
300 |
500 |
1900 |
3100 |
|
пролетных |
строении |
|||||||||
под железную дорогу |
|
J _ |
1 |
1 |
J _ |
|
1 |
I |
||
Поперечные |
балки |
|
|
|||||||
(/ = 20 м) ортотропной |
80 |
130 |
1700 |
2800 |
50 |
85 |
190 |
310 |
||
плиты |
|
|
||||||||
.Пролетное строение |
J_ |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
I |
1. |
||
(/=100 м) |
со сплош |
130 |
220 |
2900 |
4800 |
90 |
150 |
320 |
530 |
|
ной стенкой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е ч а н и е : Дли |
продольных ребер |
нагрузка принята |
сосредоточенной в сере |
|||||||
дине пролета, |
а для остальных случаев—равномерно распределенной. |
|
|
|||||||
остаточные прогибы элементов пролетных строений, соответст вующие наступлению предельного состояния 1Б при &р = 0,0025, не являются по своей значимости катастрофическими и могут поз волить, в случае необходимости, эксплуатацию сооружения с неко торыми ограничениями;
при пластической деформации в размере 0,0006 остаточные про гибы практически не сказываются на эксплуатационных качествах пролетного строения.
4.4.ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ПРИНЦИПА СОВМЕЩЕНИЯ ФУНКЦИИ ЭЛЕМЕНТАМИ
СООРУЖЕНИЙ
Энергетические представления имеют фундаментальное значение в теории сооружений. С одной стороны, они служат основаниями ва риационных методов и принципов расчета, а с другой —определяют пути получения эффективных конструктивных форм. Упругая кон струкция под действием внешних воздействий деформируется так, что при этом совершается минимальная работа. Обычно примени тельно к нагруженной конструкции интересуются ее несущей спо собностью и жесткостью. Оба вопроса в принципе связаны с энерги ей системы.
Наиболее рациональной следует считать такую конструкцию, в
которой при |
заданном объеме материала накапливается м и н и- |
м а л ь н а я |
потенциальная энергия. Более того, нужно стремиться |
к тому, чтобы удельная потенциальная энергия во всех точках сис темы имела примерно одинаковое значение. При объединении от дельных подсистем (подконструкций) в единую систему потенциаль ная энергия уменьшается. Однако необходимо знать правила, сле дуя которым при объединении подсистем, можно было бы получить конструкцию максимальной жесткости, т. е. обладающую минималь ным значением потенциальной энергии. Последнее тесно связано с принципом совмещения функций элементами сооружений, введен ном H. С. Стрелецким [51]. Здесь речь идето наиболее полном исполь зовании прочностных свойств материала, а также проблеме создания систем повышенной жесткости.
Принцип совмещения функций, реализованный, например, в же лезнодорожных сквозных пролетных строениях, решает в известной степени оба этих вопроса.
В традиционных конструкциях пролетных строений балочная клетка работает только на восприятие местных нагрузок, так как она не включена (специальными мерами) в совместную работу с главны ми фермами. Чтобы уменьшить изгиб поперечных балок в горизон тальной плоскости устраивали для этого разрывы (стыки) продоль ных балок, что ухудшало эксплуатационные качества пролетных строений. Объединение конструкций проезжей части с главными фермами дает ряд преимуществ как для стадии эксплуатации, так и монтажа. Реализация принципа совмещения функций в более широ ком плане требует теоретических разработок как в области прост ранственных расчетов, так и критериев оценки системы, для кото рых оказываются полезными энергетические представления. Для решения рассмотренных задач могут оказаться полезными некото рые общие методы и подходы.
Поставим такую задачу. Какие изменения произойдут в системе, если к некоторой конструкции (телу) объемом V присоединить под конструкцию (объемматериала ДV)? Рассмотрим т р и с о с т о я н и я тела.
Первое состояние — исходное (рис. 4.5, а). Внешние распределен ные силы с составляющими Х0, У0>%о приложены на площадке F0. При этом в теле устанавливается некоторое деформированное состо яние. Наметим будущую площадку контакта ДF на которой пере мещения обозначим через и, v, до. Потенциальная энергия в первом состоянии
U '— 2 |* |
lio~\~Yo VQ~\~ZQ^ о) |
(4.10) |
Ро |
|
|
Разгрузим систему и по площадке контакта ДF присоединим но вый элемент объемом ДV. За второе состояние (рис. 4.5, б) примем новую систему с присоединенным элементом, нагруженную теми же
Рис. 4.5, Три состояния тела
силами Х0, У0, Z0. Деформации и перемещения этого состояния в об щем случае отличны от первого состояния. Потенциальная энергия второго состояния
^{.Xji', + Yav l+ Z 0wQdFt. |
(4.11) |
Fo
Между присоединенным элементом и телом возникают силы вза имодействия, которые обозначим X, У, Z. Потенциальная энергия присоединенного объема
Д(/д у = -1 - j’ (X «'+lV +Z ai')dF . |
(4.12) |
д>
В качестве третьего состояния (рис. 4.5, в) рассмотрим исходную систему, но только под действием сил — X, — У, — Z, т. е. сил вза имодействия. Перемещения и деформации в этом состоянии опреде лятся как разность соответствующих значений второго и первого состояний. После этого можно вычислить приращение потенциаль ной энергии за счет введения нового элемента:
ДU = U ' - U = ~ Y j* [Хв(«' - и 0)+ Y„К -»о) -ЬZК-Шо)1 df0. Р.
Далее, рассматривая состояния первое и третье и используя принцип взаимности работ, можно записать:
— f [*«■(«{—tto) + ^o(ü0—VQ)^Z(WQ—SDb)] £fFo =
Fo
= — f (Xu + Yv+Zw)dF.
ЛF
Окончательно получим для приращения потенциальной энергии
д |
~ j*(Xu + Yv+Zw )dF. |
(4.13) |
АР
Таким образом, присоединение к системе н о в о г о э л е м е н- т а уменьшает потенциальную энергию. Это уменьшение тем боль ше, чем больше перемещения в исходной системе на площадке кон такта, а также чем больше силы взаимодействия менаду присоединен ным элементом и системой. Отсюда даются практические выводы для проектирования конструкций. В частности, устанавливаются об ласти (точки) включения конструкции проезжей части в совместную работу с главными несущими конструкциями. Необходимо стре миться получить систему с наименьшей потенциальной энергией, что позволит дать конструкцию максимальной жесткости.
Для дальнейшего анализа преобразуем поверхностные интег ралы для приращений потенциальной энергии Д£/дк и AU в объем ные. Тогда потенциальная энергия присоединенного элемента [87]
0'12+ 2 (е^ + в ;Ч ;е 5г)+ |
|
+ t o 2+ V ^ + Ï32)]<W= -J- { w 'd V , |
(4.14) |
AK |
|
где G — модуль сдвига материала; Wr — удельная потенциальная энер гия в точке элемента.
За счет введения нового элемента можно получить для прираще
ния потенциальной энергии системы |
|
|
|
||||
|
А£/= —— G |
J |
|
^ ' + 2 (8! ef + e2ej + |
|
||
|
+ e38s-f-YiYi+Y2?2+ Ys Ya)j dV |
(4.15) |
|||||
или |
- ~ G J { - j ^ _ |
0(0 |
0 ')+ 2 |
[в»(e i- « , ) + « , ( e j - e ,) |
+ |
||
|
+«a (ei—e3)]+ [Yi (Yi —Yi) +Y2 (Y*- |
Y2)+Ys (Va— Ya)]} dV. |
(4.16) |
||||
Если объем нового элемента ДV достаточно мал, то |
|
||||||
|
dû |
- |
1 . |
АС/ |
—■ J W , |
|
|
|
dV |
lim — - |
|
||||
|
дУ->о |
àV |
|
|
|
||
где IF — удельная потенциальная энергия в точке исходной системы.
Тогда приращение потенциальной энергии системы
ДС/яв—0,51FAF. (4.17)
Таким образом, при присоединении к системе нового элемента достаточно малого объема уменьшение потенциальной энергии тем больше, чем больше удельная потенциальная энергия исходной системы в точках на площадке контакта. Подобным образом можно показать, что при малом ДV имеем
Д£/«=—0,51F'ДК. (4.18)
Зависимости (4.15), (4.16) также указывают пути получения сис темы с минимальной потенциальной энергией при добавлении к ней новых элементов.
Таким образом рассмотрен случай, когда к исходной системе при соединяли дополнительный материал и потенциальная энергия но вой системы уменьшалась.
При удалении из исходной системы некоторых объемов материала потенциальная энергия новой системы будет увеличиваться, а ха рактер выявленных выше зависимостей сохранится. В частности, при достаточной малой величине АV имеем
AU « 0,51^' AVæO,5WAV |
(4.19) |
Остановимся на о д н о м с л е д с т в и и , вытекающем из из ложенного и касающемся преобразования системы при постоянном объёме материала.
Если в системе есть такие две точки 1 и 2, для которых удельная потенциальная энергия в их окрестностях подчиняется неравенст ву W1> W2, то перенос достаточно малого объема материала из точки 2 в точку 1 уменьшает потенциальную энергию системы. Здесь речь идет о выравнивании удельной потенциальной энергии систе мы во всех точках. Соответственно для данного объема материала си стема будет иметь минимальную потенциальную энергию, когда во всех точках удельная потенциальная энергия одинакова.
Изложенное относится к упругой стадии работы материала. Для материала, обладающего идеальной пластичностью, из энер
гетических соображений вытекает р я д с л е д с т в и й [201: 1) до бавление материала к телу не может понизить предельную нагрузку;
2)удаление материала не может повысить предельную нагрузку;
3)увеличение предела текучести в некоторых частях тела не может понизить предельную нагрузку.
5* ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТОВ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИИ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕННЫХ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
5.1. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ОДНОВРЕМЕННОМ ДЕЙСТВИИ НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ
В расчетах сечений стальных элементов пролетных строений це лесообразно пользоваться зависимостями между напряжениями и деформациями, вытекающими из общих уравнений теории пластич ности. Практический интерес представляет случай о д н о в р е м е н н о г о действия в сечении нормальных ох и касательных тгх нап
ряжений. Принимая остальные составляющие напряжений равными нулю, а также р = 0,5, получим:
° * “ |
£в* а; т" |
= Т £ * * а; tt" ~l'+ £ e tp/c t |
; |
|
|
*1 = | / ^ •M -Ÿ 'të* . |
|
При |
sip Ф 0 |
имеем ot = Егт— для диаграммы Прандтля и |
|
Ci = £[вт — sip (1 — 1/К)] — для диаграммы |
с линейным упрочне |
||
нием. |
|
|
|
Расчет сечений при одновременном действии нормальных и каса тельных напряжений представляет довольно сложную задачу. Например, если попытаться по аналогии с формулой Журавского получить формулу для касательных напряжений при изгибе из вы-
0,5ft
ражения rzx = J dz, то возникают большие трудности в по-
2
и дсгт
лучении значении -g j , так как в сечениях по длине элемента разви
тие пластичности неодинаково, а следовательно, и распределение на
пряжений различно. В упругой области величина |
g j — это извест |
||
ная функция, например, |
изгибающего момента |
= fx (М), |
а в |
упругопластической ~ |
— сложная функция |
изгибающего |
мо |
мента, поперечной силы и пластической деформации, т. е. |
= |
||
= /2 (М , Q, Bip). Поэтому при расчетах в упругопластической стадии целесообразно принимать во внимание те или иные кинематические гипотезы о характере распределения деформаций в сечении. Для этого можно с успехом использовать результаты решений в упру гой стадии.
Значительно возрастает роль подобных методов, когда эти гипоте зы (законы) устанавливаются из чисто геометрических соображений, как например, при чистом изгибе, чистом кручении недепланирующих сечений и т.д.
Здесь речь идет о получении п р и б л и ж е н н ы х р е |
ш е |
н и й , необходимых для инженерных расчетов, роль которых |
осо |
бенно велика для нормативных документов.
Образование пластического шарнира при одновременном дейст вии в сечении нормальных и касательных напряжений рассмотрено Б. М. Броуде [111.
Для диаграммы Прандтля зависимости между напряжениями и деформациями принимают вид:
°х = &х |
От |
__ |
(У>1> |
Г" » |
: |
î Т2х = Угх~7Г/ |
; |
||
|
ет+ вр |
3(ет+ер) |
|
|
где ех и yzx — деформации растяжения (сжатия) и сдвига в рассматри ваемой точке; ер — значение пластической деформации в той же точке.