книги / Проектирование стальных мостов с учетом пластических деформаций

Наименьшее значение критической силы получается при т = 1, т. е. вдоль х образуется одна полуволна. Критическая интенсивность деформаций

В случае удлиненной пластинки при b <£ а имеем

(6.3Г)

Формула (6.3Г) весьма проста и позволяет при заданном отноше­ нии Ы6 легко находить критическую деформацию. Далее по диаг­ рамме деформирования а — е находят критическое напряжение.

Рассмотрим с д в и г п л а с т и н к и , квадратной (со стороной а), находящейся под действием касательных напряжений, равно­ мерно распределенных по всем кромкам. Интенсивность напряже­

ний ot = тУз. Дифференциальное уравнение устойчивости

Обычно это уравнение решают методом Галеркина, полагая

т п

Нахождение критического напряжения здесь связано с трудоем­ кими вычислениями. Приближенное значение критической деформа­ ции сдвига

Приведенные данные служат основой для назначения толщин пластинчатых элементов сечений в тех случаях, когда несущую спо­ собность рассчитывают с допущением ограниченных пластических деформаций. Эти же данные могут быть использованы для разработ­ ки практического способа определения критических напряжений в упругопластической стадии по критическим напряжениям, найден­ ным в предположении неограниченной упругости.

Для конкретных марок сталей можно пользоваться соответствую­ щими графиками, позволяющими по «упругим» критическим напря­ жениям определять действительные критические напряжения в пластической стадии (рис. 6.6). При этом принимают, что пластины входят в состав сварной конструкции и соответственно вводят коэф­ фициент условий работы 0,9, учитывающий влияние сварочных на­ пряжений. Коэффициент условий работы в размере 0,9 вводят при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности. В ди­ апазоне напряжений от ап до расчетного сопротивления этот коэф­ фициент увеличивают постепенно до единицы; при развитии пласти­ ческих деформаций остаточные напряжения релаксируют и их вли­ яние на устойчивость исчезает,

Значения предельных характеристик графика (см. рис. 6.6), со­ ответствующих начальной точке площади текучести диаграммы де­ формирования, будут следующими:

Таким образом, если потерю устойчивости пластиной отождеств­ лять с моментом выхода напряжений на площадку текучести, то по­ лучим конкретные минимальные отношения Ь/& при определенных нормативных значениях пластической деформации. В случае уве­ личения пластической деформации сверх нормативной, отношение £?/б должно уменьшаться, т. е. пластина должна быть более толстой при неизменном Ь. Для такой пластины упругое критическое напря­ жение находится за пределами графика (см. рис. 6.6) и свидетель­ ствует о избыточном запасе пластины по устойчивости по сравнению с нормативным, допустимым значением сжимающего напряжения или деформации. Если пластина находится в условиях сложного напряженного состояния, ее толщина (при неизменных длине и ши­ рине) должна быть больше по сравнению с той же пластиной, но на­ груженной в одном направлении. Таким образом возникает задача определения несущей способности по у с т о й ч и в о с т и п л а с ­

Напряжения в ребрах будут ср = (и/a) Е. Тогда, используя фор­ мулу (6.37), получим для потерявшей устойчивость пластинки

Здесь неизвестны пока коэффициенты атп . Для их определения нужно подставить выражения для w и равенства (6.38) в уравне­ ние (6.34) и проинтегрировать последнее, например методом Бубно­ в а — Галеркина. Число получаемых алгебраических уравнений за­ висит от числа удерживаемых членов в ряду для w.

Для практических расчетов удобно ввести понятие р е д у к ц и ­ о н н о г о коэффициента ср = огх/огр, т. е. отношения среднего значения напряжений, действующих в пластинке (равны внешним напряжениям), к напряжениям в продольных ребрах жесткости. Развернутое выражение редукционного коэффициента

Рассмотрим в качестве примера квадратную пластину со сторо­ ной Ь и учтем в расчете один член ряда (ап Ф 0). Это равносильно предположению, что пластина искривляется по одной полуволне вдоль осей х и у. Она сжата в одном направлении напряжениями а. В выражении для функции напряжений (6.35) получим 62о = 6о2= = Еа\i/32, а другие коэффициенты обратятся в нуль. Физический смысл коэффициента ап — это стрелка прогиба пластины, которую обозначим через /.

Далее находим размер взаимного сближения нагруженных кро­ мок

u = —crblE— n2 /з/(86).

Соответственно относительная деформация в направлении сжа­

тия

вх = а /Е + (п 2/8) (//6)2.

Напряжение в продольном ребре

Для определения стрелки прогиба / в закритической стадии про­ интегрируем уравнение (6.34) методом Бубнова-Галеркина. Общая формула метода получит вид:

После подстановок и преобразований получаем следующее урав­

Эту величину нужно учитывать при подсчете площадей, моментов инерции и моментов сопротивления поперечного сечения пролетно­ го строения.

Приведем окончательное выражение для редукционного коэффи­ циента. С этой целью выразим напряжение в продольном ребре через среднее напряжение: ар = 2а — <ткр. В итоге получим

Относительное значение стрелки прогиба рассматриваемой здесь квадратной пластинки в закритической стадии работы ’

Заметим, что при а = акр и f/b = 0, что соответствует началу бифуркации форм равновесия в линейной теории устойчивости пластин.

Необходимо помнить, что полученные результаты относятся к упругой стадии и в расчетах удержан один член ряда, что завышает значение редукционного коэффициента.

График редукционного коэффициента (рис. 6.8) рассчитан методом конечных разностей [14] и его результаты нужно считать наиболее достоверными.

Пластинчатые элементы стальных пролетных строений имеют не­ избежные начальные искривления, вызываемые технологическими причинами. Значения допустимых искривлений обычно нормируют­ ся. Так в ряде стран принято, что для пластины стрелка начального выгиба в средней по поверхности точке не должна превышать 1/200 ширины пластины. Считается, что контур пластины остается плос­

сжимающими напряжениями растут прогибы. Критическое состояние характеризуется тем, что напряжение (нагрузка) достигает макси­ мума и дальнейшее увеличение деформаций сопровождается паде­ нием нагрузки.

Имеют место особенности поведения пластин в критическом сос­ тоянии, связанные с характером закрепления краев в плоскости пластины. Представляют интерес два предельных случая — сво­ бодное искривление (деформация) всех кромок в плоскости пласти­ ны и поступательное перемещение всех ее кромок при сохранении их прямолинейности. В реальных конструкциях характер закрепле­ ния краев пластины более сложный и определяется сечением и фор­ мой окаймляющих элементов — продольных и поперечных ребер жесткости, поясов. При свободной деформации кромок начальноё искривление пластины из ее плоскости всегда уменьшает критичес­ кую нагрузку по сравнению с плоской пластиной, а при сохранении Прямолинейности кромок возможно как уменьшение, так и увеличе­ ние критической нагрузки в зависимости от гибкости пластины и стрелки ее начального выгиба.

В соответствии с х а р а к т е р о м граничных условий должны изменяться и методы расчета сжатых пластин. Если отсутствуют на контуре препятствия смещениям пластины в ее плоскости, достаточ­ на теория жестких пластин, т. е. линейная теория. Дифференциаль­ ное уравнение равновесия первоначально искривленной жесткой пластины

аз

—2 хху (Wi + о>о) = 0, (6.46)

где — функция дополнительного прогиба от нагрузки; к — параметр сжимающей нагрузки, действующий в плоскости пластинки; wQ— функциц начальных прогибов.

Уравнение (6.46) описывает только упругое поведение пластины. Его распространение на упруго-пластическую область возможно при условии введения приближенных критериев устойчивости, типа «устойчивой прочности».

Если на контуре пластины имеются1ребра или другие-элементы, препятствующие смещениям в ее плоскости, то важную роль начи-'

Величина N XKV представляет собой критическую нагрузку плос­ кой пластины в предположении неограниченной упругости материа­ ла.

А н а л и т и ч е с к и к р и т и ч е с к о е состояние можно определить на основании одного из приближенных критериев. На­ иболее простой критерий — условие наступления текучести в од­ ной, наиболее напряженной, точке:

шах | &хо“Ь А^эси | — Ст »

где <7*0 — осевое напряжение в критическом состоянии; а*и — краевое напряжение от изгиба пластинки в критическом состоянии.

Б. М. Броуде [11] использовал более точный критерий:

шах| ОхоЛ- à ü x j V 2 | = а т .

Дополнительные напряжения от изгиба

Рассмотрим квадратную пластинку (Ь = а). Для точки в центре квадрата условие потери устойчивости:

Искомым является напряжение а, которое определяет несущую способность искривленной пластины по устойчивости. Уменьшение критического напряжения за счет начального искривления можно характеризовать отношением а/ао, которое вычислено Б. М. Броуде для стали с пределом текучести 240 МПа. Представляют интерес чис­ ленные значения этого отношения при стрелке начального искрив­ ления /о = b /200 для квадратной пластины: