книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

Для анализа физической картины взаимодействия турбулент­ ных и регулярных колебаний рассмотрим следующую упрощен­ ную модель 132]: взаимодействие между монохроматической аку­ стической волной и единственной флуктуацией завихренности.

Предположим, что поле скоростей и. давления можно предста­

где величины поля давления (р) отнесены к осредненным значе­ ниям, а индекс s соответствует параметру акустического поля.

Принимая во, внимание, что. процесс распределения возмуще­ ний является изотермическим, возмущение плотности определим

из уравнения процесса р — p/ао.

Подставив выражение (411) в уравнения Навье-Стокса, полу­ чим уравнения для величин первого и второго порядка:

Применяя поочередно операцию ротора и дивергенции к урав­ нениям (412) и (413), получим уравнения относительно завихрен­ ности (Q<n) = V«<n)):

уравнение первого порядка

(414)

191

Согласно уравнению (415) акустическое поле может влиять на

в правой части уравнения (415) можно пренебречь, а из оставшихся членов достаточно сохранить только член, характеризующий взаимодействие с акустическим полем, который можно записать в виде

V[u<s)Q(1)] -г- (Q(1)V)«(S) — Й(1) (Vu(s)) —

—(u(s)V)Q(1) + u(s) (VQ(1)).

Вэтом уравнении первые два члена характеризуют изменение завихренности, обусловленное натяжением или деформацией вих­

ревых линий под действием акустического поля. Третий член характеризует конвективный перенос завихренности звуковыми волнами. Осредняя уравнение (415) по периоду Т с учетом приня­ тых допущений, получим уравнение для порождения завихрен­ ности под действием приложенного акустического поля:

Вдекартовой системе координат с единичными векторами i, /, k,

вкоторой акустическая волна распространяется вдоль оси х,

уравнение (416) можно записать так:

Рассмотрим составляющую, направленную вдоль оси k, кото­ рая вызывает изменение вихря вдоль оси г (нормально к фронту волны).

Приложенное акустическое поле представим в виде плоской бегущей идеальной волны:

192

Период интегрирования но времени должен быть средним зна­ чением времени, в течение которого отдельный вихрь испытывает

средняя квадратическая турбулентная флуктуация скорости). Этот период гораздо меньше характерного времени затухания

возмущений в потоке t = — /£2; следовательно, влиянием вязкого vo

демпфирования, можно пренебречь. Подставив выражения для

рис. 88. Из этого рисунка видно, что в случае изотропной турбу­ лентности взаимодействие незначительное, тогда как при доста­ точно большой анизотропности вихрей изменения могут быть значительными. Наиболее существенное взаимодействие проис-

Рис. 88. Влияние акустического поля на единичную завихренность в т у р б у ­ лентном потоке:

-------------- У З Д = 88 дБ;

-------------------------- У З Д = 68 дБ

ходит при kox *** ks. Если учесть этот факт, то соотношение (421) можно упростить:

завихренности. Что касается х-компоненты, то плоская акусти­ ческая волна, распространяющаяся в направлении оси х, не ока­ зывает на нее влияния, однако «/-компоненту завихренности меняет точно так же, как и 2-компоненту.

Таким образом, формально установлено, что взаимодействие акустического поля и турбулентных составляющих может при­ вести к изменению интенсивности и спектра турбулентных'пуль­ саций. Если частота колебаний совпадает с частотой колебаний относительно больших вихрей, которые в основном обусловливают турбулентное перемешивание жидкости, то наступает турбулент­ ный резонанс, приводящий к усилению интенсивности турбулент­ ных пульсаций.

Экспериментальное исследование влияния акустических ко­ лебаний на турбулентный спектр было проведено на трубе диа­ метром d = 203 мм и длиной L = 8,7 м (см. работу [74]). В ка­ честве рабочего тела использовался воздух, число Рейнольдса изменялось в пределах Re = (5-*-10) 10*. Колебания создавались посредством звукового генератора. Максимальный уровень зву­ кового давления составлял 149 дБ. Частота колебаний составляла 98 Гц, что соответствовало резонансной частоте. Измерения про­ водились в сечении, расположенном в пучности скорости стоячей волны. Измерялся спектр как продольный, так и поперечной со­ ставляющей скорости вблизи стенки на расстоянии у/г0 — 0,0125; 0,015; 0,025. Пульсации скорости измерялись термоанемометром постоянного тока, в качестве датчика использовалась нить диа­

(Fj) и поперечной ( f 2) составляющих пульсаций скорости дефор­ мируется, причем наибольшее влияние сказывается в области высокочастотных колебаний, тогда как низкочастотная часть спектра практически не изменяется. С увеличением уровня зву­ кового давления интенсивность продольной и поперечной со­ ставляющих скорости увеличивается также в области высоко­ частотной части спектра. С увеличением числа Рейнольдса, что соответствовало в данном случае (при заданном уровне звукового

194

Рис. 89. Влияние акустических колебаний на турбулентный спектр продольных (а)

Рис. 90. Влияние акустических колебаний на турбулентный спектр поперечных пульсаций скорости при y t r 0 = 0,0125 для различных чисел Рейнольдса:

Рис. 91. Влияние акустических колебаний на микромасштаб (а) и макромасштаб

(б) турбулентности при Re = 5-104, у/г0 = 0,015

давления) уменьшению относительной скорости, влияние акусти­

тральные характеристики. С увеличением расстояния от стенки влияние акустических колебаний на турбулентный спектр умень­ шается, т. е. спектр турбулентных пульсаций в ядре потока остается квазистационарным.

На рис. 91 приведены результаты расчета микро- и макро­ масштабов турбулентности поперечной составляющей скорости по измеренным спектральным зависимостям (Лт и А.т) для числа

с увеличением которого микро- и макромасштабы турбулентной составляющей поперечной скорости уменьшаются. При сравни­ тельно больших амплитудах колебания Ди/и0 масштаб турбу­ лентности уменьшается в 2,5 раза.

3. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТОВ ГИДРОДИНАМИКИ ПРИ СТАБИЛИЗИРОВАННОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОМ РЕЖИМЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В КАНАЛЕ

При квазистационарной модели расчета колебательных составляющих скорости несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами предполагается, что турбулентная вяз­ кость во времени не изменяется и зависит только от осредненного по времени движения жидкости. В этом случае турбулентная вязкость зависит только от универсальной переменной

У

где у — поперечная координата, отсчитываемая от стенки канала.

196

Если предположить, что осредненный по времени профиль скорости близок к логарифмическому (квазистационарному), то универсальная переменная т] будет зависеть от числа Рейнольдса осредненного движения. В самом деле, поскольку для цилиндриче-

При расчете может быть использована как двухслойная, так и трехслойная модель течения. При двухслойной модели пред­ полагается, что турбулентный поток состоит из вязкого слоя, в котором молекулярная вязкость преобладает над турбулентной

в которой зона условно разбивается на вязкий подслой, переход­ ный (буферный) слой и турбулентное ядро. Границы этих слоев

Распределение вязкости в каждом из этих слоев при логариф­ мическом законе изменения средней скорости (391) может быть аппроксимировано линейной функцией:

буферный слой

турбулентное ядро

в = - ^ = *т] = 0,4т] = 0,1 " Y \

197

рассмотрим уравнение движения для стабилизированного неста­ ционарного режима течения несжимаемой жидкости (392), кото­ рое относительно возмущенных величин при вышепринятом до­ пущении о независимости во времени турбулентной вязкости для плоского канала запишется в виде

Модель плоского канала для расчета профиля скорости при сравнительно высокочастотных колебаниях достаточно хорошо описывает течение и в цилиндрическом канале, поскольку, как и в случае ламинарного режима течения, профиль колебательной составляющей скорости в основном претерпевает изменения вблизи стенки, тогда как ядро потока ведет себя подобно «жесткому стержню». Следовательно, вне пограничного слоя (в ядре потока) градиент давления уравновешивается инерционными силами и его амплитуда колебания при гармонических возмущениях

<4 2 9 >

где Дыов>— амплитуда колебания скорости на оси канала (вне пограничного слоя).

Учитывая соотношение (429), уравнение движения (428) от­ носительно комплексных амплитуд колебания скорости запишем

198

10 и Ко — соответственно функции Бесселя и Кельвина. Постоянные Bt определяются из следующих граничных ус­

ловий:

на поверхности канала: < при у = О Дм„ = 0;

на границе вязкого слоя:

переходного слоя:

Таким образом, для определения шести констант Bt имеем шесть уравнений.

Результаты расчетов по трехслойной модели течения пред­ ставлены на рис. 93.

При низкочастотных колебаниях Q = 0,1 скорость жидкости колеблется в фазе с градиентом давления и профиль скорости в канале практически является квазистационарным. При высоко­ частотных колебаниях профиль скорости в ядре потока йедет себя

199

как жесткий стержень, а максимум его смещается к стенке, причем вблизи стенки канала максимум скорости даже несколько больше, чем в ядре потока, и основная деформация профиля колебательной составляющей скорости наблюдается вблизи стенки. Таким обра­ зом, картина течения по характеру близка к течению при ламинар­ ном режиме. Аналогичная картина течения наблюдается и в случае расчета с учетом изменения турбулентной вязкости во времени посредством совместного решения уравнения движения и энергии турбулентности (402). Результаты расчетов 15] для периодиче­ ского изменения расхода жидкости в цилиндрическом канале при Re0 = Ю6; &uofluof = 0,5 и Re*, =■= 102 представлены на рис. 94. Следует обратить внимание на то, что при неустановившемся движении жидкости в отдельные промежутки времени в присте­ ночной области возможны обратные течения, хотя мгновенная

по трехслойной модели представлены на рис. 95. С увеличением

числа Рейнольдса и частоты = -i- R e ^ коэффициент ослабле­

ния увеличивается. При постоянном числе Re увеличение частоты приводит к увеличению коэффициента ослабления и при опреде­ ленных значениях Q коэффициент ослабления не зависит от числа Рейнольдса и определяется как и для ламинарного режима тече­ ния.’ Это соответствует случаю, когда толщина колеблющегося

200