книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

Величина р* характеризует ослабление волны на единице длины канала, но не характеризует в явном виде искажение формы волны вследствие его ослабления. При одном и том же значении р очень короткие волны можно считать почти синусоидальными, тогда как очень длинная волна будет сильно искажена. Поэтому с физической точки зрения степень ослабления желательно опре­ делить как ослабление волны на расстоянии в одну длину волны, т. е.

А

РЛ = | рXdx.

о

Эта величина имеет смысл логарифма отношения амплитуд двух последовательных (следующих друг за другом) волн и пред­

Из данного соотношения непосредственно следует физический

волны, обусловленные трением потока на стенке канала, а кри­

Малые значения коэффициента ослабления р соответствуют случаю, когда инерционные силы в волне много больше, чем вяз-

кие силы, т. е. рЛ < 2я. Таким образом, если рл 2я, то ослабле­ ние на длине волны мало и форма волны мало искажается под

в основном определяются трением на стенке канала. При умерен-* ных градиентах скорости звука будем иметь

(■-М1> ( Д - ^ )

Ф = arctg

1 + (I _ Mg) ^

Таким образом, приведенный выше анализ позволяет опреде­ лить влияние параметров осредненного потока на распростране­ ние малых возмущений в канале с учетом трения и изменения скорости звука от температуры.

3.НЕИЗОЭНТРОПИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ

в к а н а л е п о с т о я н н о го с е ч е н и я

В общем случае при наличии теплообмена и трения эн­ тропия частицы жидкости не является величиной постоянной. Для расчета неизоэнтропических колебаний необходимо рассматри­ вать уравнение движения и неразрывности совместно с уравнением энергии. При этом уравнение состояния необходимо рассматри­ вать в виде зависимости (97), которую в дифференциальной форме можно записать как

Рассмотрим случай идеального газа, для которого р "= рR T 0. Используя первый закон термодинамики и уравнение состояния идеального газа, получим

где оо = 1f kRTo — изоэнтропическая скорость звука идеаль­ ного газа.

5й

Подставляя соотношения (139) в уравнение'(138), получим для малых колебаний уравнения относительно возмущений Др, Др и AS

Ap=ajAp+a8-2*-AS;

Для определения возмущения энтропии необходимо рассмотреть одномерное уравнение энтропии (96). Рассмотрим случай, когда выделение тепла вследствие диссипации кинетической энергий много меньше по сравнению с теплом, передаваемым посредством теплообмена. В этом случае, пренебрегая эффектами диссипации, уравнение энтропии (96) относительно возмущенных параметров в линейном приближении запишем в виде

Значение величины колеблющейся составляющей плотности теплового потока на стенке канала можно согласно уравне­ нию (53) выразить через пульсационный коэффициент теплоотдачи:

~р~ Ац\р — -р - Дос (ДТу? A T f) — рQC pftiq( ДТур— A T f).

Для идеального газа R А (рТ) = Ар. Тогда, используя урав­ нение состояния (140)7 из уравнения энтропии можно исключить возмущение давления:

<|41>

Для анализа неизоэнтропических колебаний удобно, использо­ вать функцию тока ф относительно возмущенных величин Др и Д (ри):

53

Относительно функции тока уравнение неразрывности (86) удовлетворяется и поэтому достаточно рассмотреть только урав­ нение движения. Используя уравнение состояния (140), получим

СР

Принимая во внимание, что

Аи~ 1 ^ ( ио ж +

уравнения движения (107) и энтропии (141) относительно функции тока ф запишем в виде

а/2 +2“oS+2*_______^д

dt

+ т ~Ж - ■ w [ v^ i r ( w + uo - w )] +

+ 4 ( - V a s ) - ° *

.В общем случае решение приведенных выше уравнений воз­ можно только численным методом. Однако в некоторых частных случаях можно получить достаточно простые решения, которые позволяют проанализировать физическую сущность рассматри­ ваемого процесса.

Для периодических гармонических колебаний уравнения (142)

54

Рассмотрим случай сравнительно длинноволновых колебаний газового потока в канале, при которых теплопроводностью вдоль волны можно пренебречь. Для этой цели систему исходных урав­ нений целесообразно несколько изменить. Уравнение движения запищем так:

Пренебрегая диссипацией кинетической энергии и теплопро­ водностью вдоль оси канала и принимая во внимание уравнение не­ разрывности, одномерное уравнение энергии можно записать в сле­ дующем виде:

Для идеального газа р = рRT; следовательно, уравнение энергии относительно давления жидкости можно записать так:

(145)

Будем также считать, что пульсационная сила трения на стенке канала АФ пропорциональна возмущению скорости потока жидкости:

Аф = — m Ап.

Ро

В дальнейшем рассмотрим случай, когда невозмущенный по­ ток жидкости является изобарным. Это допущение не является существенным, поскольку в процессе теплообмена в основном из­ меняется температура жидкости и, следовательно, плотность, тогда как давление при небольших числах М0 < 1 изменяется только вследствие потерь и составляет по сравнению с градиентом тем­ пературы сравнительно небольшую величину. При принятых до­ пущениях в линейном приближении уравнения движения (144) и энергии (145) относительно возмущения скорости и давления можно записать в следующем виде:

55

носительно комплексной амплитуды колебания скорости F [Ди = = F ехр (/«><)] имеет вид

Полагая, как и раньше, что возмущение плотности теплового потока на стенке канала для высокочастотны^ колебаний прене­ брежимо мало (Ад = 0), применим к уравнению (147) подстановку

J г ехр Кto -(- -g- -J— i — j х (рм)0d£. М а& -*ф ;

Тогда волновое уравнение (147) относительно переменных £

и z при -4^- = const примет вид

Используя для высокочастотных колебаний ВКБ-решение урав нения (148), получим распределение амплитуды колебания ско­ рости в виде суперпозиции двух противоположно направленных волн:

F = Ci, 2(рооо?) 1/4ехр х

Для малых значений коэффициента потерь -^ - « 1 и градиента

56

Принимая во внимание, что для изобарного невозмущенного

Рл<**

’ = " 1 ; (1 ± М») Оо

где Рл = -у [(4 ") + -^4^ lix~\ ~ К0ЭФФиИиент ослабления,

отнесенный к единице длины волны.

Амплитуду возмущения давления определим из уравнения дви­ жения (146):

ш

0 = - J [ ( » ( o + - % - + m ) F o + «o

для изоэнтропических колебаний, которое можно скорректиро­

4. ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОДНОМЕРНЫХ КОЛЕБАНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА

Рассмотрим простейшую идеальную плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси х в идеальной недиссипа­ тивной среде. Несмотря на ограниченную применимость полу­ ченного в этом случае решения, оно намечает подходы для рас­ смотрения реальных ситуаций.

Согласно уравнению (104) волновое уравнение движения в си­

57

Предположим, что скорость частицы есть функция дх ’ т. е.

и =

Тогда легко убедиться, что

а уравнение (151) для скорости частицы и запишем в следующем виде:

можно переписать в виде

6xo + f' ( l t ) 8t=:0

Отсюда следует, что некоторое фиксированное значение ве­ личины д£/дх0 распространяется со скоростью

58

Если исключить s из уравнений (152) и (153), то получим fe+l

где знак плюс соответствует волне, распространяющейся в поло­ жительном направлении оси х 0. Общее решение уравнения для волны, распространяющейся в положительном направлении оси х, определяется выражением

Рассмотрим случай, когда на входе в бесконечный канал за­ дано гармоническое колебание скорости Аи (0, t) = Ды0 sin (at. Тогда согласно уравнению (155) распространение волны в поло­ жительном направлении х будет описываться выражением

в профиле волны, соответствующие большим скоростям частиц, движутся быстрее точек с меньшими скоростями, форма волны искажается по мере ее распространения в среде. Изменение формы волны является результатом различных скоростей распростране­ ния различных точек профиля волны: области сжатия распростра­ няются быстрее, чем области расширения. В тот момент, когда

производная становится бесконечно большой, в волне обра­

зуется разрыв — волна переходит в периодическую ударную волну пилообразной формы (рис. 6). Этот разрыв согласно выраже­ нию (155) образуется на расстоянии от входа в канал

Величину /р часто называют расстоянием до разрыва. Хотя наличие вязкости в реальных жидкостях нарушает эту картину, величина 1Р остается удобным масштабным параметром при ана­ литических исследованиях для реальных жидкостей.

Решение уравнения (156) становится многозначным при х 0 > /р и поэтому не действительно за этой областью.

Рис. 6. Искажение формы волны при большой амплитуде колебания скорости

59

Для. определения спектральной характеристики идеальной волны конечной амплитуды разложим в ряд член в скобках в фор­ муле (156), сохранив только первые два члена разложения:

Это приближение справедливо для малых значений акусти­

ческого числа М2 = С 1 и его можно представить в виде

л=Х

из которой следует, что амплитуды гармоник скорости прибли? женно можно записать в виде

60