книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

Из приведенного решения следует, что идеальная волна конеч­ ной амплитуды по мере распространения становится все более немонохроматической. В спектре волны появляются гармоники более высокого порядка, величина которых все более и более воз­ растает, при этом амплитуда основной гармоники по мере ее рас­ пространения уменьшается (рис. 7).

Качественно влияние диссипативных процессов на распростра­ нение такой немонохроматической волны может быть представлено, как более сильное поглощение высокочастотных гармонических составляющих, поскольку коэффициент потерь вдоль волны ~ —о»2. В результате интенсивного поглощения гармоник более-вы­ сокой частоты процесс искажения тормозится потерями. Относи­ тельное влияние на искажение волны диссипативных и инерцион­ ных (нелинейных) членов уравнений гидродинамики вдоль про­ дольной оси х для процесса, близкого к адиабатному, характери­

ДиА

Уэфф При больших числах ReAa

силы инерции преобладают над силами, обусловленными вяз-’ костью. В этом случае распространение волны конечной ампли* туды в области до образования разрыва близко к распростране­ нию в идеальной среде. При малых числах ReAa силы, вызванные вязкостью, преобладают над инерционными, и влияние потерь может быть настолько сильным, что волна практически не будет искажаться. В этом случае можно для описания волн использовать линейное приближение.

Для математического описания процесса поглощения нелинейт ных волн часто используют квазилинейный метод описания: рас­ сматривается отдельно искажение и ослабление каждой гармоники

вотдельности, Обозначим через Ёп среднюю по времени плотность энергии

вл-й гармонике. Изменение этой энергии в волне определяется, с одной стороны, потерями вследствие вязкости и теплообмена, с другой стороны, энергия изменяется вследствие нели­ нейного взаимодействия с другими гармоническими составляющими. Инте-

Рис. 7. Зависимость’ амплитуд колебания со­ ставляющих гармоник Ди/Ди0 от безразмер­ ного расстояния

61

гральное уравнение баланса энергии для п-й гармоники можно записать в виде

амплитуды, имеющей частоту п-й гармоники; &ns — средняя по времени энергия, передаваемая из s-й в п-ю гармонику на единице

расстояния, пройденного волной; — парциальный коэффициент ослабления л-й гармоники, который в процессе может быть отри­ цательным для всех гармоник, кроме первой.

Поскольку общая средняя по времени энергия волны конечной

00

амплитуды Е = 2 Еп, то согласно уравнению (159) интегральный

где g n — —*-----относительная плотность энергии л-й гармоники. Jb/l

В этом случае, если gn = const, то коэффициент ослабления волны конечной амплитуды равен парциальному коэффициенту

ослабления любой гармоники р = р„.

Рассмотрим некоторые приближенные методы расчета коэффи­ циента ослабления нелинейных волн. При этом ограничимся слу­ чаем из энтропических колебаний и силой трения <Pf, возникающей

врезультате только деформации среды вдоль волны.

Вэтом случае уравнение движения (104) в координатах Ла­ гранжа можно записать в виде

колебаний, используется метод возмущений.

В качестве малого параметра в методе возмущений используют

в котором каждый последующий член меньше предыдущего на множитель Ма. Затем выражение (162) подставляют в уравне?

62

ние (161), и члены соответствующих порядков приравнивают. Систему уравнений для случая $/k < 1 можно записать-в виде

i—1

при п > 1.

Далее можно прбследовательно решать линеаризованную си­ стему однородных и неоднородных уравнений при граничных усло­

виях С (0, 0 — —U cos <»*•

Наибольший практический интерес представляет выражение

более высоких грамоник могут быть использованы для расчета

Метод возмущений становится непригодным для больших чисел ReA„, т. е. при достаточно больших значениях амплитуды колеба­ ния скорости. Для этого случая [3] используется уравнение (161).

Избыточное давление разлагается в степенной ряд по

коэффициенты которого зависят от х 0 и содержат множители экс­ поненциального затухания.

63

В результате весьма сложных вычислений выражение для мгно- венного-давления имеет вид

где х* определяется из граничного условия, предполагающего, что начальная амплитуда синусоидальной волны равна Др10, т. е.

Величина х* зависит от расстояния 1р. В самом деле, для до­ статочно высоких частот умеренной амплитуды аргумент гипер­ болического ареасинуса в выражении (165) существенно меньше единицы, поэтому

яУэффР0й>

(166)

р“ ( * + 1 ) Д Pl0

Сравнивая полученное выражение (166) с выражением (158)

лико, то гармонический состав волны будет изменяться незначи­ тельно, что соответствует стабильной форме волны. Приближен­ ный анализ выражения (164) можно провести следующим образом.

Сумма в этом выражении является рядом Фурье для кривой пилообразной формы, поэтому выражение (167) можно переписать

Д Рш ах- ( k + l ) n ( x * + x 0)

64

Таким образом, ослабление волны не следует экспоненциаль­ ному закону; амплитуда Дршах уменьшается по'закону (х* + + х 0)'\. Эффективный коэффициент ослабления на расстоянии х

т. е. р*медленно уменьшается с увеличением расстояния от источ­ ника х 0. Этот результат можно выразить и иным способом, если

рассмотреть зависимость р*//2 от Дртах//:

Коэффициент ослабления пилообразной волны конечной ампли­ туды (на участке стабилизации) можно также проанализировать исходя из термодинамических представлений для слабых разры­ вов [261.

На рис. 8 приведены относительные значения амплитуды ко­

расстояния от источника -р® для различных значений Р/*/р, т. е.

‘р

Безразмерный параметр ЩХ1Р обратно пропорционален ампли­

увеличивается и соответственно увеличивается коэффициент ослаб­

достигает максимума, а затем уменьшается. Коэффициент ослабления

достигает максимума при (-у2-) = 1,5 ч- 2. В этой области форми­

руется пилообразная волна.

Уменьшение параметра р/*/р или, что то же самое, увеличение

числа Рейнольдса ReAlt = ^Эфф приводит к увеличению интенсивности второй гармоники и соответственно к увеличению коэффи­

тельное увеличение коэффициента ослабления составляет рfX/$% — 30. Следует также отметить, что в области стабилизации волны парциальный коэффициент поглощения (например, для первой гар­ моники) практически мало отличается от интегрального коэффи­

циента ослабления волны пилообразной формы.

5. ВЛИЯНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ПРОЦЕСС РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ В КАНАЛЕ

Рассмотрим модель линейных изоэнтропических колеба­ ний в канале. В этом случае согласно анализу, проведенному в разд. 2 этой главы, комплексные амплитуды колебания

66

массовой скорости А (ри) и давления Ар определяются выраже­ ниями

(173)

Следовательно, выражение для комплексной амплитуды коле­ бания давления можно представить в виде

Ф(х)= ± СгУ1ц j ~ exp [ku а*].

Из приведенных соотношений следует, что волновое движение жидкости в канале представляет собой сумму двух плоских волн, распространяющихся в противоположные стороны со скоростями ^ i ,2 = ±Оо (1 ± Мо)- При постоянных скорости звука а0 и числе М0 скорость распространения Wltt будет постоянной; если скорость звука а0 и число М0 переменны, то скорость распростра­ нения волн тоже переменна и форма волны искажается.

Колебания давления Ар или массового расхода А (ри) следует рассматривать в каналах двух видов: в канале конечной длины и в канале достаточно большой длины. В случае канала достаточно большой длины, на входе которого задано колебание давления или скорости, возможно распространение волн только в положитель­ ном направлении:

лебания массовой скорости или давления на входе в канал.

Из приведенных соотношений следует, что в данном случае амплитуда колебания давления Ар и А (ри) связаны соотношением

А р = а ° Т + М0~ А или ф (*) = «о i +Mo F (х).

Для обратной волны соответственно будем иметь

Таким образом, в плоской волне для случая малых колебаний амплитуда колебания давления пропорциональна амплитуде мас­ совой скорости и скорости звука.

Аналогичные соотношения можно записать и для возмущения скорости:

А« = - ^ - ( Л (Р«) — м°Ар) = - ^ “ ( А (Р«) —

Ар — а0р0 Аи.

Можно провести аналогию между этим соотношением и пара­ метрами электрической цепи. В цепи переменного тока с напряже­ нием U и полным сопротивлением (импедансом) Z течет ток /. Эти величина для переменного тока связаны законом Ома U —

— ZI. Если Z — чисто активное сопротивление (Z = R), то U = = RI. В общем случае импеданс является величиной комплексной:

Z = R + iY,

где R, Y — соответственно активное и реактивное сопротивления. По аналогии с электрическим током величину

называют удельным акустическим импедансом или сопротивле­ нием среды.

При рассмотрении массовой скорости А (ри) удобно акусти­

В этом случае акустический импеданс пропорционален скорости звука а0.

При более строгом подходе, как это следует из анализа, про­ веденного в разд. 2 и 3 этой главы, акустический импеданс яв­

ляется величиной комплексной Z = = До1!5(*) и зависит

от тепловых и гидродинамических характеристик потока. Следует отметить, что аналогия с электрической цепью носит

лишь внешний характер, так как правильнее было бы сравнивать плоскую волну с волнами вдоль электрической линии, а не с то­ ком в контуре с сосредоточенными параметрами.

Поскольку амплитуды колебания давления и скорости связаны между собой в общем случае комплексным импедансом, то и гра­ ничные условия на концах канала удобно задавать в виде зависи­ мости (174а), т. е. если задана амплитуда давления на входе в ка­

Значение акустических импедансов для наиболее часто встре­ чающихся на практике случаев приведено в табл. 1.

68