книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

Таким образом, в методе последовательных приближений в пер­ вом приближении пренебрегают нелинейными конвективными чле­

нами м-|^ и в уравнении движения, а затем, определив ског

рости в первом приближении и' и v', определяют конвективные

распределение скоростей во втором приближении согласно урав­ нениям (192). Аналогичным способом можно составить уравнения для следующих приближений. В работе [67] предложен другой способ расчета колеблющихся пограничных слоев, который осно­ ван на осреднении по времени гидродинамических величин, вхо­ дящих в дифференциальное уравнение внешнего движения (188) и в уравнения (186), определяющие колебания скорости в погра­ ничном слое. В этом методе для определения осредненного течения используется полное диф(ференциальное уравнение.

Рассмотрим этот метод для несжимаемой среды с постоянными физическими свойствами. Если скорость внешнего потока содержит периодическую колебательную составляющую, то можно написать

Подставляя выражения (194) в уравнение (188) и осредняя по времени, получим

Вычитая это уравнение из уравнения (188), получим уравне­ ние для колебаний скорости вне пограничного слоя

Аналогичным образом из уравнений (186) и (187) получим урав­ нение для осредненного движения в пограничном слое

6 Б. М . Галицейокий

Для колебательного движения в пограничном слое уравнение будет иметь вид

что в уравнении (199) сохраняются только три подчеркнутых снизу члена. Тогда уравнение для колебательной составляющей скорости принимает вид, аналогичный уравнению теплопроводности (191).

Таким образом, в этом случае для определения колебательной составляющей скорости используется также метод последователь­ ных приближений.

Решение уравнений (191) Для гармонических граничных усло­ вий у = 0, Да = До = 0; у = оо, Дм = Дит (х, t) — Дыом (х) X X exp (tcat) имеет вид

Ды (х, у, t) = Ди0(х, у) ехр (ко/); До(х, у, t) = До0 (х, у) ехр (Ш),

где комплексные амплитуды колебания продольной и поперечной колебательных составляющих скоростей

здесь 6К= j/~■2v (D

Аналогичные выражения получаются для плоской пластины, совершающей колебания в собственной плоскости.

Вслучае, если возмущение скорости внешнего потока задано

ввиде Да» (х, t) = Дно» (х) cos cat при х — оо, колебательные

составляющие скоростей

82

Рис. 10. Зависимость относительной ампли­ туды колебания скорости Ди0/Ди0со и фазы

колебаний <р от безразмерной координаты у/Ьк для вязкой волны в пограничном слое

Выражения (200) и (201) характе­ ризуют изменение колебательной скорости в вязкой волне. Вязкими обычно называют волны в вязкой среде. Как следует из выражений (200), амплитуда возбуждаемой вязкой вол­ ны экспоненциально убывает по на­ правлению нормали к поверхности

стенки. На расстоянии ок = I — )

амплитуда волны убывает в е раз. Ве-

s / 2v \°.5

личина ° к = ( ~ ^ ) имеет размерность длины и называется тол­

щиной колеблющегося пограничного слоя. Такое название этой величины оправдано тем, что основное влияние вязкости в колеб­ лющемся потоке сказывается вблизи стенки на расстояний, рав­ ном 8К. Это следует из графика, представленного на рис. 10, на котором приведена зависимость относительной амплитуды колеба­ ния Ди/Диооо согласно уравнению (201) от безразмерного расстоя­ ния у/Ьк. Из приведенного графика видно, что амплитуда колеба­ ния скорости изменяется от нуля на стенке до значения амплитуды колебания внешнего потока, причем это изменение в основном про­ исходит в пределах толщины колеблющегося пограничного слоя

У«к-

Выражения (201) удобно представить в виде

колебаниями скорости вне пограничного слоя и в пограничном слое. Как следует из рис. 10, фаза колебаний скорости изменяется от 45° на стенке до 0° при у —» оо, причем основное изменение фазы колебаний происходит в пределах колеблющегося пограничного

обратно пропорциональна частоте и не зависит от амплитуды коле­ баний: чем больше частота колебаний, тем тоньше колеблющийся пограничный слой.

Рассмотренный метод расчета применим только в случае, когда толщина стационарного пограничного слоя больше толщины ко­

леблющегося пограничного слоя, т. е. при

83

Поскольку для ламинарного течения толщина пограничного слоя

бательные составляющие скорости в пограничном слое из выра­ жений (201), а затем по формуле (198) вычисляется функция

согласно формуле (201).

Для более сложных колебаний, состоящих из нескольких гар­ моник,

k

А«те = £ ДиЙ? sin (Ш).

1=1

Определив значение функции F (х, у) согласно уравнениям (202) и (203), можно решить уравнение (197) для осредненного движе­ ния. Уравнение осредненного движения (197) отличается от урав­ нения стационарного пограничного слоя только присутствием функции F (х, у). Эта функция может быть формально интерпре­ тирована как дополнительная активная сила, подобно градиенту давления при стационарном течении. В обоих случаях мы имеем дело с известными функциями. Разница состоит лишь в

84

Рис. 11. График функции F (г//6к) при гармо­ ническом (колебании скорости вне погранич­ ного слоя

том, что функция F (лг, у) в общем случае зависит также от поперечной координаты у. Поэтому для решения уравнения (197) могут быть использо­ ваны методы расчета, применяемые при анализе стационарного пограничного слоя с градиентом давления.

Вследствие наличия колебательной составляющей скорости осредненное течение отличается от того течения, которое полу­ чилось бы при осреднении внешнего течения с самого начала. Эта разница проявляется в присутствии дополнительной функции, характеризующей нелинейные члены дифференциального уравне­ ния. Из графика функции F0 (х, у) (рис. 11) Следует, что наиболь­ шее относительное изменение профиля скоростей происходит вблизи стенки, потому что при у — 0 функция F (у1бк) принимает

свое наибольшее значение F (0) = 1. Это объясняется тем, что поскольку ускорение частиц среды, близких к стенке, сравни­ тельно мало, то именно здесь дополнительный градиент давления проявляет себя сильнее.

Из уравнения (202) следует, что разница между действитель­ ным профилем скоростей и квазистационарным профилем, который получился бы при F (х, у) = 0, зависит в основном от амплитуды

колебаний ДЫоо (х) и ее производной д д“°° . В частном случае для

рассматриваемой модели течения при Дмо® = const колебание внешнего потока не вызывает изменения осредненного профиля скоростей.

Если сравнить уравнение (197) с уравнением движения Рей­ нольдса для осредненного турбулентного пограничного слоя, то можно сделать вывод, что функция F (х>У) играет роль, анало­

булентном потоке. Принципиальное различие заключается в том, что дополнительные силы трения в колеблющихся ламинарных потоках зависят от корреляции между скоростями Дм, До, Дит

пульсационными скороетями, как это имеет место в турбулентных потоках. Аналогичная картина колеблющегося пограничного слоя возникает при колебаниях жидкости или газа в канале, вызванных колебаниями градиента давления.

В качестве примера рассмотрим длинный цилиндрический ка­ нал с круглым поперечным сечением. Пусть х есть координата в на­

85

правлении оси канала, а г — радиальное расстояние от середины канала.

Для гидродинамически стабилизированного течения несжи­ маемой жидкости уравнение движения в первом приближении можно записать так:

Пусть градиент давления изменяется по гармоническому за­

Это уравнение является уравнением Бесселя, из решения ко­ торого можно найти распределение скоростей:

в выражении (207) можно разложить в ряд и сохранить только два первых члена. Тогда получим

Как следует из выражения (208), при низкочастотных колеба­ ниях давления колебания скорости совершаются в одинаковой фазе с колебаниями давления, причем амплитуда колебаний ско-

86

рости изменяется вдоль диаметра канала по параболическому закону, т. е. так же, как при стационарном режиме течения.

В случае высокочастотных колебаний величина " j / " г0 ве­

лика, поскольку частота большая, и можно для определения функ­ ции Бесселя применить асимптотическое ее разложение, а именно

(209)

Отделяя действительную и мнимую части в выражении (209) для синусоидальных возмущений, получим

ках с увеличением расстояния от стенки канала (г0 — г) быстро уменьшается. Следовательно, решение уравнения (210) обладает свойствами, характерными для пограничного слоя. На большом расстоянии от стенки колебания жидкости происходят без трения и при этом в фазе, сдвинутой относительно фазы колебания гра­ диента давления на половину периода.

На рис. 12 изображены профили скоростей колебательного

течения в цилиндрическом канале при частоте У у Г 0 = 5 в раз­

личные моменты периода колебаний. На рисунке видно, что при изменении по времени градиента давления наблюдается опереже­ ние по фазе колебания скорости в середине канала по сравнению с колебаниями скорости в слоях, близких к стенке.

Из выражения (210) путем интегрирования по периоду колеба­ ний можно определить среднее по времени значение квадрата скорости:

87

Для малых значений у = г0 — г по сравнению с радиусом ка­

квадрат скорости на большом расстоянии от стенки. Вычисленное по формуле (211) распределение осредненного

квадрата скорости изображено на рис. 13. Из рисунка видно, что максимум этой средней скорости лежит йена оси канала, а вблизи

стенки, на расстоянии г) = -У- — 2,28. Этот теоретический вывод

°к

хорошо совпадает с результатами измерений [41 ].

2. РАСЧЕТ КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Влияние осредненного движения в пограничном слое на пульсационное движение можно в первом приближении опре­ делить из уравнения движения (199), если в нем сохранить члены, характеризующие конвективный перенос осредненным движением. Рассмотрим колебания скорости внешнего потока, изменяющиеся по времени по закону при у = оо:

88

Уравнения движения и неразрывности для колебаний малой амплитуды (при которых нелинейными числами в первом при­ ближении можно пренебречь) запишутся согласно выражению (199) в виде /

Если пульсационное движение не влияет на осредненное по времени движение, то последнее описывается известными функ­ циями Блазиуса:

функция тока.

Введем аналогичные переменные для пульсационного движе­

89

Для низкочастотных колебаний, когда S h < l , решение ис­ ходного уравнения (214) можно выразить в виде ряда по возраста­ ющим степеням параметра £:

k= о

а для высокочастотных колебаний, когда Sh f> 1, — в виде ряда по убывающим степеням параметра £:

Определив значение функций gk (0) на поверхности тела, можно найти и касательное напряжение и коэффициент трения:

Для плоской пластины при постоянной осредненной скорости внешнего потока касательные напряжения на поверхности с точ­ ностью до членов^второго порядка малости можно найти из выра­ жения

-±-Cf V R * =

При w = 0 получаем квазистационарное решение. Поскольку в правую часть формулы (218) входят мнимые члены, то в погра­ ничном слое имеет место сдвиг фаз относительно внешнего течения. Распределение амплитуд колебания скорости и фазы колебания поперек пограничного слоя приведено на рис. 14 согласно экспери­ ментальным данным работы [54]. Из графиков видно, что макси­ мум амплитуд смещается к поверхности с увеличением частоты колебания (Sh), сдвиг по фазе между колебаниями скорости внеш­ него потока и касательным напряжением на стенке канала уве­

личивается, и при Sh —» оо фазовый угол <р —►

Рассмотрим случай, когда имеется постоянный градиент (т = = 1) осредненной по времени скорости внешнего потока

Wo оо (х) — Ах.

Такой закон изменения скорости внешнего потока реализуется при внешнем обтекании тел в области передней критической точки.

90