книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

Используя зависимости (71), (72), критериальные уравнения

для интегральных параметров колеблющегося потока | 0. '

Nu, ANu можно записать в виде

При отсутствии гравитационной конвекции и для случаев, когда можно пренебречь выделением тепла вследствие диссипации кинетической энергии и работы сил давления, количество опре­ деляющих критериев существенно уменьшается, т. е.

Критериальные уравнения (78) и (79) справедливы для жид­ костей с постоянными физическими свойствами. Это допущение может быть оправдано только при сравнительно небольших изме­ нениях температуры жидкости, т. е. при небольших значениях плотности теплового потока. В противном случае необходимо учитывать изменение физических свойств жидкости. В критериаль­ ном уравнении для интегральных характеристик потока необ­ ходимо ввести дополнительный безразмерный комплекс

Для газовых сред, поскольку физические свойства являются степенной функцией от температуры, изменение физических свойств можно учитывать как отношение температур (темпера­ турный фактор)

задачи система критериев может быть изменена путем их взаим­ ной комбинации.

Рассмотрим случай, когда колебания генерируются колеба­ ниями характерной скорости потока жидкости. В этом случае параметры колеблющегося потока характеризуются амплитудой

31

колебания скорости Auof, частотой колебания <о и длиной волны колебаний Л или скоростью ее распространения W. Поскольку

скорости потока жидкости и характеризующий отношение сил

инерции, обусловленных локальным ускорением (—j f 1 ) >к конвективному ускорению осредненного движения потока и0 д Дм,- .

Критерий Струхаля можно определить по амплитуде колебания скорости:

1(0

ShAu =

Дщ '

В этом случае критерий Струхаля ShAu характеризует отно­ шение сил инерции, обусловленных локальным ускорением по­

тока (уд ^ и конвективным ускорением колебательного движе­

ния потока жидкости Ди, — (нелинейные взаимодействия).

является амплитудным числом Рейнольдса. Если в качестве ха­ рактерного размера использовать длину волны колебаний А, то

ReAu'= ~ (£ffofAx = ReA A

где ReA = -----jp — — является амплитудным колебательным

числом Рейнольдса.

Произведение критериев (ReA„ShAu) является колебатель­ ным числом Rea, определенным по частоте колебаний:

Rs<o = ReAuShAt< = v •

Колебательное число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции, обусловленных локальным ускорением потока жид­

зрения колебательное число Re^ характеризует (как и осредненное число Re для стационарного потока) пространственную структуру нестационарного течения жидкости. При больших числах Reffl > 1 нестационарное течение имеет характер погра-

32

ничного слоя, толщина которого б имеет порядок bit Re^0,5, т. е. в этом случае вблизи поверхности существует нестационар­ ный пограничный слой (б ;S /)• Вне этого слоя нестационарное

нестационарное течение распределяется по всей рассматриваемой области течения (б < /) и описывается полной системой уравне­ ний Навье-Стокса. Колебательное число Ree удобно использо­ вать в тех случаях, когда колебания в среде генерируются коле­ баниями самого тела, в этом случае в качестве характерного раз­ мера может быть использована амплитуда колебания тела или его поверхности.

Отношение критериев подобия Кеди/5Ьда характеризует обра­ зование вторичных стационарных вихревых течений в колеблю­ щихся потоках в результате нелинейных взаимодействий и , яв­

Если Re„ й 1, то вихревое вторичное течение занимает всю область рассматриваемого течения. При Re,, 2; 1 существует вторичный стационарный вихревой пограничный слой_ порядка

6/1— Re^0,5, вне которого завихренность экспоненциально за­ тухает.

Используя полученные критерии подобия, критериальные уравнения (80) и (81) можно также представить в виде

Например, для квазистационарной модели пульсационный коэффициент потерь т будет определяться критериальным урав­ нением

Следует отметить, что формально нелинейные члены в уравне­ ниях Навье-Стокса в колеблющихся потоках порождают беско­ нечный ряд гармоник более высокого порядка, чем основная Характерная частота, что в принципе приводит к бесконечному числу критериев, в которые входят характерные параметры колеблющегося потока (частота, амплитуда колебания и скорость распространения).

3 В. М. Галицейокий

Г Л А В А II

МЕТОДЫ АНАЛИЗА И РАСЧЕТА ОДНОМЕРНЫХ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ПОТОКОВ

1. УРАВНЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ

Модель одномерного течения может быть использована для расчета средней (по сечению канала) скорости потока газа или жидкости в каналах или для расчета параметров невозмущен­ ного потока вне пограничного слоя при внешнем обтекании по­ верхности тела.

При одномерном рассмотрении процесса течения жидкости или газа в канале заранее предполагается, что скорость потока, давление, температура, плотность являются постоянными вели­ чинами по сечению канала. В этом случае параметры потока яв­ ляются функциями только двух переменных — продольной коор­ динаты х и времени t. Процесс течения потока жидкости или газа в этом случае описывается одномерными уравнениями движения, энергии, неразрывности и состояния.

Возможны два способа описания движения сложной среды. Первый способ связан с выбором неподвижной системы коорди­ нат — координат Эйлера. В этом случае все величины, характе­ ризующие движение среды, задаются в координатах, жестко связанных с поверхностью рассматриваемого тела. Возможен и другой способ описания движения сплошной среды: в системе координат Лагранжа. В этом случае в качестве независимых пере­ менных выбирают начальные координаты какой-либо частицы жидкости в некоторый фиксированный момент времени; в после­ дующие моменты времени эта частица перемещается в простран­ стве, и координаты неподвижного пространства являются функ­ циями начальных координат частицы. Этот метод описания дви­ жения сплошной среды напоминает метод, используемый в дина­ мике материальной точки.

Лагранжевы координаты широко используются в теории упругости и нелинейной акустики.

Рассмотрим вначале систему координат Эйлера. Выделим элемент жидкости длиной dx, движущийся в канале (рис. 4). На выделенный элемент жидкости действуют силы: во-первых, сила, обусловленная градиентом давления, во-вторых, сила трения, обусловленная градиентом скорости. Тогда, согласно законам сохранения количества движения и массы, уравнения

34

движения и неразрывности для рассматриваемого элемента

При одномерном анализе нестационарного движения, среды силу трения Ф можно представить как сумму силы трения на стенке Фур и силы трения в потоке Фг, возникающую в результате деформации среды вдоль оси канала. Величины Фур и Ф{ можно выразить через касательные напряжения на стенке канала

и напряжение в самой волне xf:

здесь П — периметр канала; р, т] — коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости.

При турбулентном режиме течения под вязкостью следует понимать эффективную вязкость p9(M), которая складывается из молекулярной и турбулентной составляющих вязкости.

Уравнение энергии в случае одномерного течения жидкости или газа можно получить согласно уравнению теплового баланса для выделенного элемента жидкости. Подводимое тепло к движу­ щейся частице сжимаемой среды идет на изменение ее внутренней

объем элемента жидкости; dQ — количество тепла, подводимое к элементу жидкости.

Секундный поток тепла, приходящийся на единицу объема элемента жидкости,

Подводимое тепло к элементу жидкости dQ в общем случае состоит из тепла, получаемого частицей жидкости извне посред­ ством теплообмена dQT, и тепла, выделяемого внутри жидкости dQv (например, вследствие трения, тепловыделения или погло­ щения тепла):

Тепло, выделяемое вследствие трения, определяется дисси­ пацией кинетической энергии и равно сумме тепла, выделяемого на стенке dQvr. и тепла, выделенного в потоке dQVf в резуль­ тате деформации среды вдоль оси канала:

1 dQy _ 1 dQvw | 1 dQvf

У ~ Ж ~ У У У ' У ~ З Г '

Диссипация кинетической энергии в потоке, обусловленная

36

Тепло, полученное частицей среды посредством теплообмена, складывается из тепла, подводимого через поверхность на стенке канала dQw, и тепла, передаваемого вдоль оси канала dQf:

эффективной теплопроводности, который в общем случае склады­ вается из молекулярной и турбулентной составляющих.

Подставив значения величин - О- в уравнение (9L) и при­

нимая во внимание, что в системе координат Эйлера полная производная

нулю; полагая, что диссипация кинетической энергии в резуль­

В дальнейшем для анализа нестационарных течений потре­

буется уравнение энтропии. Энтропия единицы массы dS = у -

37

рассматриваемого элемента жидкости определим из уравнения

TdS = d (cvT) + p- ^ = d(cvT) + p d ( f )

или, учитывая постоянство массы рассматриваемого элемента жидкости tn = pV — const, получим

Вычитая почленно уравнение (90) из уравнения (95), получим

Последнее уравнение показывает, за счет чего изменяется энтропия элемента жидкости. Например, из этого выражения следует, что энтропия невязкой и нетеплопроводной среды остается постоянной.

Таким образом приведенная выше одномерная система урав­ нений движения (85), неразрывности (86), энергии (93) и энтропии (96) содержит пять неизвестных величин р, р, Т, S и и. Для того чтобы замкнуть систему, необходимо еще пятое уравнение. Таким уравненнием является уравнение состояния

Для изэнтропических колебаний энтропия жидкости остается постоянной и процесс течения можно описать посредством трех уравнений (85), (86), (97), поскольку давление и плотность в этом случае связаны между собой изэнтропической скоростью звука

Рассмотрим одномерные уравнения движения и неразрыв­ ности в системе координат Лагранжа.

В координатах Лагранжа зависимые переменные относятся к точке, где расположен элемент жидкости, который в невозму­ щенном состоянии находится в другом месте. Пусть, например, х 0 есть равновесное положение элемента жидкости (рис. 5), а х — его мгновенное положение, так что смещение этого элемента из положения равновесия будет равно разности £ = х — х 0. При та­ ком подходе координата х становится функцией х0 и t:

38

стями х 0 и х 0 + dx0, по прошествии определенного

времени будет находиться между плоскостями х и х + dx. Пред­ полагая, что рассматриваемый элемент жидкости имеет единич­ ную площадь поперечного сечения, уравнение сохранения массы рассматриваемого элемента жидкости запишем в виде

p0dx0 = pLdx = pL ( l + Jjj-) dx0.

Следовательно, уравнение неразрывности в системе координат Лагранжа можно записать так:

Уравнение движения (85) в системе координат Лагранжа •можно записать следующим образом:

тогда уравнение движения (101) примет вид

Используя соотношение (98), последнее уравнение для изэнтропического течения можно преобразовать следующим образом:

39

тогда уравнение движения примет вид

' Эго уравнение отличается от обычного волнового уравнения тем, что скорость распространения возмущений определяется

местной скоростью звука а0 и сжатием J=-. Определив волну

смещения £ согласно уравнению (104), можно определить возму­ щения плотности и давления в координатах Лагранжа через

где р0 и р 0 — соответственно плотность и давление в невозмущен­ ной среде; штрихами отмечены величины соответствующего по­ рядка малости. Из уравнения неразрывности (100) следует, что

- * ( £ ) ' + * К £ ) Т ‘

И т. д.

Для возмущения давления согласно уравнению Тэта

р ' = ~ пр ° { й ) '

п(п+ 1)

2

И Т. Д.

40