книги / Тепловые и гидродинамические процессы в колеблющихся потоках

Следует отметить, что при одномерном описании колебатель­ ного движения жидкости в канале коэффициент потерь т прин­ ципиально нельзя определить, но его можно найти из анализа двумерной модели течения или экспериментально на основе одномерной модели. Эти вопросы будут рассматриваться в после­ дующих главах.

4. ТЕПЛОВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ ПОТОКА С ПОВЕРХНОСТЬЮ ТЕЛА

В большинстве практических случаев граничные усло­ вия для уравнения энергии (22) или (23) заранее неизвестны, поскольку существует тепловое взаимодействие между потоком жидкости и контактирующей с ним поверхностью рассматривае­ мого тела (элементом конструкции теплообменного аппарата). В общем случае граничные условия на поверхности рассматривае­ мого тела определяются не только гидродинамическими и тепло­ выми свойствами потока жидкости, но и характером процесса теплопроводности в самом теле. Поэтому к рассматриваемым выше уравнениям Навье-Стокса для потока жидкости необходимо добавить уравнение теплопроводности для тела

где p, cp, Kw— соответственно плотность, теплоемкость и коэф­ фициент теплопроводности материала тела; qy — мощность вну­ тренних источников тепла в теле.

При таком подходе к анализу нестационарных тепловых про­ цессов граничные условия на поверхности тела определяют в ре­ зультате решения так называемой сопряженной задачи (совмест­ ное решение уравнения энергии для потока жидкости и уравне­ ния теплопроводности для тела).

21

При решении сопряженной задачи граничные условия на контактирующей поверхности тела задают в виде равенства тем­ ператур и тепловых потоков, т. е.

мали к поверхности.

Следует подчеркнуть, что решение сопряженной задачи свя­ зано с большими трудностями, поскольку в каждом конкретном случае необходимо иметь решение полной системы уравнений как для потока жидкости, так и для рассматриваемого тела. Поэтому для практических расчетов тепловых процессов (как и в случае гидравлических расчетов) трехмерное течение потока жидкости заменяют одномерным; при этом вводится понятие коэффициента теплооотдачи, учитывающего основную специфику трехмерного течения. Для практических расчетов важно иметь функциональную связь между температурой поверхности Tw, средней температурой жидкости Tf (средней по сечению для канала или температурой жидкости вдали от тела — для погра­ ничного слоя) и плотностью теплового потока на поверхности тела, т. е.

можно определить путем теоретического анализа трехмерного течения жидкости или путем экспериментального исследования одномерной модели.

Введение понятия коэффициента теплоотдачи позволяет рас­ сматривать раздельно тепловые процессы в потоке жидкости и в материале тела, а также решать сопряженную задачу для рассматриваемого тела и для одномерного потока жидкости.

В колеблющихся потоках плотность теплового потока на поверхности тела (как и силу трения) целесообразно представить в виде суммы осредненной по времени (qWo) и колебательной

здесь средняя по времени плотность теплового потока на поверх­ ности тела определяется осредненными по времени параметрами

22

a 0, Tf0, TWo, a колебательная составляющая определяется пульсационными параметрами Да, ДТf, А Тг , т. е.

где а 0 — осредненный по времени коэффициент теплоотдачи,

аДа — пульсационный коэффициент теплоотдачи.

Вдействительности (как и в случае определения пульсационной силы трения на стенке канала), в отличие от квазистационарного процесса теплообмена между плотностью теплового потока на стенке канала Aqw и перепадом температур A Tw—ATf должен существовать сдвиг по фазе, который зависит от частоты, и, следовательно, пульсационный коэффициент теплоотдачи яв­ ляется величиной комплексной:

По аналогии с коэффициентом потерь m для анализа функцио­ нальной связи между трением и теплоотдачей можно пульсацион­ ный коэффициент теплоотдачи отнести к количеству тепла, погло­

Граница между высокочастотными и низкочастотными колеба­ ниями зависит от размеров, геометрии, физических свойств рас­ сматриваемого тела и граничных условий на его поверхности.

В качестве примера рассмотрим полубесконечное плоское тело, на поверхности которого задано гармоническое изменение плот­

23

и его можно определить из решения одномерного уравнения нестационарной теплопроводности, которое для случая постоян­ ных физических свойств запишем в виде

Представим температурное поле в виде суммы средней ста­ ционарной температуры и периодической составляющей:

Т(у, t) = T0 + AT(y, t).

Для решения уравнения (18) периодическую составляющую температуры представим в комплексной форме согласно уравне­

экспоненциально затухает в направлении глубины тела. Макси­ мум амплитуды колебания температуры расположен на поверх­ ности тела при у = 0:

Из уравнения (61) следует, что амплитуда колебания темпе­ ратуры поверхности тела обратно пропорциональна корню ква­ дратному из частоты колебаний, т. е. с увеличением частоты амплитуда колебания температуры поверхности уменьшается. Колебания температуры поверхности отстают по фазе от колеба­

ния плотности теплового потока на поверхности qWo на -у-.

24

Колебания температуры в теле целесообразно представить в безразмерном виде, отнеся амплитуду колебания температуры поверхности к среднему перепаду температур между жидкостью

Био, в котором в качестве характерного размера принята вели­

чина I = 1^/” = 2 ]^2лЛ, пропорциональная длине волны

колебаний температурного поля в теле. Поскольку с увеличением частоты длина волны колебаний уменьшается, то уменьшается и критерий Bi*, а следовательно, уменьшается и относительная

амплитуда колебания температуры поверхности - Х ° . Увели­

чение частоты колебания приводит не только к уменьшению ампли­ туды колебания температуры поверхности тела, но и к увеличе­ нию затухания волны в самом теле, т. е. к уменьшению глубины проникновения температурной волны в теле.

Таким образом, граница между высокочастотными и низко­ частотными колебаниями зависит от модифицированного критерия Био, поэтому можно условно считать, что при Bi* ;S 0,01 коле­ бания являются высокочастотными.

Согласно выражениям (53) и (61) можно определить зависи­ мость между колебаниями температуры среды и плотностью

где комплексным нестационарным коэффициентом теплопередачи является

Из выражений (61) и (62) можно найти соотношение между комплексными амплитудами колебания температуры поверх­ ности и среды:

колебания температуры поверхности отстает по фазе от колебаний

температуры среды на а при со—>оо (Bi* —>0) амплитуда

25

ности и температуры среды будут синхронными и практически не будут зависить от коэффициента теплоотдачи.

5. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ДЛЯ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ПОТОКОВ

Одним из методов определения критериальной зави­ симости является приведение уравнений и граничных условий к безразмерному виду. В качестве масштаба выберем следующие параметры:

Систему осредненных по времени и пульсационных уравнений (25) и (26) и граничных условий (27) и (28) относительно введен­ ных выше безразмерных величин запишем в виде уравнения для пульсационного движения:

26

(66)

уравнения для осредненного движения

а«

(рИ)0/ дХE. —= -Re2f p o * 0 - E u дХ +

и для системы координат, жестко связанной с поверхностью, тела запишем

27

U0f

Если использовать в первом приближении модель линейных

колебаний, полагая, что Apf = alfApf и Ар = ОороДи/ (где Оо — изэнтропическая скорость звука), то значения критериев можно приближенно представить в виде

28

Для газовых сред критерий Эйлера можно привести к следу, ющему виду:

Используя основные положения теории подобия, можно запи­ сать следующую функциональную связь для параметров пульсационного потока:

от времени не зависят, и, следовательно, критериальные уравне­ ния имеют вид

Для линейных акустических колебаний

Следовательно, в этом случае, используя вышеприведенные соотношения для критериев подобия получим, что функциональ­

29

Критерии G и AG аналогичны критерию Грасгофа, поскольку содержат характерный перепад температуры Чт ~ Тур— Тf.

Эти критерии обусловлены наличием в уравнении энергии чле­ нов, характеризующих выделение тепла вследствие работы сил давления dp/dt и диссипации кинетической энергии Ф. Если эти эффекты малы, то критерии G и AG можно не учитывать.

Используя законы Ньютона и Фурье, интегральные характе­ ристики колеблющегося потока при одномерном описании тече­ ния жидкости в канале можно представить в следующем виде:

осредненный по времени коэффициент сопротивления трения

m

ное по частоте; —-----величина, характеризующая потери на

стенке канала на расстоянии, равном длине волны колебаний; осредненный по времени и пульсационный коэффициент тепло­

отдачи

или в безразмерном виде

30