книги / Тепловые процессы в технологических системах

Если при заданном q необходимо

рассчитать значение температуры 6i или 0а, выражение (1.15) надо при­ вести к виду

О,5т0? -f- Л,о01— О,5т02—Хо02 — </Д = О

и решать квадратное уравнение от­ носительно искомой величины.

Возвращаясь к формуле (1.14), отметим, что в соответствии с изве­ стным из математики правилом

ь

| f (u)du = (ft — a)f,

a

где f — среднее значение монотон­ ной функции f (и) в интервале

аи 6, можем написать

стить расчетные формулы без потери точности расчета. Переходим к рассмотрению вопроса о теплопередаче через цилиндрическую стенку (втулку). Пусть на ее наружной поверх­ ности радиусом гв (рис. 1.8) действует источник теплоты, создаю­ щий равномерно распределенный поток плотностью q, Вт/ма.

Поскольку процесс теплообмена установился, то температура в любой точке наружной 0Н й внутренней 0В поверхности во вре­ мени не меняется. Изотермические поверхности будут иметь форму цилиндров, коаксиальных оси Z. При установившемся тепловом режиме через любую изотермическую поверхность радиусом г

в единицу времени протекает одно и то же количество теплоты. Следовательно, плотность теплового потока q (г) меняется в за­ висимости от г, увеличиваясь при переходе от наружной к вну­

тренней поверхности обратно пропорционально текущему зна­ чению г. Имея это в виду, а также положив начало координат на поверхности цилиндра в точке О, закон Фурье представим в виде

Вопросы для самопроверки к пп. 1.1 и 1.2

1.Чем отличаются друг от друга трех-, двух- и одномерные температурные

поля?

2.Приведите математические выражения, описывающие двумерное стацио­ нарное температурное поле.

3.Чем отличается квазистационарное температурное поле от стационарного

инестационарного?

4.Как расположены по отношению друг к другу векторы градиента темпе­ ратуры и плотности теплового потока?

5.Каким законом связаны между собой эти векторы?

6.На внутренней поверхности цилиндрической втулки и на одной из пло­ скостей пластины, изготовленных из одного и того же материала, поддерживается температура, равная температуре окружающей среды. Противоположные по­ верхности втулки и пластины нагреваются тепловыми потоками, имеющими одну

иту же плотность. Толщина стенки втулки равна толщине пластины. Где воз­

никает более высокая температура — на наружной поверхности втулки или на поверхности пластины?

теплового потока на поверхностях соприкосновения зубьев инструмента с обра­ батываемым материалом.

Ответ: q = 12,2-10е Вт/ма.

2. Эффективная мощность, затрачиваемая на процесс точения стальной заготовки резцом с пластиной из твердого сплава при некотором режиме резания, W =2560 Вт, 5 % этой общей энергии, практически полностью преобразующейся в теплоту, передается через контактную площадку OL (см. рис. В.З) в резец, а из него 1 % общей энергии возвращается в заготовку через площадку OS. Определить плотность qx теплового потока источника через площадку контакта между стружкой и передней поверхностью резца, а также стока q2через площадку контакта на задней поверхности инструмента, если OL = 1,3 мм, OS = 0,1 мм, а ширина обеих площадок контакта (размер, перпендикулярный к плоскости

скую температуру на внутренней стороне 0! = 33 °С, а на наружной 02 = 32,7 °С. Определить, какое количество теплоты Q верхняя крышка коробки станка отдает в окружающую среду в течение каждой минуты работы станка при установив­ шемся теплообмене, а также рассчитать среднее значение градиента температуры

отверстия dB = 50 мм во втулке из стали ШХ15, X — 34 Вт/(м-°С) (рис. 1.9). Охлаждающую жидкость в процессе шлифования не применяют. Измерения показали, что избыточные температуры при установившемся теплообмене со­

что плотность теплового потока по внутренней поверхности распределена рав­ номерно;

в) сопоставив результаты расчета по пп. а и б, рассчитать температуру под покрытием.

Ответ: 0П « 294,3 °С.

1.3. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. ТЕРМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Коэффициент теплопроводности однородных тел. Выше было отмечено, что коэффициент теплопроводности к является

одной из физических характеристик вещества. Его значения оп­ ределяют преимущественно экспериментальным путем. Экспери­ менты показывают, что коэффициенты теплопроводности твердых тел зависят от их химического состава и температуры. На рис. 1.10 приведены зависимости к (0) для некоторых конструкционных и

инструментальных материалов. Из рисунка видно, что тем­ пературные зависимости коэффициента теплопроводности имеют достаточно сложный вид. В одних случаях с увеличением 0 коэф­ фициент %снижается, а в других возрастает, причем темп изме­ нения X в различных диапазонах температур может быть разным-

Значения коэффициентов теплопроводности приводят обычно в таблицах (см., например, в [34], а также прил. 1) либо рас-

Рис. 1.10. Зависимость ко­ эффициентов теплопровод­ ности от температуры:

режущие стали Р9К5; Р19К5Ф5; Р18 соответственно; 9 — кор­ розионно-стойкая сталь 1Х18Н9Т; 10 — жаропрочный титановый сплав ОТ4

где 2 — суммарное содержание всех добавок к железу, включая углерод, %; nti (при i = 1, 2, 3) — коэффициенты, зависящие от

температуры:

добавок по рецептуре стали.

Термическое сопротивление. Тепловые цепи. Формулу (1.16) для плоской стенки можно представить в виде

ческие сопротивления элементов цепи (толщину шайб или их материал), можем регулировать теплоотвод в пластину. Это важно, например, когда пластина представляет собой панель для при­ боров, чувствительных к нагреву.

При составлении тепловых цепей может возникнуть необхо­ димость определить термические сопротивления тел, форма ко­ торых отличается от плоской стенки. Таковы, например, для узла, приведенного на рис. 1.11, о, термические сопротивления шпильки 1 и гайки 2. Термические сопротивления тел сложной

формы определяют методами моделирования (см. гл. 2) или с по­ мощью расчетов, методика которых приведена в [И ].

Обратим внимание также на тот факт, что в реальных системах всегда имеются те или иные термические сопротивления в местах контакта твердых тел, что подобно электрическим сопротивле­ ниям контактов. Контактное термическое сопротивление зави­ сит от шероховатости поверхностей тел, прижатых друг к другу, их материала и давления на контактной площадке. Во многих технологических подсистемах давления В местах соприкоснове­

ния твердых тел столь велики, что контакт можно полагать иде­ альным и термическим сопротивлением контактной площадки по сравнению с термическими сопротивлениями самих тел можно пренебречь.

Эквивалентные коэффициенты теплопроводности. Выше мы рассмотрели вопрос о коэффициентах теплопроводности однород­ ных тел. Однако в технологических системах часто встречаются тела, представляющие собой ту или иную композицию из материа­ лов с различными физико-механическими свойствами. Эти ком­ позиции могут состоять из элементов, расположенных в заданном порядке (например, слоями) или стохастически, т. е. по законам случайного распределения. Примерами тел первого типа являются биметаллические втулки, инструменты с износостойкими по­ крытиями й т. д. Ко второму типу тел относятся, например, шлифо­ вальные круги, режущие зерна которых располагаются в связке стохастически.

При описании тепловых процессов в твердых неоднородных телах используют эквивалентные коэффициенты теплопроводно­ сти. Их рассчитывают по известным значениям коэффициентов теплопроводности компонентов, входящих в состав неоднородного тела. Рассмотрим, например, плоскую стенку, состоящую из т

слоев различной толщины А*, каждый из слоев имеет коэффи­ циент теплопроводности Определим эквивалентный коэффи­ циент теплопроводности такой стенки, заменив ее тепловой цепью из нескольких последовательно соединенных термических со­ противлений. Для такой цепи термическое сопротивление всей

где Rt — термическое сопротивление отдельного слоя.

Поскольку для каждого из слоев площадь F в сечении, перпен­

дикулярном к тепловому потоку, одинакова, можем вместо вы­ ражения (1.26) написать

тп

ZJ АгАвкв = Jj AJA I, <■=i

откуда

(1.27)

Аналогичную формулу можно получить для расчета экви­ валентного коэффициента теплопроводности многослойного ци­ линдра:

2 " t ,ln(1_e<)l i=l

где г„ и гв — соответственно радиусы наружной и внутренней

поверхностей цилиндра; ег = Д(/г4 — безразмерный коэффициент, представляющий собою отношение толщины каждого слоя к ра­ диусу его наружной поверхности.

Эквивалентный коэффициент теплопроводности тел, содержа­ щих частицы или участки с различными теплофизическими ха­ рактеристиками, расположенные в случайном порядке, опреде­ ляют экспериментальным путем. Для ориентировочной оценки ^ HB можно применять формулу

1.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Математическое описание температурных полей в ком­ понентах технологических систем, как, впрочем, и в любых дру­ гих твердых телах, выполняется с помощью дифференциального уравнения теплопроводности. Выведем это уравнение при сле­ дующих допущениях: 1) твердое тело однородно и изотропно;

2)в процессе теплопередачи не происходят фазовые превращения;

3)деформация, вызванная изменением температуры, пренебре­ жимо мала по сравнению с размерами тела. Выделим из нагре­

рез противоположную площадку AaBaCaDa за это же время отво­

представляет собой количество теплоты, поступившей в объем ДУ

Ограничимся перввши двумя членами ряда, поскольку осталь­ ные содержат малые величины высоких порядков. Тогда в соот­ ветствии с формулой (1.31) получаем

dQlx = - % д* д«/ Дг dT = - - | f - д у dx.

Аналогичные выражения можно получить для определения ко­ личества теплоты, поступившей в объем ДУ по направлениям 0Y

и0Z. Суммируя величины dQlx, dQly и dQlz, получаем

—(%+w+%)AVAr- (|-32)

Теперь определим величину dQ2. Если объемную плотность тепловыделения внутренних источников обозначим дъ, Вт/м8, то за время dx в объеме АУ накопится теплота

поскольку в общем случае коэффициент теплопроводности ве­ щества зависит от температуры.

Выражение (1.35) представляет собой дифференциальное урав­ нение теплопроводности, которое описывает в самом общем виде температурное поле, возникающее в твердом теле под действием внешних и внутренних источников теплоты. Рассмотрим неко­ торые частные случаи. Если нагрев твердого тела осуществляется только внешними источниками теплоты, то qB — 0 и уравне­

ние (1.35) упрощается. Дальнейшее упрощение можно получить,

Коэффициент температуропроводности ©, как и коэффициент теплопроводности X, является физической *характеристикой ма­