книги / Тепловые процессы в технологических системах

териала. Из формулы (1.36) видно, что в увеличением © возрастает скорость изменения температуры в данной точке твердого тела. Это значит, что в материале G более высоким коэффициентом температуропроводности выравнивание температур при прочих одинаковых условиях будет происходить быстрее, чем в мате­ риале с более низким ©.

Значения © определяют экспериментальным путем. При ап­ проксимации экспериментальных данных для углеродистых ста­

по которому с достаточной для практики точностью можно рас­ считывать © в том или ином диапазоне температур. Коэффи­ циенты /tj (при i = 1, 2, 3) зависят от температуры:

значения at, bit ct приведены в прил. 2.

Возвратимся к дифференциальному уравнению теплопровод­

собой линейное дифференциальное уравнение в частных произ­ водных второго порядка. Формула (1.35) в отличие от выражений (1.36) и (1.39) является нелинейным дифференциальным уравне­ нием, поскольку здесь учтена зависимость коэффициента тепло­ проводности от температуры. Аналитическое решение нелиней­ ных дифференциальных уравнений целесообразно лишь в про­ стейших случаях теплообмена. Применительно к более или менее сложным случаям описания тепловых процессов в технологиче­ ских подсистемах оно достаточно сложно и, как правило, нецеле­ сообразно.

Намного легче решаются линейные дифференциальные урав­ нения, поскольку они обладают важной особенностью, известной из математики. Эта особенность состоит в том, что сумма нескольких независимых друг от друга решений линейного дифференциаль­ ного уравнения также является решением такого урав­ нения. Или, наоборот, общее решение линейного дифференциаль­ ного уравнения можно рассматривать как алгебраическую сумму ряда его частных, независимых друг от друга решений. Это свой­ ство позволяет в случае, когда на твердое тело действует система из нескольких независимых источников или стоков теплоты, опи­ сать общее их воздействие, рассмотрев влияние каждого из источ­ ников или стоков отдельно, независимо от других. Написав для каждого источника или стока дифференциальное уравнение тепло­ проводности и решив его для тех или иных конкретных условий,

получим математическое описание температурного поля, которое именно этот источник или сток создает в твердом теле. Затем, наложив друг на друга (алгебраически суммируя) отдельные тем­ пературные поля, получим новое поле, соответствующее общему воздействию всей системы источников и стоков теплоты на ин­ тересующий нас объект. Такое наложение носит название супер­ позиции решений. Суперпозицию широко применяют при решении

задач технологической теплофизики.

До сих пор мы рассматривали дифференциальные уравнения теплопроводности, относящиеся к трехмерным температурным полям. Когда по условиям задачи температурное поле является двухили одномерным (см. п. 1.1), уравнение (1.36) приобретает вид

Аналогичные выражения можно получить и для нелинейных

дифференциальных уравнений, положив в формуле (1.35) или Э0/5г = 0 или дО/ду = дд/дг = 0.

Дифференциальное уравнение теплопроводности можно при­ менить к условиям стационарного теплообмена. Тогда во всех предыдущих формулах, относящихся к этому уравнению, следует принять 50/5т = 0. Например, для трехмерной задачи вместо формулы (1.36) получим

Если необходимо учесть зависимость коэффициента тепло­ проводности от температуры, для одномерного температурного поля вместо (1.35) при <7„ = 0 получаем

(1.45)

Вопросы для самопроверки к пп. 1.3 и 1.4

1. Объясните физический смысл коэффициентов теплопроводности и темпе­ ратуропроводности материала.

2. Равен ли коэффициент теплопроводности тела с внутренними пустотами коэффициенту теплопроводности материала, из которого изготовлено это тело? Как учесть влияние пустот?

Р и с . 1.13* П о дш и пн и ковы й у зел (к зад ач е 9)

Рис. 1.14. Составной резец (н за­ даче 1 0 )

3.Сопоставьте между собой термические сопротивления двух стержней квадратного сечения, изготовленных из одного и того же материала, если стер­ жень № 1 имеет в 2 раза большую длину и в 2 раза большую площадь попереч­ ного сечения, чем стержень № 2. Рассмотрите два варианта: а) тепловой поток направлен через торец вдоль оси стержня; б) тепловой поток направлен через боковую поверхность перпендикулярно к оси стержня.

4.Напишите дифференциальные уравнения теплопроводности: а) для дву­ мерного поля при установившемся теплообмене, если коэффициент X зависит от

температуры; б) для одномерного нестационарного поля при К = const.

в его объеме зерна из синтетического алмаза занимают 25 %, зерна карбида бора (наполнителя) 25 % t воздушные поры 2 % и бакелитовая связка 48 %. Коэффи­

водности материала проводника, если теплоотводом в окружающую среду можно пренебречь.

Алгоритм решения и комментарии к нему:

а) применить формулу (1.25) и рассчитать коэффициент теплопроводности ЕЯ, ж 36 Вт/(м-°С)];

б) написать формулу (1.35) при условии, что внешних источников теплоты

г) рассчитать объемную плотность тепловыделения, полагая, что мощность источника расходуется только на нагревание проводника (qB « 159-10е Вт/м3); д) рассчитать коэффициент температуропроводности материала (ш =

= 0,072-10-« ма/с).

Ответ: <о = 0,072-10~4 ма/с; Я = 36 Вт/(м-вС).

1 .5 . С Х Е М А Т И ЗА Ц И Я К О М П О Н ЕН ТО В Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К И Х П О Д С И С Т Е М П Р И О П И С А Н И И П РО Ц ЕС С О В Т Е П Л О О Б М Е Н А

Условия однозначности. При выводе дифференциаль­ ного уравнения (1.35) мы не накладывали никаких ограничений ни на форму тела, из которого выделен элементарный объем, ни на условия взаимодействия поверхностей этого тела с окружаю­ щей средой. Поэтому уравнение (1.35) и все последующие, выте­ кающие из него, справедливы для тел любой формы (резец, заго­ товка или деталь станка) при нагревании в любых условиях (в про­ цессе резания, в печи, плазменной дугой и т. д.) или при охлаж­ дении в той или иной среде. Следовательно, дифференциальное уравнение (1.35) в общем виде имеет бесчисленное количество разнообразных решений.

Практически нас интересует не описание процесса теплопро­ водности вообще, а описание закономерностей распространения теплоты в конкретных случаях, применительно к конкретному телу или системе тел, при заданных условиях взаимодействия этих тел с окружающей средой или друг с другом. Чтобы из бес­ численного количества вариантов температурных полей, описывае­ мых уравнением (1.35) и ему подобными, выделить поле, интере­ сующее нас в конкретном случае, необходимо оговорить и мате­ матически описать те частные особенности, которые характеризуют именно этот вариант процесса теплопроводности. Частные осо­ бенности, дающие совместно с дифференциальным уравнением теплопроводности полное математическое описание процесса теплообмена в конкретной задаче, называют условиями однознач­ ности. В этих условиях должны быть оговорены:

1) форма, размеры и теплофизические характеристики тела

(системы тел), в котором происходит процесс передачи теплоты; 2) форма, распределение плотности теплового потока и дру­

гие характеристики источников или стоков, действующих в рас­ сматриваемом процессе;

3)распределение температур в рассматриваемой системе тел до того, как начался изучаемый процесс (так называемые началь­ ные условия);

4)условия теплообмена на поверхностях тела, соприкасаю­ щихся с окружающей средой или с другими телами, входящими

всистему (так называемые граничные условия).

Выполняя математическое описание условий однозначности при решении конкретных практических задач, в том числе и за­ дач, относящихся к технологическим подсистемам, обычно при­ бегают к той или иной схематизации процесса теплообмена. Это значит, что фактические тела и источники, действующие в реаль­ ном процессе, заменяют телами и источниками более простой формы, приближенно описывающими оригиналы. Фактические условия взаимодействия тел с окружающей средой и начальные условия также схематизируют, заменяя сложные ситуации, имеющие место в действительности, более простыми, идеализированными.

Схематизация делается с целью облегчения математического описания процесса теплообмена в конкретных задачах. Это опи­ сание не может полностью отобразить все стороны изучаемого явления. Однако для исследования основных закономерностей при решении практических задач не всегда необходимо учитывать все стороны и детали явления, тем более что погрешности, выз­ ванные усложнением математического аппарата, могут свести на нет уточнения, достигнутые детализацией процесса. С услож­ нением условий однозначности чисто математические трудности решения нарастают очень быстро, иногда настолько, что само аналитическое описание интересующего нас процесса оказывается невозможным.

Разумная схематизация формы тел, источников, начальных и граничных условий, учитывающая, с одной стороны, необходи­ мую степень детализации процесса, а с другой — интересы его описания доступными математическими средствами, является важ­ нейшим этапом теплофизического анализа.

Схематизация формы нагреваемых тел. Реальную конфигура­ цию тел, участвующих в технологических подсистемах, при схе­ матизации приводят к одной из упрощенных форм,'показанных на рис. 1-15.

Допустимость той или иной идеализации формы реальных тел при теплофизических расчетах определяется в основном: 1) со­

отношением между размерами площадок, занимаемых источни­ ками теплоты, и размерами нагреваемого тела; 2) промежутком

времени от начала процесса теплообмена до момента, для которого

Рис. 1.15. Идеализированные формы твердых тел:

О— неограниченное пространство; 1 — полупространство; 2 — пластина; 3 — парал­ лелепипед; 4 — неограниченный стержень; 5 — стержень (цилиндр) конечной длины; 6 ~ неограниченный клин о углом р; 7 — шар

рассчитывают температуры; 3) наличием пассивных граничных

поверхностей; 4) требуемой точностью расчета.

Чем меньше размеры источника по отношению к размерам на­ греваемого тела, тем меньше влияние конкретной формы тела на температурное поле в области, прилежащей к источнику и пред­ ставляющей, как правило, наибольший интерес. В некоторых случаях, однако, упрощение формы возможно и при источниках, занимающих большие участки на поверхности тела. Примером может служить замена цилиндрической втулки плоской беско­ нечной пластиной, о чем мы упоминали выше (см. п. 1.2).

Влияние конкретной формы тела на температуру областей, прилежащих к источнику (в дальнейшем будем называть эти об­ ласти приконтактными), тем меньше, чем короче период тепло­ выделения. Поэтому, рассчитывая температуру приконтактных областей, можем допускать тем большую схематизацию формы тела, чем меньшее время отделяет начало процесса нагревания от момента, для которого рассчитывается температура.

Схематизируя форму реальных тел, следует учитывать, имеет ли нагреваемый объект так называемые пассивные граничные по­ верхности. Пассивными называют такие поверхности, температура

влияние на температуру шли­ фуемой поверхности. Если же толщина А намного превышает длину

контакта I, то граница А является пассивной, теплообмен на ней

практически не влияет на температуру обрабатываемой поверх­ ности. Пассивная граничная поверхность может быть при схемати­ зации формы тела отодвинута на любое расстояние или придвинута к области тела, для которой рассчитывается температура (ко­ нечно, не настолько, чтобы стать активной). Ей можно условно, если это удобно для расчета, придавать любую форму, отличаю­ щуюся от фактической. Например, если шлифуется толстая пласстина, то при математическом описании закономерностей распре­ деления температур на обрабатываемой поверхности можно при­ нять, что граница А отодвинута на бесконечность, т. е. шлифова­

нию подвергается полубесконечное тело (полупространство). Дру­ гой пример приведен на рис. 1.14. Опыт показывает, что при сравнительно краткосрочном резании инструмент прогревается не целиком, а только в некотором объеме, ограниченном изотер­ мой б = О °С. Это позволяет при теплофизическом анализе рас­ сматривать резец как бесконечный клин.

В некоторых случаях, схематизируя нагреваемое тело, целе­ сообразно мысленно деформировать его контуры с целью упро­ щения расчета. Например, стружку, сходящую при резании в виде спирали, при расчете часто заменяют прямым стержнем, т. е. мысленно выпрямляют ее. Преобразуя сложную форму тела в про­ стую, необходимо следить за тем, чтобы основные параметры тепло­ физической обстаноики сохранились неизменными. Положим, что, исследуя температурное поле в процессе шлифования кулачка эллипсовидной формы, мы трансформируем последний в цилиндр (рис. 1.17).

Для сохранения объема тела следует считать, что ра­ диус цилиндра г = ~\fab. Если в процессе шлифования плотность

стока теплоты в окружающую среду (охлаждающую жидкость) с поверхности кулачка равна q0, Вт/ма, то в расчетной схеме должно

Рис. 1.17. Пример преобразования сложной форыш тела в более простую при схематизации процесса шлифования кулачка

фигурировать скорректированное значение q0r — Pq0'/(2nr), где Р —

периметр эллипса.

В процессе шлифования эллипсовидного кулачка при равно­ мерном вращении заготовки с угловой скоростью Q окружная скорость точек наружной поверхности в момент шлифования различна. Заменяя кулачок цилиндром, следует скорость пере­ мещения источника J, теплота которого эквивалентна теплоте

шлифования, считать переменной. Для этого угловую скорость цилиндра следует принять переменной во времени.

Схематизация источников и стоков теплоты. Большое разно­ образие технологических систем и подсистем в современном ма­ шиностроении приводит к многообразию источников (стоков) теплоты, возникающих в реальных процессах. Однако несмотря на это, все источники и стоки могут быть классифицированы по некоторым основным признакам, что позволяет систематизировать

ив известной мере унифицировать решение задач технологиче­ ской теплофизики. К основным признакам, по которым будем классифицировать источники (стоки) теплоты, относятся: форма

иразмеры; закон распределения плотности тепловыделения; ско­ рость перемещения; длительность функционирования.

Вреальных технологических системах источники и стоки теплоты имеют форму и размеры, которые не всегда точно можно описать математически. При анализе тепловых процессов реаль­

ные источники заменяют идеализированными, форма которых в той или иной степени приближена к фактической. При этом характеристиками формы источника полагают: мерность, ограни­ ченность и конфигурацию зоны тепловыделения.

Идеализированные источники могут быть трехмерными, дву­ мерными, одномерными и точечными. Трехмерными (объемными) источниками называют такие, тепловыделение которых распреде­ лено по некоторому объему. Вообще говоря, все источники теплоты

зации теплообмена на основе анализа физических явлений и величин, определяющих тепловыделение (силы, коэффициенты трения, скорости и т. д.), или с помощью специальных эксперимен­