книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

Рис. 4.3. Зависимость у(со) при условии, что к < I, (R )

Рис. 4.4. Схематическое поведение у(со) при (R) < к < I

распределения функционал вида (см., например, [4.9])

%{пок.Л = 2л Z I ф(к, k ,,k2) I2 cp{nok,/ 0[к{м ,}A(k ± k, ± k2) х kI,2

пределения: его вид определяется конкретным механизмом взаимодей­ ствия между квазичастицами, как и знаки в законах сохранения энергии и импульса сталкивающихся квазичастиц в функциях 8(х) и Д(у). Выде­ лим лишний раз, что здесь пок есть фононная функция распределения неравновесных внешних фононов с температурой Г', а/* может быть как фононной, так и магнонной равновесной функцией распределения с температурой Т - это зависит от свойств исследуемого вещества.

Общее выражение (4.25) позволяет вычислить время релаксации звука в т-приближении. В самом деле, для обратного времени релак­

Вычислять Уо(со) и Yi (со) будем при решении конкретных задач, связанных с вполне определенным типом основной матрицы и мелко­ дисперсной фазы. Пока что остановимся на приведенной формуле и перейдем к рассмотрению следующего случая.

201

4. (R) <* Хм <« l.

Для данных длин волн звука затухание фактически комбинируется из уже рассмотренных выше. В самом деле, если X > (R), то имеет место просто независимое рассеяние звуковой волны на частицах мелко­ дисперсной фазы. Соответствующая характеристика дается формулой (4.17а). В случае же, когда А,зв < /, действует формула (4.26). Полное поглощение определится, очевидно, суммой затуханий у0(©), у^со) и

у2(со) и последующей подстановкой T Q{ и т^1 в формулу (4.15). Подчер­ кнем, что условие Хзв< I фактически равносильно условию созвт §> 1.

И наконец, последний случай. 5. (R) < l< z X 3B(рис. 4.4).

В этом случае поглощение будет характеризоваться суммой

где У2(<в) определено формулой (4.17), а уь(со) характеризуется только потерями в основной матрице и дается формулой (4.16а). В самом деле, если длина свободного пробега / велика (во всяком случае, больше, чем линейный размер частицы (/?)), то диссипативные процессы, обусловлен­ ные рассеянием фононов и магнонов в мелкодисперсной фазе, в общий коэффициент затухания звука у(оо) вклада не дают. Что же может дать вклад в у(со) в фазе "1"? Очевидно, что этот вклад будет обязан другим микроскопическим процессам, происходящим в частицах при­ месной фазы. Например, это может быть чисто квантовый процесс переворота электронного спина, связанный с переходом атома на дру­ гой энергетический уровень, обязанный процессу поглощения (излу­ чения) звукового кванта.

Перечисленными возможностями закончим общее знакомство чита­ теля с теорией поглощения звука в двухфазных структурах. Что ка­ сается обобщения приведенных формул на случай не двух, а, скажем, Р фаз, то оно вполне очевидно. Переходим теперь к конкретным частным случаям.

4.2. СТРУКТУРА D + D

Поскольку свойства матрицы оговорены - это диэлектрик с ди­ электрическими же мелкодисперсными частицами, остается только вычислить согласно формулам (4.18), (4.23) и (4.27) соответствующие потери звуковой энергии во всех приведенных реальных физических случаях. Кстати сказать, исследование процессов затухания звука в различного рода веществах проводилось довольно многими авторами, но, поскольку в этом направлении имеется огромное количество ориги­ нальных работ, мы дадим ссылки только на некоторые из них, не пре­ тендуя на полноту цитирования. Итак, см., например, работы [4.10— 4.25].

Начинаем с первого случая.

1- ipkjn •* W К.-

202

Здесь, как мы уже знаем, имеет место механизм рэлеевского погло­ щения звука и его стохастическое рассеяние на частицах мелко­ дисперсной фазы. Согласно формулам (4.16) и (4.18) легко вычислить у(оо). В самом деле, считаем что г0к = hc0sk , a £1Jt = hcuk . Возникает

вопрос: как вычислить TQ.U? Из выражения (4.26) это сделать очень просто. Зададимся трехчастичным гамильтонианом взаимодействия между фононами:

G - безразмерная константа стрикции, р - плотность, V - объем ком­ позита, со,- = - частота фонона, е - вектор поляризации фонона, 0О - температура Дебая. Буквы к. с. в формуле (4.28) означают комплексно­ сопряженную величину.

Зная гамильтониан взаимодействия, можно легко написать и интег­ рал столкновения. Действительно, согласно правилам, изложенным, ска­ жем, в [4.9], имеем

Вычисление времени релаксации согласно формуле (4.26) дает нам искомую величину:

— = 2nh~lN0 X I y(k, k j, k2) I2 {(1+ <n, > + <л2))A(k, + k 2 - k) x

где NQ- полное количество атомов в основной матрице (N0 есть резуль­ тат взятия вариационной производной).

Заметим, что здесь и далее, там, где это не приведет к путанице, введено более сокращенное обозначение функции распределения, а именно n(kj) обозначено как л,-.

Для того чтобы вычислить выражение (4.31), следует проанализи­ ровать законы сохранения энергии и импульса, которые фигурируют в аргументах А- и 5-функции. Для первого процесса взаимодействия имеем два уравнения:

203

В уравнении, описывающем закон сохранения энергии, учтено, что акустические фононы характеризуются линейным по волновому век­ тору к спектром (е(к) = hcjc). Подстановка к2 = к - kj из первого урав­ нения во второе приводит в результате с учетом свойств 5-функции для процесса слияния (распада) двух фононов в один внешний звуковой квант к следующему соотношению:

5[e(Jfc,)+£(*2 )-Йш] = Г ‘cj'SOt, +к2-к) =Г 'с ;‘8[1 к - к, I -к + к,] =

где 0 есть угол между фиксированным вектором к и "виртуальным" вектором к\.

Вполне аналогичное выражение получается и при анализе законов сохранения энергии и импульса для аннигиляционного процесса взаимо­ действия фононов с излучением (поглощением) кванта внешней звуко­ вой волны. Отличие от выражения (4.32) будет заключаться лишь в знаке между к и kv То есть вместо к - к\ будет стоять к + к^.

Усреднение по векторам поляризации е в результате использования

явного выражения (4.29) дает, например, что ((ekj)2) = fc2 /3. Такая процедура позволяет переписать формулу (4.31) следующим образом (используя предварительно правило перехода от суммирования к интег­ рированию, согласно которому надо писать, что £(...) = У01(...)еРк/(2к)ъ, где V0- объем основной матрицы композита. Заметим здесь, что, когда мы использовали гамильтониан волновая функция фононов раскла­ дывалась по плоским волнам во-всем объеме композита, в результате чего в формуле (4.29) стоит полный объем системы V; при интегриро­ вании следует учитывать лишь реальный, занимаемый только основной матрицей объем V0):

главу 1, раздел 1.1), то соотношение (4.33) следует записать таким об­ разом:

Заметим, что в выражениях (4.33) и (4.34) константа сгрикции G (см. выражение (4.29)) обозначена как GQ, поскольку она относится к ос­

204

новной матрице. Среднее межатомное расстояние а, введенное в (4.34), определено соотношением а3 = V/(N0 + Nx), N0 - число атомов в основ­ ной матрице, a Nx- в примесной фазе. Подчеркнем, что плотность р и скорость звука cs есть функции £* (см. разделы (1.1) и (1.2)).

Функции J\ и У2определены формулами

к

Л(“ )= /( * - * , )2*12[1+ ЫЛс,к, )>+(п(Ла>- hcsk, ))Щ ,

О

(4.35а)

к*

У2(ш) = J (k + kx)2k?[(n(hcskx))-(n(hcskx+h(0))]dkx.

о

Надо сказать, что вычислить интегралы Jxи У2 поможет условие Т > Лео. Действительно, даже для гиперчастот, когда со = 109 Гц, и при комнатных температурах Т = 300 К это условие, как легко проверить, выполнено с хорошим запасом.

Тогда мы имеем право разложить У] и У2 по степеням малого отно­ шения йсо/Г и (n(£j + Лео)) = <л(е,)) + йсод(и(Е,)) / д£,.

Используя свойство бозевских функций распределения, согласно ко­

дТ о

Используя явный вид функций распределения Бозе, соотношение (4.356) после соответствующего обезразмеривания переменной интегри­ рования (х = hcJcx!T) можно написать в виде суммы интегралов:

ax* = nhcJaT). Предел интегрирования мы заменили здесь не на беско-

205

нечность, что справедливо только для области низких температур, а на некоторую конечную величину: это позволит нам привести формулу, справедливую не только при Т 0, но и при Т Р QD.

С этим типом интегралов мы имели дело в главе 1, где вычислялась теплоемкость композитов. Согласно этим формулам можно записать,

Тогда, проводя элементарное дифференцирование в (4.35в) по темпера­ туре и подставляя результат в (4.34), находим искомое время релакса­ ции в различных температурных диапазонах. При низких температурах

( Т => 0 )

Межатомное расстояние в фазе "0" OQ, фигурирующее в знамена­ теле формулы (4.366), появляется в результате интегрирования по области фазового ^-пространства, обратного прямому пространству V0.

Вполне аналогично можно вычислить и время релаксации в фазе "1". В одной частице объема V\ это время, очевидно, согласно соот­ ношению (4.34) будет

Лишний раз подчеркнем, что скорости звука, входящие в полученные соотношения, - это средние скорости звука в соответствующих фазах, оценить которые можно по соотношению

Теперь нам осталось воспользоваться формулой (4.18). Действи­

12" рс; о дг.(к) “

Подстановка сюда времен релаксации (4.36) и 4.37) приводит к лога-

206

рифмической расходимости обоих интегралов на нижнем пределе (при

к=> 0).

В чем же дело? Казалось бы, для того чтобы обойти эту непри­ ятность, следовало бы нижний предел интегрирования заменить некото­ рым параметром "обрезания" кЕ. Причем для частиц мелкодисперсной

фазы вроде следует положить к0Е = 1/(R), а для основной матрицы - Jtle = 1/L, где L - линейный размер композита. Тогда после простого интегрирования получилось бы такое выражение:

1355*ш2/ф?аГс2 (Т ~ («(El)EJ > + Г 1п(/?/ а ,)],

2п5ТА9с]

где £* = 7СЙС|5 / fl], 8Q = Tthcs / а. Но, как видно, оно лишено физического смысла, поскольку при L, R => «> получилось бы, что и у(со) а это абсурд.

На самом деле все значительно проще и эти расходимости кажу­ щиеся. Если вспомнить, что спектр фононов, вообще говоря, нелиней­ ный и содержит так называемый дисперсионный член, а именно

где ad= а2/24 для самого простого случая кубической кристаллической решетки: в общем же случае не следует производить его расшифровку, а следует считать, что это просто некоторый коэффициент дисперсии.

Кроме того, общая формула (4.15) содержит кое-что и под знаком

интеграла, а именно в знаменателе стоит сумма 1 + со2т2, которую

необходимо учитывать и интегрировать общее выражение для зату­ хания y(G)) по к именно с учетом этой суммы. Если учесть приведенные два обстоятельства, то все будет в порядке и никаких расходимостей не возникнет. В самом деле, тогда из (4.15) следует

Аналогичное выражение получится и для фазы "1". Приведенный интеграл легко вычисляется, если вспомнить, что времена релаксации Т(Ш даются выражениями (4.36) и (4.37), согласно которым I/TQ.M = Ак, где А - константа и пренебрегая здесь дисперсией (интеграл прекрасно сходится при всех "к"), имеем

207

_ tic.CD

QQT

Еще один тонкий момент. При низких температурах длина свобод­ ного пробега квазичастицы возрастает, и при этом формально происхо­ дит нарушение неравенства к К 1. А именно становится справедливым обратное: k l> 1. Но в этом случае определение коэффициента затуха­ ния следует проводить уже не по формуле (4.38в), а по формуле (4.26). Кстати, это видно и из выражения (4.38в): при низких температурах верхний предел интегрирования можно положить равным бесконечнос­ ти, а в силу выражения (4.38г) параметр QQ ведет себя как Г4, т.е. про­ изводная д/дТ становится отрицательной и, таким образом, формула (4.38в) просто "не работает". Согласно же (4.26) затухание будет пропорционально со (это видно, кстати, и из формул (4.36) и (4.37)).

Все сказанное в совокупности позволяет проанализировать пове­ дение коэффициента затухания в зависимости от температуры Т. Вид­ но, в частности, что при высоких частотах звука со и при низких темпе­ ратурах (Т < 0D) величина у(<о) ведет себя как функция отношения со7У(1-4)2. При высоких же температурах (Т > 0D) у(со) зависит от Т, как со2/Г/(1-^)2. При увеличении концентрации примесной фазы £* (£) потери также возрастают, что в принципе и должно быть по логике. Заметим также, что при подстановке в (4.38в) явного выражения для Q0 J зависимость от констант стрикции G0i i исчезает. Это очень важ­ ный результат, показывающий, что при низких (сравнительно) частотах с точки зрения внешнего звука абсолютно безразлично, какова природа взаимодействия между фононами внутри структуры. Это обстоятельст­ во может быть использовано для оценки £*. В самом деле, определив затухание звуковой волны экспериментально для данной частоты со, по­ лучим (при известных, естественно, параметрах структуры) уравнение на £*.

2* /о . \ p h .m ^ ^ З в ^ ( Я )

В этом диапазоне частот звуковая волна будет распространяться внутри частиц примесной фазы, представляя собой неоднородную волну деформации. Согласно формуле (4.23) потери в этом случае опреде­ ляются еще дополнительным поглощением, обусловленным границей примесной фазы:

208

Поэтому формула (4.38в) останется в силе, но дополнится "гра­ ничным" поглощением:

54со2(1-£*)р2а6аоС5

Здесь анализ температурной зависимости тот же, что и выше, единственное отличие - это дополнительные функциональные зави­ симости (и частотные и температурные), происходящие от среднего времени релаксации фононов в основной матрице (т0). Усреднив

соотношения (4.36), по бозонной функции распределения, его легко оценить. В самом деле, при низких температурах (Т < QD (частота © должна быть заменена на T/h, а при высоких (Г 0D) со заменяется на ncJ2a. Итак, среднее время релаксации есть

Видно, таким образом, что потери за счет поглощения звука на гра­ ницах мелкодисперсной примесной фазы при низких температурах опре­ деляются зависимостью Г~5/2(1-£*)_,/2(1-£)-1, а при высоких поведение т0 более плавное, определяемое законом T~lf2(1-Q-1(1-^*)-1/2.

3. Л,зв < /о, 1рн, m < <*>•

Этот случай характерен тем, что частота звука велика, а потому из формул (4.37) при сот > 1 находим

Таким образом, полное поглощение с учетом "граничного" слагаемого

209

, 5*сД2агс0)1/2

(4.42)

3<Л)

Задача решена: зависимость коэффициента звуковых потерь от температуры, от концентрации, от плотности и скорости звука в обеих фазах теперь известна, и отвечают на данный вопрос формулы (4.41) и (4.42).

4. (R) Хзв < /0, 1ph, rn-

Этот случай в некотором смысле довольно экзотический, поскольку речь в нем идет о слишком малых размерах частиц мелкодисперсной фазы. Но коль скоро в природе такая ситуация может проявиться, ее не следует игнорировать. Итак, приведенное неравенство показывает, что, во-первых, имеется стохастическое рассеяние звука на частицах (условие (R) < А.), а, во-вторых, звуковая волна неоднородна как в основной матрице, так и в каждой частице примесной фазы (к < /). Все это дает право воспользоваться результатами, полученными в преды­ дущем пункте. То есть из формул (4.41) и (4.42) в пренебрежении поте­ рями на границе (в данном случае они исчезающе малы - слагаемые Y,p(a)) отсутствует) имеем в данной ситуации, что при Т < &D

210