книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

которых, как и выше, мы обозначим через Р. После этого нагрев пре­ кращается, а композит мгновенно (в течение времени 81 <(« /тепЛопр.» где Ггеплопр. ~ характерное время установления температуры по всему образ­ цу за счет теплопроводности) помещается в теплоизолированную среду. Возникает вопрос: как должно произойти перераспределение темпера­ туры в такой структуре, если (только определенности ради) считать, что Гр > Го? Ответу на этот вопрос и посвящен настоящий раздел. При изложении материала мы будем пользоваться в основном результатами работы [2.20].

Пусть теплоемкость единицы массы основной матрицы есть с0то, а примесной фазы - срт. Понятно, что в результате контактного влияния

мелкодисперсных примесей на основную матрицу и в силу их большого количества (хотя и малого размера!) температура Г0 возрастает, а тем­ пература Гр уменьшится. Причем равновесная температура всех под­ систем при t —> °о будет, очевидно, равна

р

ЩСопЛ+1, '« р ^ Т ’р

где щ и wp соответственно массы обеих фаз.

Уравнения теплопроводности, описывающие приход обеих подсис­ тем к единой средней температуре Teq, запишем в виде следующей

ны с общепринятыми коэффициентами теплоотдачи соотношениями а ор) = а ор/S0 и а ро} = «ро / 8j, здесь а^'р - коэффициент теплоотдачи от основной матрицы к i-й частице примесной фазы |3, а Орд - коэф­

фициент теплоотдачи от /-й примеси фазы Р к основной матрице, линей­ ный размер S0 i по порядку величины соответствует длине пробега / - той квазичастицы, которая характерна для данного вещества. В самом деле, если и основная матрица, и примесная фаза - диэлектрики, а тем­ пература среды меньше температуры Дебая, то роль этих квазичастиц играют акустические фононы. Если же температуры высокие, то это могут быть, например, оптические фононы. Значит, в случае диэлек-

111

трика 5, = l\ph =CijXio> где с1л - скорость звука в примесной фазе, а Xjo —время релаксации, связанное с взаимодействием фононов примес­ ной фазы с фононами в основной матрице в приграничной области. 50 = l0ph = со$х0], где cQs - скорость звука в основной матрице, а х01 -

время релаксации, связанное с взаимодействием фононов основной матрицы с приграничными фононами в примесной фазе. Понятно, что ввиду различия фазовых объемов для обоих типов фононов времена релаксации x0i и х10 не равны друг другу (см. раздел 2.2). Надо еще заметить, что при слишком малом размере частицы мелкодисперсной фазы роль длины пробега и /0 и 1\ может перейти просто к среднему линейному размеру этой частицы R, но это, как мы уже знаем, отно­ сится к случаю низких температур.

Усредним уравнение (2.143) по некоторому произвольному объему 5V, значительно большему, чем объем частиц мелкодисперсной фазы.

То есть v^<bV<: V, где - объем /-й частицы (3-й фазы, V - объем

композита. Понятно, что при мысленном разбиении объема всего компо­ зита на q в среднем равных объемов 5V (q = V/ bV) в каждом из элементов 5V может находиться от одной до нескольких частиц примеси. В связи с этим будем считать изменение средней температуры Т0 =(Т0) = jT0dV/bV, связанное с наличием в объеме SV нескольких

примесей, равным естественным флуктуациям температуры основной матрицы. Это значит, что

J x 0A8r0</v/8V = (x0 /8V)J VbT0dS.

8V 5S

Но последний интеграл по порядку величины будет равен х 087^ / L2 в силу непрерывности потока тепла из объема 8У при условии, что на поверхности 85, охватывающей объем bV, нет посторонних источников тепла. Последнее всегда можно сделать соответствующим выбором формы объема 5V\ исключающим с его поверхности примесные части­ цы. Что касается параметра L, то он характеризует линейный размер области bV. В результате такого усреднения система уравнений (2.143)- (2.144) примет вид

Величина а^, фигурирующая в уравнении (2.145а), учитывает не только размеры области интегрирования L, но и сами границы между основной матрицей и примесной фазой. Действительно,

aS = x0/L2+ i f а^-) p=i /=1

Поскольку речь идет о временах bt>F^ /mintXp*}, гДе Xp* - темпера­

112

туропроводность примесей, Яр - их линейный размер, то в уравнении

(2.1456) опущено неоднородное слагаемое х^ДбГр^.

Что касается константы интегрирования В, то о ней мы поговорим в конце вычислений.

Если вместо дискретного индекса / ввести функцию распределения частиц фазы (3 по размерам /р(Я), то уравнение (2.145а) с учетом реше­ ния (2.146) запишется следующим образом:

Решим полученное уравнение с помощью преобразований Лапласа. В самом деле, поскольку изображение

Последний интеграл с помощью изменения порядка интегрирова­ ния, что осуществляется благодаря преобразованию Дирихле [2.25], приводится к виду

113

Вычислим б!Г/> для конкретной зависимости /р(Л). Пусть, например, функция распределения задана в виде распределения Пуассона. То есть

где /гр - целые чиста.

Поскольку коэффициенты теплоотдачи Оор(аро) обратно пропор­ циональны площади поверхности контакта, то Оор(ар0) пропорциональ­

ны RQ . Учитывая (12) и (6а), интегралы, фигурирующие в (11), легко

вычисляются с помощью теоремы Коши и теории вычетов. Положим В = 5Г0(0), тогда

Р=1

где

/ .^ ( T tC p /^ lK C p p /a J ^ '^ e x p l- lC p p /a ;) 1' 2),

У2|5 = (TtCpp/ 4 ^ ! )(Срр / a J)*р+0,5 exp (ЧСрр / a j )‘/2),

где Ср - теплоемкость Р-й мелкодисперсной фазы, dp = ар /б 1э ар -

коэффициент теплоотдачи отдельной частицы Р-й фазы.

С помощью преобразования Меллина изменение температуры ос­ новной матрицы можно записать таким образом:

0+/°о [ep,(C0 + W ^ (p )))d p

Полученный интеграл легко оценить в двух предельных случаях: а) Ipl^>aj/C p и б) Ip N aJ/C p . В случае а) 1МрУ12р(р) экспонен­ циально мала и интеграл (2.154) при a < a 0 / С0 дает

114

В случае б) Х ^ р /| 2р(р) пропорциональна pv. Знаменатель интеграла

(2.154) есть

Z = знаменатель = С0[do/С0 + р - (пр/4) X ((Q p Iа р)*Р +' 5)/ *рП- р=1

Допустим Лр = 0, тогда

Z /C 0 = ( a 0fC0 + p - n p 5l2DI4)t

где D = X (Со/0Ср)3/2. p=i

Значит, при больших \р I > 0CQ/ С0 имеем

Итак, наиболее важные, на наш взгляд, результаты раздела 2.7 заключаются в следующем.

1. Изложена теория установления теплового равновесия в сложных композитных структурах, когда в основной матрице присутствует Р примесных фаз с определенными физическими свойствами (коэффи­ циентом теплоотдачи а, теплоемкостью Ср, теплопроводностью хр).

2.Показано, что весьма сильное влияние на время установления теплового равновесия оказывает распределение примесной фазы по размерам. Учет этого разброса осуществлялся введением функции распределения/р(/?).

3.Хотя это и очевидно, тем не менее строго математически дока­ зано, что время установления равновесия между обеими подсистемами (мелкодисперсная фаза + основная матрица) очень сильно зависит от количества примесных фаз (см. формулу (2.159)) и от соотношения между свойствами основной матрицы и примесной.

Подводя же в целом итоги главы 2, необходимо еще раз подчерк­ нуть большое разнообразие всевозможных применений подобных струк­ тур для различных областей теплотехники и теплофизики. Надо ска­ зать, что возможность прогнозирования каких-либо интересных свойств таких сложных по составу веществ даст широкое поле деятельности для исследований. И хотя нами были рассмотрены лишь некоторые типы композитов (пусть и кристаллических), тем не менее их свойства, как показано выше, характеризуются совсем не стандартным поведе­ нием коэффициента теплопроводности. Основное, на что хотелось бы

115

обратить особое внимание, заключается в намеченном нами общем под­ ходе к изучению теплопроводности любых сложных составных структур независимо от того кристаллические они или нет. Действительно, ис­ пользуя свойство аддитивности внутренних микроскопических тепловых потоков как любых векторов (причем нет оснований считать, что они не будут суммироваться!), всегда можно добиться учета взаимодействия между фазами, что наглядно на примерах кристаллических веществ и было продемонстрировано в настоящей главе.

ЛИТЕРАТУРА

2.1.Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Гостехиздат, 1952. 467 с.

2.2.Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.

487 с.

2.3.Седое Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973. Т. 1. 536 с.;

Т.2. 584 с.

2.4.Юдаее Б.Н. Теплопередача. М.: Высш. шк„ 1973. 359 с.

2.5.Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. М.: Машиностроение, 1975. 327 с.

2.6.Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.: Энергия,

1977. 343 с.

2.7. Лыков А.В. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1978.

479с.

2.8.Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат,

1979.415 с.

2.9.Котляр Я.М., Совершенный В.Д., Стриженов Д.С. Методы и задачи тепломассообмена. М.: Машиностроение, 1987. 317 с.

2.10.Гладков С.О. Теоретическое исследование коллективной дина­

мики ядерных спинов и других неравновесных явлений в структурах со сверхтонким взаимодействием: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 1995. 219 с.

2.11.Гладков С.О. Физика пористых структур. М.: Наука, 1997. 175 с.

2.12.Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Фиэматгиз, 1962. 443 с.

2.13.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Т. 5. М.: Наука,

1976. 575 с.

2.14.Gladkov S.O. On heat conductivity of amorphous substances in terms of free volume modelling (jump-like heat conductivity) // Solid State Commun. 1992. Vol. 82, N 11. P. 919-921.

2.15.Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский C.B. Спиновые

волны. М.: Наука, 1967. 368 с.

2.16.Гуревич ВЛ. Кинетика фононных систем. М.: Наука, 1980. 400 с.

2.17.Канаун С.К., Левин В.М. Метод эффективного поля в механике композитных материалов. Петрозаводск, 1993. 598 с.

2.18.Победря Б.Е. Эволюционная деструкция в механике композитов II

Механика твердого тела. 1997. N 2. С. 27-31.

2.19. Гладков С.О. К вопросу о зависимости коэффициента темпе­ ратуропроводности композитов от концентрации примесных фаз // Известия ВУЗов. Физика. 1999, т. 42, вып. 11, с. 57-62.

116

ГЛАВА 3

ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ КОМПОЗИТАМИ

Изучение вопроса о воздействии на гетерогенные твердофазные структуры различного рода внешних полей представляет интерес не только с чисто академической точки зрения, но (и, кстати, в очень большой степени) и с практической. В особенности это относится к намеченному выше классу структур, которые уже традиционно в рам­ ках настоящей монографии будут предметом нашего пристального внимания и в данной главе.

Когда речь идет о вычислении потерь электромагнитного (сокра­ щенно ЭМ) излучения в сложных многокомпонентных структурах, становится важным определение главных источников диссипации этой энергии поля. В самом деле, пусть длина волны ЭМ поля превышает средний размер частиц мелкодисперсной фазы (R). Тогда по отношению к этим частицам ЭМ поле является только осциллирующим по времени и постоянным (однородным) по объему частиц (К > (R)). Но для таких условий вычисление потерь осуществить довольно просто: они опре­ деляются мнимыми частями тензоров диэлектрической е и магнит­ ной |! проницаемостей. О fi мы будем говорить, естественно, только в том случае, если частица магнитная. Действительно, в соответствии с

кой проницаемости при бесконечно больших частотах. Нерезонанс­

момента, a |iloo - значение проницаемости при со => «>. Подчеркнем здесь, что индекс "1", так же как и выше, относится к мелкодисперсной фазе. Потери в основной матрице определяются, очевидно, анало­

гичными выражениями: EQ = (Е0 - В0оо)ш 0D /(1 + D), |io = (Но -

-р.0оо)сотОА/ /(1 + со2Том). Приведенными формулами, вообще говоря, можно и ограничиться, поскольку именно они и определяют основные ЭМ потери в композите. Теперь возникает вполне резонный вопрос: а как же их учесть вместе, вычислив "суммарную” потерю энергии в ком­ позите? Все, оказывается, не так уж и сложно, если воспользоваться аддитивными свойствами свободной энергии структуры и ввести, как это было сделано в работе [3.1], магнитную и диэлектрическую проницаемость в соответствии с формулами, связывающими искомые тензора со второй вариационной производной от свободной энергии по соответствующим внутренним полям.

118

Действительно, можно чисто феноменологически записать, что

где Е и Н\^ - внутренние электрические и магнитные поля в ком­ позите, V - объем композита, нижние индексы соответствуют трем де­ картовым компонентам х, у, г, а верхний индекс здесь и везде далее характеризует свойства поля: если оно внутреннее - индекс в скобочках "i", если внешнее - индекс в скобочках "е". Свободная энергия (см. гла­ ву 1) есть сумма свободных энергий основной матрицы и примесной фазы, т.е. F = F0 + Fx.

Здесь надо подчеркнуть, что и Е-'^ и Н-^ относятся к основной мат­ рице. В самом деле, поскольку каждое из локальных полей, действую­ щих на основную матрицу композита со стороны примесных частиц, имеет стохастический характер, то после усреднения по всем этим по­ лям они просто выпадут из ответа и останется лишь поле Е® или Н(,).

Попробуем с помощью формул (3.1) вычислить функции е и ц.

3.1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В КОМПОЗИТАХ

Для того чтобы понять, каким образом можно вычислять потери энергии ЭМ поля в любых сложных гетерогенных структурах, обра­ тимся к формулам (3.1) и для начала вычислим £,*. В самом деле, в

где Е-° - i-я компонента вектора внутреннего электрического поля в композите, которая, как мы уже обсуждали выше, в силу стохастичности частиц примесной фазы совпадает с внутренним полем в основной матрице Е $ , Е^ - /-я компонента вектора внутреннего электричес­ кого поля в а-й частице примесной фазы, N - их количество.

8 £ & ’

где V0- объем основной матрицы, иа- объем одной частицы примесной фазы, D0вектор электрической индукции в основной матрице, a Dlot- в а-й частице примеси.

119

Внутреннее поле в каждой а-й частице фазы "1" складывается из

„ ( с )

трех составляющих: из внешнего поля Ej , действующего со стороны основной матрицы, из поля Лоренца 4тiL\ aPj а и поля деполяризации, связанного с формой образца посредством соотношения 4яМ1аР1а, где /Vla - коэффициенты деполяризации (в общем случае N\ - тензор), Lj a - коэффициент Лоренца, а Pj a - вектор поляризации в a -й частице.

Сказанное означает, что следует записать такое выражение для

Поскольку поле Е, есть, с другой стороны, внутреннее поле в основной матрице, а его роль играет, как мы знаем, вектор индукции D0, то

где Е - внешнее электрическое поле, действующее на композит, N0 и LQ - коэффициент деполяризации и Лоренца соответственно, зависящие

то с помощью (3.2д) легко получить, выразив вектор Р0 через Е ^ , что

Следовательно, роль внешнего поля по отношению к частицам мелко­ дисперсной фазы играет поле

Итак, из (3.3) мы видим, что производная

8Е ® _

(3.4)

8£»°

Далее, поскольку индукция в a -й частице есть » .в = е 1вЕ<г=ЕЙ + 4)1Р1в.

120