книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

(1.91). Решение полученной системы уравнений можно осуществить, например, с помощью численного расчета.

Итак, проведенное выше исследование позволяет нам сделать два важных вывода.

1. Показано, что с энергетической точки зрения найденная рав­ новесная ориентация спинов магнитных атомов не является наиболее оптимальной по сравнению с однородным (однокомпонентным) вещест­ вом, в котором соответствующая энергия ниже (см. формулу (1.99) при

*Г = 0).

2. Учет разброса частиц мелкодисперсной фазы по размерам необ­ ходим ввиду его весьма существенного влияния на основное состояние магнитного композита.

Подводя в целом итоги главы 1, посвященной описанию только равновесных характеристик композитов в четырех специфических слу­ чаях: D + D, D + М, М + D и М + М, следует обратить внимание на следующее.

Граница контакта между частицами мелкодисперсной фазы и основной матрицы является областью сильной неравновесности. За счет различия теплоемкостей обеих фаз (основной и примесной) изменение температуры приводит к изменению энергии единицы объема на границе, что формально означает 5е = (с0 - с, )57\ Поскольку изменение

энергии в единицу времени есть dbe / dt = (с0 - с, )dbTI dt = 8q, то этот дополнительный тепловой поток, появляющийся в локальной области как результат гетерогенности структуры, и характеризует упомянутую неравновесность. Вносимый им вклад в основной тепловой поток в силу проявления его векторного характера и с учетом множественности числа частиц мелкодисперсной фазы должен быть усреднен в преде­ лах всего композита по полному многообразию направлений 8q,-, где индекс нумерует все тепловые локальные потоки вблизи каждой из частиц. Это означает, что результирующий тепловой поток есть Ч = Чо + Х<5чД где угловые скобки как раз и характеризуют указан­ ное усреднение.

Особенности, к которым приводит учет этой неравновесности, и эффекты, связанные с ней, мы обсудим в главах 2 и 3 настоящей монографии. Подчеркнем только, что благодаря межфазной границе имеет место дополнительное специфическое поглощение, например зву­ ковой волны, проявляющееся только тогда, когда учитывается тепло­ обмен между фазой "О" и фазой "1". Мы рекомендуем посмотреть по этому вопросу работу [1.61], в которой изучалось поглощение звука в суспензиях.

ЛИТЕРАТУРА

1.1.Гладков С.О. Физика пористых структур. М.: Наука, 1997. 175 с.

1.2.Rayleigh J.W. On the influence of obstades arranged in rectangular order upon the properties of medium // Philos. Mag. 1892. Vol. 34, N 5. P. 481.

1.3.Voighi W. Lehrbuch der Kristallphysik. B.: Taubner, 1928. 926 S.

41

1.4.Foldy L.O. The multiple scattering of waves // Phys. Rev. 1945. Vol. 67, N 3. P. 107-119.

1.5.Лифшиц И.М., Пархомовский Г.Д. Поглощение ультразвука в

поликристаллах // Учен. зап. Харьк. ун-та. 1948. Т. 28. С. 25-36.

1.6.Sadowsky М.А., Sternberg Е. Stress concentration around a three-axial ellipsoidal cavity // J. Appl. Mech. 1949. Vol. 16, N 2. P. 149-157.

1.7.Robinson K. Elastic eneray of an ellipsoidal inclusion in an infinite solid // J.

Appl. Phys. 1951. Vol. 22, N 8. P. 1048-1054.

1.8.Cox H.L. The elasticity and strength of paper and other fibrous materials // Brit. J. Appl. Phys. 1952. Vol. 3, N 2. P. 72-79.

1.9.Kerner E.H. The elastic and thermoelastic properties of composite media //

Proc. Phys. Soc. 1956. Vol. 698. P. 808-813.

1.10.Eshelby J.D. Elastic inclusions and inhomogeneities // Progress in solid mechanics. Amsterdam: North-Holland, 1961. Vol. 2. P. 87-140.

1.11.Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.:

Наука, 1977. 399 с.

1.12.Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

1.13.Канаун С.К., Левин В.М. Метод эффективного поля в механике

композитных материалов. Петрозаводск, 1993. 598 с.

1.14.Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и компо­ зиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 267 с.

1.15.Смирнов Б .С . Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991.

321с.

1.16.Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Статистическая физика. Т. 5. М.: Наука,

1976.

1.17.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. Т. 7. М.: Наука,

1987.

1.18.Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974.

1.19.Bloch F. Zur Theorie des Ferromagnetismus // Ztschr. Phys. 1930. Bd. 61. S. 206-219.

1.20.Туров E.A. Физические свойства магнитоупорядоченных кристал­

лов. М.: Наука, 1963. 234 с.

1.21.Ахиезер А.И., Баръяхтар В.Г Пелетминский С.В. Спиновые волны. М.: Наука, 1967. 368 с.

1.22.Тябликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма. М.: Наука,

1975. 527 с.

1.23.Gladkov S.O. The kinetics of nuclear magnetically ordered systems // Phys. Rep. 1989. Vol. 182, N 4/5. P. 211-364.

1.24.Holstein G., Primakoff H. Field dependence of the intrinsic domain

magnetization of feiromagnet // Phys. Rev. 1940. Vol. 58, N 12. P. 1098-1113.

1.25.Blombergen N. On the interaction of nuclear spins in a cristalline lattice // Physica. 1949. Vol. 15, N 3/4. P. 386-426.

1.26.Suhl H. Effective nuclear spin interactions in ferromagnets // Phys. Rev.

1958. Vol. 109, N 2. P. 606-607.

1.27.Nakamura T. Indirect coupling of nuclear spins in antiferromagnet with particular reference to MnF2 at very low temperatures // Progr. Theor. Phys. 1958. Vol. 20, N 4. P. 542-552.

1.28.Мигдал А.Б. Взаимодействие электронов с колебаниями решетки в

нормальном металле // ЖЭТФ. 1958. Т. 34, N 6. С. 1438-1446.

42

1.29. Каганов М.И., Цукерник В.М. К феноменологической теории кинетических процессов в ферродиэлектриках // ЖЭТФ. 1959. Т. 35, N 2.

С.311-320.

1.30.Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. К теории релак­

сационных процессов в ферродиэлектриках при низких температурах // Там же. Т. 35, N 1. С. 216-223.

1.31.Кривоглаз М.А., Кащеев В.Н. Влияние спин-спинового и спинфононного взаимодействия в ферромагнетике на энергетическое распре­ деление рассеянных нейтронов // ФТТ. 1961. Т. 3, N 5. С. 1541-1552.

1.32.Каганов М.И., Чиквашвили ЯМ. К теории поглощения звука в

одноосных ферромагнитных диэлектриках // Там же. N 2. С. 275-281.

1.33. Гуревич Л.Э., Недлин Г.М. Термоэдс ферромагнитных металлов, обусловленная рассеянием электронов на магнонах // ЖЭТФ. 1963. Т. 45, N 9. С. 576-586.

1.34.Каганов М.И., Чупис И.Е. О пороговом поглощении магнитной энергии в одноосном антиферромагнетике // Там же. Т. 44, N5. С. 1695— 1702.

1.35.Келдыш Л.В. Диаграммная техника для неравновесных процессов //

ЖЭТФ. 1964. Т. 47, N 10. С. 1515-1527.

1.36.Simons S. On the interaction of long wavelength phonons with thermal phonons // Proc. Phys. Soc. 1964. Vol. 83, N 3. P. 749-755.

1.37.Зырянов П.С., Талуц Г.Г. К теории поглощения звука в твердых

телах // ЖЭТФ. 1965. Т. 49, N 8. С. 1942-1950.

1.38.Schermer R.J., Passel L. Nuclear spin-lattice relaxation in EuS // Bull. Amer. Phys. Soc. 1965. Vol. 10, N 1. P. 75-76.

1.39.Houma A. Nuclear spin-lattice relaxation in ferromagnetic insulators at low temperatures // Phys. Rev. 1966. Vol. 142, N 2. P. 306-317.

1.40.Вакс В.Г., Ларкин А.И., Ликин С.А. Спиновые волны и корреля­

ционные функции в ферромагнетике // ЖЭТФ. 1967. Т. 53, N 9. С. 1089— 1106.

1.41.Гуревич Л.Э., Шкловский Б.И. Поглощение продольного звука высокой частоты в твердых телах при низких температурах // ФТТ. 1967.

Т.9, N 5. С. 526-532.

1.42.Richards PM. Nuclear spin waves relaxation and narrowing of NMR lines

ferroand antiferromagnets // Phys. Rev. 1968. Vol. 173, N 3. P. 581-591.

1.43.Halperin B.I., Hohenberg P.G. Hydrodynamic theory of spin waves // Ibid. 1969. Vol. 188, N 2. P. 898-918.

1.44.Platsker A., Morgenthaler F.R. Phonon-pumped nuclear spin waves in a

flopped antiferromagnet // Phys. Rev. Lett. 1969. Vol. 22, N 3. P. 1051-1053.

1.45.Олейник И.Н. Второй звук и гидродинамическая теплопроводность

вантиферромагнетиках // ЖЭТФ. 1970. Т. 58, N 3. С. 1119-1127.

1.46.Семиноженко В.П., Соболев ВЛ. О влиянии интенсивного продоль­

ного звука на намагниченность ферромагнетиков // ФТТ. 1980. Т. 22, N 2.

С.610-611.

1.47.Евтихиев Н.И., Лутовинов В.С., Савченко М.А., Сафонов ВЛ.

Теория релаксации ЯСВ в антиферромагнетиках // Письма в ЖТФ. 1980.

Т.76, N24. С. 1527-1531.

1.48.Seminozhenko V.P., Yatsenko AA. Kinetic equation for electrons and

phonons in a strong constant electric field // Phys. Lett. A. 1981. Vol. 75, N4. P. 267268.

43

ГЛАВА 2

ТЕОРИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ композитов

О важном месте, которое занимает теория теплопроводности слож­ ных многокомпонентных систем, мы говорить не будем: это вполне очевидно как практикам, так и теоретикам. Необходимо лишь под­ черкнуть, что многообразие подобных веществ безгранично и их можно классифицировать лишь по конкретным применениям в соответст­ вующих технических задачах, учитывающих специфику их конкретных свойств (см. для примера монографии [2.1]—[2.9]).

Целью настоящей главы является анализ процесса теплопро­ водности в четырех типах рассмотренных в главе 1 композитов: D + D,

D + M,M + D H M + M.

Как известно, тепловой поток, проходящий за единицу времени через единичную поверхность, в соответствии с законом Фурье есть

дТ

(2.1)

где индексы /, к, пробегающие три значения 1, 2, 3, соответствуют трем декартовым координатам х, у, г. Под повторяющимися индексами подразумевается суммирование (знак суммы опущен).

Возникает вопрос: а что же такое q в композите и какова должна быть структура тензора теплопроводности х,*?

Не затрагивая внутренней симметрии частиц мелкодисперсной фазы и предполагая, что характерная область установления температуры по композиту Ьх превышает максимальный линейный размер частиц приме­ си Rmах, можно утверждать, что абсолютная величина теплового потока q есть величина инвариантная по отношению к операциям инверсии каждой координаты в отдельности. Это означает, что q не зависит от замены х= * -х, у =$ -у, z => -г. Итак, при замене х =» -х имеем

(2.2)

45

Очевидно, данное уравнение может быть удовлетворено в силу незави­ симости производных по "у" и по "z" только тогда, когда коэффициент при каждой из составляющих есть нуль. То есть

Аналогично получаются и остальные уравнения в случаях у => -у и z => -z. Заметим только, что три из полученных шести уравнений ока­ зываются тождественными. Итак, последнее независимое уравнение

В силу принципа Онсагера, когда внешние поля отсутствуют, име­ ют место условия симметрии кинетических коэффициентов, а это зна­

и, таким образом, для одного недиагонального элемента тензора теплопроводности находим х]2 = 0.

таким образом убеждаемся, что отличны от нуля лишь диагональные элементы тензора теплопроводности.

46

Этот вывод не зависит от вида мелкодисперсной фазы и носит общий характер независимо от типа композита. Важно только напом­ нить, что при исследовании теплопроводности подобных структур речь должна идти о пространственных промежутках, больших линейного размера частиц мелкодисперсной фазы, когда структура макроскопи­ чески изотропна. Это условие сильно упрощает все математические вы­ кладки, позволяя вычислять только диагональные элементы тензора х.

2.1.МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В[2.10] была построена теория теплопроводности для случая, когда композит представляет собой магнитную матрицу со стохастически распределенными по его структуре свободными объемами.

Магнитный пористый диэлектрик как таковой, на наш взгляд, относится к классу довольно любопытных объектов с точки зрения исследования. Сама же магнитоупорядоченная система электронных спинов (речь пока идет только о магнитоупорядоченных диэлектриках,

азначит, о температурах, меньших температуры магнитного фазового перехода), если в ее составе имеются поры, представляет собой совсем не простой пример вещества, который можно выбрать в качестве исследуемого. Дело в том, что наличие макронеоднородностей в виде малых сферических пустот (ради конкретности будем говорить лишь о сферах) должно сильно сказываться на спектре магнонов. В случае, когда концентрация пор мала, магнонный спектр представляет собой обычный закон дисперсии спиновых волн, чуть-чуть "подпорченный" макронеоднородностями. Если же их (пор) концентрация возрастает, то, во-первых, в такой двухфазной системе изменяется скорость звука (она становится сильно зависящей от соотношения между обеими фазами, см. монографию [2.11]), а, во-вторых, обменное взаимодействие спинов будет представлять собой также некоторую функцию от пористости т.

Втом случае, когда длина волны магнонов Хтзначительно превышает размер пор /?п, можно говорить, что структура вещества есть просто ферроили антиферромагнетик в буквальном смысле. При этом спектр квазичастиц будет представлять собой гладкую непрерывную функцию от волнового вектора. Если же размер пор велик, то говорить о том, что магнитные колебания есть спиновые волны, нельзя, поскольку нарушается трансляционная инвариантность решетки, и, чтобы описать спектр в этом случае, необходимо рассмотреть какое-либо модельное предположение. Самый простой пример - это когда поры упорядочены: они расположены строго на некотором определенном расстоянии друг от друга. Но даже простое модельное предположение приводит к труд­ ностям введения магнонного спектра.

При наличии пор всегда существует лучистый поток тепла, обя­ занный фотонному механизму. Понятно, что говорить о фотонном ме­ ханизме переноса тепла имеет смысл только тогда, когда длина волны кванта электромагнитного потока меньше размера пор, но больше его длины свободного пробега в поре. Математически это выглядит так:

КХ ф < (/?), где (R) - средний размер пор. В некотором смысле это

47

неравенство приводит к ограничению и на средний размер пор. Реально длина пробега фотона может быть, скажем, 10_3 см и больше. Поэтому, во всяком случае, средний размер пор (R) должен быть по крайней мере не менее чем 10~3 см.

Для произвольного типа композита с произвольным (пока что!) типом наполнителя, о чем, собственно, мы и будем сейчас говорить, очень важен анализ установления внутреннего равновесия как внутри частицы мелкодисперсной фазы, так и в основной матрице. Кроме того, необходимо принять во внимание и взаимодействие между ними.

Чтобы решить поставленную задачу, следует воспользоваться весьма удобной, хотя и довольно сложной (в плане проблем вычисли­ тельного характера) формулой Кубо, одной из основных формул теории неравновесных явлений. Запишем общее выражение для тензора теп­ лопроводности в следующем наиболее общем виде, учитывающем теп­ ловые потоки и в основной матрице, и в примесной фазе [2.10]:

где греческие индексы обозначают координаты х, у, z, V - объем композита, N - полное количество атомов во всей структуре композита (в фазе "0" + в фазе "1"), "отклонение" оператора теплового потока от равновесного значения есть

где оператор числа частиц, записанный в гейзенберговском представ­ лении, есть

Это значит, что j = 0, 1, где индекс "0", как всегда, характеризует основную матрицу, а индекс "1" - примесную фазу. Спектры соjk = = со; (к) = Ej (к) / Й есть произвольные спектры квазичастиц обеих фаз. Для фононов, например, частота будет соуk =Vjk, где v jk =CjS, для

магнонов (см. главу 1) г(к) = \ieH + Jex(ak)2, поле Н = Н0 + На, Н0 - внешнее магнитное поле, роль которого для основной матрицы играет обычное внешнее магнитное поле, а для частиц примесной фазы его роль переходит к полю магнитной индукции, под действием которого находятся частицы примесной фазы (см. главу 3), На - поле анизо­ тропии, Jex - обменный гейзенберговский интеграл, к - волновой век­ тор.

Подчеркнем, что сейчас мы привели спектр магнонов для ферро­ магнитного вещества, как наиболее простой. Для антиферромагнетика этот спектр иной и, кроме того, более сложный.

48

Равновесное распределение частиц описывается бозевской функ­ цией, которую представим таким образом:

причем, так же как и во всем предыдущем тексте, будем пользоваться энергетической системой единиц, полагая постоянную Больцмана, рав­ ной единице. Усреднение выражения (2.7) проводится по равновес­

ной матрице плотности р = Z- 1e-x /r, где Z = Sp{e~HIT], Я = Е(Я0; +

+Я;уint), Я0, - основной гамильтониан системы в фазе у, а Я '- int -

гамильтониан взаимодействия, учитывающий взаимодействие как внут­ ри фаз у, так и между ними. В силу аддитивности обоих потоков выражение (2.7) может быть переписано в раскрытом виде с помощью введения объемной концентрации Е,* В самом деле, учитывая выра­ жение (2.8), находим

k| k2

Заметим здесь, что мы молчаливо перешли от анизотропного тензора теплопроводности, который на самом-то деле и должен быть вычислен, к изотропному тензору х. Этот произвол станет понятен, если учесть, что при усреднении тепловых потоков в них будут фигу­ рировать только квадраты скоростей, а, следовательно, все выражение (2.7) будет пропорционально 8ар. Те слагаемые, которые дадут не диа­ гональный вклад в хар, будут иметь больший порядок малости по срав­ нению с членами, представленными в выражении (2.11), и, таким об­ разом, ими можно пренебречь. Функции

В ] (к!,к2,х) = <(&*,Ь кх - { п щ ) ) [ Ь к 2 Ь к г ](х)>,

В3(к,,к2,х) = ((bkjbkx - (п0кх ))[с+к2ск2](х)>,

В4(к „ к 2,х) = <(ck{cki ~(nlki ))[4гскг ](х)>,

49

где операторы числа квазичастиц в фазах "О" и "1", есть

[ckck](-z) = л,*(х) = е~]ЩыШ\ 1 с ке1НумШх

Мы обозначили операторы рождения (уничтожения) в различных фазах не индексами "О" и "1", а разными буквами. Это связано просто с соображениями удобства в дальнейшем.

Гамильтонианы взаимодействий Н0м и tflint будут приведены далее по мере надобности. К большому сожалению, решение данной задачи невозможно выполнить без абстрактных формально вводимых в рас­ смотрение функций Грина. Применяемая в вычислениях диаграммная техника, основанная на температурных функциях Грина, требует, ко всему прочему, еще и введения в рассмотрение следующих восьми кор­ реляторов:

А *,*2 (Х1“ Х2) = (Тт\ bkl (Xj )bk] (х2)(с*2с*2 - (n,*2)) | ),

Подчеркнем, что все операторы записаны в представлении Гейзенберга в полной аналогии с формулой (2.13). В дальнейших выкладках нам еще понадобится связь между корреляторами В]2 и функциями Грина

D*£ и A*k,k2 • Имеем для них

Итак, все необходимые для дальнейших выкладок корреляторы заданы. Перейдем теперь к гамильтонианам взаимодействий. Как уже знаем, наибольшее затухание происходит от упругого механизма взаимодействия квазичастиц.

В этой связи введем следующее взаимодействие, связанное с упру­ гим рассеянием на дефектах, к которым можно отнести, например,

50