книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

ная возможность предположить, что время х0 есть время упругих столк­ новений фононов с примесями или дефектами неидеальной структуры, которое хотя и зависит от температуры, но по значительно более щадящему закону, а именно по закону Г-1. Здесь, правда, есть один нюанс, который не очень-то хорошо укладывается в рамки физической картины. Дело в том, что установление равновесной температуры (что в итоге и характеризует параметр х) связано с передачей средней кинетической энергии от более горячих фононов к более холодным. Примесное рассеяние к этому процессу отношения не имеет: в результате упругих столкновений кинетическая энергия не меняется и, следовательно, в энергетической релаксации это рассеяние участия не принимает. Чисто же формально такая процедура используется на практике весьма часто и в каком-то смысле напоминает подгонку под экспериментальные результаты, которые, надо сказать, таким образом

довольно неплохо описываются. Итак, под обратным временем XQ 1 м ы будем подразумевать сумму cJR + l/ximp, где ximp есть примесное время рассеяния. Если образец очень большой (R => °°), то х0 = ximp, а если не очень большой, как в нашем случае частиц мелкодисперсной фазы, то х0 = R/cs.

Подчеркнем еще раз, что это рассуждение относилось к области только низких температур.

Таким образом, формулы (2.60) позволяют нам оценить качест­ венное и количественное поведение теплопроводности композитов х при любых температурах. Сложные зависимости времен x0i и х10 от соотношения скоростей звука в каждой из фаз согласно (2.56), (2.58) и (2.59) приведут, как видно, к необозримому виду общей формулы для х. Для начала рассмотрим случай, когда Т > 0О. Вычисление интегралов в (2.60) не составит в этом случае труда, и в результате, используя общее выражение (2.38а) и формулы (2.49), (2.56), (2.58) и (2.59),

1 T tG X n i- S ’X l-S )2 '

Надо заметить, что наши формулы для времен релаксации х несколько отличаются от формул, приведенных в монографии [2.16] на с. 112 (см. формулу (10.12)). Переход к соответствующим временам из упомянутой монографии осуществляется с помощью формальной за­ мены:

Go = 2592rtpVct4 /0 D-

Тогда

(2.63а)

1 8я2Г (1 - 0 (1 - $ ) 2

71

Что касается формулы для R2, то для нее возможны два вари­ анта.

l.c 0j> c lr

Вэтом случае R2 = R2^+ R2 \ где

Д(1) = gcUisa9PoPiJ(T)

Glfll\DTa*Qx{d)

время То есть формально вводимый параметр, обеспечивающий схо­ димость интеграла на нижнем пределе (смысл т0 см. выше).

Функция Qx(d) = (d + 3)/(1 - d ) 3,d = cxJc0s.

В силу хорошей сходимости интеграла положим верхний предел интегрирования в J(T) равным и тогда J(T) = 0,5л(аТо)1/4. Значит

з„ _1 / 4

рО) _ &

2 192яа,6а 3/4'

(2)

Что касается R2 , то для него имеем

Второе слагаемое в D2 , пропорциональное к3, дает малый вклад

винтеграл, поскольку это слагаемое пропорционально множителю

ак < 1. Пренебрегая этим множителем, интеграл 5(7) сведем к виду

72

здесь

Его вычисление элементарное, и, полагая, что п/а есть «>, окончатель­ но находим после всех манипуляций, что

r (2) = 54a4fl13p2p1cJ

где (22(^) = [16^(1 + 5^)р/9л(1 - ^ ) 3р, - I]1/2.

И в результате формула для х приобретает вполне определенный вид при CQS> cls:

yQ\Dj

О временах TQ и z x мы поговорим чуть ниже, а пока несколько слов скажем о временах T0I и хю-

73

кз (£3= Лсо*кз)

ki (e, = Лс,чк ,)

k2 (e2 = Ac0sk2)

Puc. 2.6. Схематическое представление рассеяния квазичастиц на резкой границе раздела обеих фаз

Квазичастица с фазовой скоростью CQ, "падает" из основной матрицы на

примесную частицу и при этом рождается фонон в фазе "1", скорость которого есть cl5. Необходимое для этого условие заключается, очевидно, в

неравенстве: X R, где X - длина волны падающего фонона, a R - линейный размер примесной частицы

Рис. 2.7. Качественное поведение коэффициента теплопроводности струк­ туры типа D + D в зависимости от температуры

Сплошная линия характеризует х однородного диэлектрика, а пунктир­ ная относится к композиту

При рассеянии фононов на частицах мелкодисперсной фазы су­ ществует возможность упругого отражения фонона от межфазной гра­ ницы (естественно, длина акустической волны X должна лежать в диа­ пазоне а < X /?), разделяющей основную и примесную фазы. Помимо этого процесса, как мы знаем (см. выше), есть и возможность неупру­ гого процесса рождения (уничтожения) фонона фазы "1" с испусканием (поглощением) фонона из фазы "О" при падении на резкую границу раздела фонона фазы "О" (см. рис. 2.6). Если сравнить обе эти вероят-

74

ности, то станет очевидно, что упругий процесс будет идти с большей скоростью, а потому на фоне "медленного" неупругого процесса он будет преобладать. Так вот, время т01 характеризует собой упругий акт рассеяния фонона фазы "0мна границе с фазой "1", а время Тю есть время упругого отражения высокочастотного фонона (А, Л!) "падаю­ щего" в фазе "1" на границу с фазой "0".

Приведенные формулы для теплопроводности диэлектрического композита с диэлектрическими же добавками показывают (рис. 2.7), что в отсутствие примесной фазы (^* = 0) (сплошная кривая на рис. 2.7) зависимость х от Т лежит ниже, чем в случае, когда * 0, а максимум теплопроводности должен лежать при этом левее точки Т = 0D, по­ скольку, как было показано в главе 1, скорость звука в композите зави­

сит от концентрации по закону с/£*) = (1 - q^*)ll2 cs.

В принципе при чтении главы 2 может возникнуть вполне резонный вопрос: а куда делись процессы переброса, которые, вообще говоря, и должны определять х в области низких температур? Надо сказать, что мы о них не забыли и, более того, все время помним. Но как уже упо­ миналось выше, в тех случаях (при определенных температурах), если четырехфононное рассеяние является преобладающим над трех­ фононным механизмом взаимодействия (время т(4) т(3)), именно трехфононный процесс и будет определять х. Иными словами, время т(3) есть время установления равновесной температуры между нерав­ новесными фононами. Если же, наоборот, окажется, что т(4) > т<3), то х

ласти низких температур (Т < QD) не принимать во внимание то, как времена т(3) и т(4) соотносятся друг с другом: новое время ти, про­ порциональное экспоненциально большому множителю exp [KQD/T] , как правило, всегда велико по сравнению с ними, а потому оно и не будет определять теплопроводность при низких температурах в соответствии с приближенной газокинетической формулой х = (Г/0О)3с2ти/аъ. По­ скольку же мы в основном интересуемся сейчас чисто практическим приложением теории теплопроводности, то, естественно, наш интерес к этому явлению распространяется на область более высоких тем­ ператур, во всяком случае значительно более высоких, чем гелиевые. Для этих температур процессы переброса и "обычные" процессы в иерархическом временном масштабе сливаются, а значит, можно использовать приведенные выше формулы. Хотя следует заметить, что переход к совсем низким температурам формально осуществить весьма просто, заменив наши времена, фигурирующие в окончательных фор­ мулах, на время переброса ти И если окажется, что х стремится к бесконечности начиная с некоторой температуры, то следует ввести так называемое обрезание. Это предельное время задается очевидным условием ти = L/cs, где L - линейный размер образца, и тогда в соот­ ветствии с классической теорией теплопроводности получим, что

75

х = (Г/0£,)3с/,/а3. Последняя формула носит название формулы Кази­ мира (Н.В. G. Casimir, 1938).

Итак, времена релаксации т0 и Tj в формуле (2.66а) есть не что иное, как времена переброса. Для совсем малых температур в свете вышесказанного формулу (2.66а) следует переписать в виде

2.3 СТРУКТУРА D + M

Этот случай будет несколько отличаться от случая, рассмотренного в предыдущем разделе, и здесь становится важным учет взаимо­ действия фононов и магнонов внутри примесной мелкодисперсной фазы. Это качественно отражается не только на температурном поведении теплопроводности, но и на всех остальных свойствах такого типа ком­ позитов (например, на поглощении звука, см. главу 4).

Для вычисления вклада в суммарный тепловой поток со стороны всевозможных квазичастиц следует воспользоваться несколько изме­ ненной формулой для q (см. (2.7)) и учесть наличие внутри каждой из фаз по крайней мере двух тепловых потоков от различного типа квазичасгиц (магнонов и фононов).

В самом деле, если тепловой поток, для примера скажем, в фазе "1" есть q, = qjI)+ q (i2), а в фазе "О" q0 = qo) +4o2). гДе Чо° (41°) есть поток в фазе "О" (в фазе "1") от фононов, a qo2) (qf2)) - от магнонов,

характеризуют собой теплопроводность в "чистой" фазе основной мат­ рицы (XQO), в "чистой" примесной фазе (хи ) и части теплопроводности, обязанные интерференции (взаимодействию) на границах фаз тепловых потоков между квазичастицами обеих фаз (x0i, х 10). Отметим, что х01 характеризует рассеяние квазичастиц из основной матрицы на квазичас­ тицах примесной, а х10 - наоборот, рассеяние квазичастиц из примесной фазы на квазичасгицах основной матрицы.

В свою очередь, сами компоненты матрицы хар представляют со-

76

бой также матрицы, но связаны они с внутренними взаимодействиями между квазичастицами в каждой из фаз. В самом деле,

а новые верхние индексы "и", пробегающие значения от 1 до Р, где Р есть полное количество участвующих в переносе тепла квазичастиц (или частиц), означают сокращенные обозначения этих квазичастиц. Примем, что и = 1 = phonon, а и = 2 = m = magnon. В случае боль­ шего числа квазичастиц индексу и следует присвоить соответствующие цифровые обозначения, тождественные первым буквам названия этих квазичастиц. Напомним, что 5пк = пк- (пк).

Чтобы выяснить, как ведет себя х в таких структурах, следует для начала изучить особенности взаимодействия фононов и магнонов в этих веществах. Начнем с примесной фазы.

Действительно, гамильтониан магнитострикционного взаимодейст­ вия для изотропной структуры примесной фазы можно представить в следующем инвариантном виде:

H g u - X M'S"{k„k2, k3}ь;ь2(a} +л!з)д(к, - k2 - k,) +

+X H'i2){k,.k2.k3} ( V +а- 2)И + <’-з)л(к, +k2 +k3). (2.69)

где а£. = a*(а, ) есть операторы рождения (уничтожения) магнона с вол­

77

новым вектором kit а амплитуды взаимодействия

ность одного атома, а\ - межатомное расстояние в частице примесной фазы, g* и g** - константы магнитострикционного взаимодействия в примесной фазе (по порядку величины g* и #** примерно соответст­ вуют значениям от 0,1 до 10).

Чтобы избежать пока лишних индексов, положим ниже, что функ­

"1". Для ферромагнитной структуры типа "легкая ось" зависимость дис­ персии спиновых волн от к есть

Н\а - поле анизотропии в фазе "1", Jlex- обменный интеграл в этой же фазе.

Для выяснения, какой же из механизмов релаксации даст наиболь­ ший вклад, следует проанализировать все четыре пары законов сохра­ нения энергии и импульса, а затем по формуле

вычислить каждое из этих времен. 78

Оказывается, что наибольший вклад будет давать двухмагнонный механизм взаимодействия (интеграл столкновений, пропорциональный

амплитуде \|/j2)), для которого имеем

Анализ законов сохранения и подстановка сюда явного вида амплитуды рассеяния позволяют заключить, что формула (2.71) должна быть за­ писана в виде

---- --------] [(/(£ ,„W M /C M e ., + £,„(*,))]*,*,+

^ IX k p h -m

где пределы интегрирования, определяемые как раз из законов сохра­ нения, есть

kir - f c s - J \ e x a I * 1 J\exa l

к2с - t + KMc,,-\LtH)IJUxa } - к 2]'12.

Константа

D J g V ) 2 ^ eMx)2k

(2.73)

8npia\cXsJ\ex

Заметим, что второй интеграл будет иметь физический смысл лишь в том случае, если волновой вектор фонона к лежит в интервале

Пси / 2axJUx - В ^ к ^ flcls / 2axJXex + В,

где В = a?(h2c l l 4 j l x -HLtHIJUx)u2.

Что касается интегралов, входящих в соотношение (2.72), то они вычисляются элементарно в общем виде. В самом деле, положив kdk = dz/2Jxех и подставив вместо D ее выражение согласно (2.73), на­ ходим

79

При Т > \LgH все входящие сюда бозевские функции распределения могут быть разложены по степеням малого отношения [LgH/T. В ре­ зультате окончательно для искомого времени релаксации имеем при­ близительно

1 (gV)4\ieMtfhT кг

(2.75)

ХWkph-m

Впринципе на полученном выражении можно было бы поставить точку, но поскольку в (2.75) фигурирует "виртуальный" волновой вектор к, то для оценки времени т1рЛ_т следует усреднить его по рав­

новесной бозевской функции фононов (п*). В самом деле, имеем

Ьрн-„ = (г Г Г 2ю ^с .

Если константа магнитострикции g** порядка единицы, то время релак­ сации тlph_, = 10-6 с.

Итак, эффективное время релаксации в магнитной примесной фазе определяется суммой обратных времен (2.49д) и (2.75), а значит,

x \lkph-ph + x \kph-m

Следует, кстати, заметить, что температура, выше которой будет преобладать механизм рассеяния фононов на магнонах, а не фононный механизм, определяется очевидным уравнением

где угловые скобочки означают усреднение выражений (2.49д) и (2.75) по равновесной функции распределения фононов (п*). Для фонон-маг-

80