книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

Рис. 2.9. Поведение теплопроводности композита со структурой типа М + D в зависимости от температуры

Кривая 1 соответствует чистому диэлектрику, кривая 2 - случаю = О и учету магнитной среды, кривая 3 - случаю * О

Таким образом, суммарная теплопроводность подобной структуры при Jex>T>QD> \LgHдолжна быть выражена формулой

1720яр?ралa f i e l d - d ‘)%

Поведение теплопроводности структур типа М + D иллюстрирует рис. 2.9. Видно, в частности, что при температурах T>QD проявляет себя чисто магнонный вклад в х при = 0 (см. первое слагаемое в (2.101а) ROM+D)I и кривая зависимости х при высоких температурах проходит выше, чем у чистого диэлектрика (кривая 2). Кривая 1 ха-

91

растеризует просто диэлектрик. Для значений Ф0 должна наблю­ даться тенденция к смещению кривой в сторону левее точки Т = 0D (кривая 3).

2.5. СТРУКТУРА М + М

Этот случай также весьма интересен, но в отличие от композитов типа D + D будет проявляться в основном, как увидим далее, в допол­ нительных функциональных зависимостях, связанных с магнитными свойствами обеих фаз.

Прежде чем приступить к выяснению параметрических зависимо­ стей различных х, проанализируем, как происходит взаимодействие магнонов обеих фаз и какие процессы разрешены законами сохранения энергии и импульса. Дело в том, что при наличии двух различных под­ систем магнонов (подчеркнем, что речь идет не об антиферромагнитных веществах, а о ферромагнетиках, составляющих как основную фазу, так и примесную), помимо процессов установления термодинамического равновесия между магнонами и фононами, может иметь место довольно специфический для данной структуры процесс установления равно­ весного состояния, происходящий из-за связи магнонов обеих фаз друг с другом. Чтобы выяснить, какие акты рассеяния, здесь имеют место запишем гамильтониан взаимодействия магнонов фазы "О" с магнонами фазы "1", используя как основной механизм диполь-дипольной связи. Имеем

где функции ф| 2 есть функции направлений волновых векторов к,

а0к(а0к) - операторы рождения (уничтожения) магнонов фазы "0", а

a u(a u) - операторы рождения (уничтожения) магнонов фазы "1", пара­ метр М* - это не есть средняя намагниченность для какой-либо опреде­ ленной фазы, а просто формальный параметр, имеющий размерность намагниченности: дипольное взаимодействие мы вводим на границе кон­ такта, но, признаться откровенно, не очень представляем себе, что оно собой являет.

Для приведенного типа взаимодействия запишем интегралы столк­ новений для фазы "0" в виде

* 2

Nn

xO + +/o*,)/u2 ~/ot/ot, 0 + /i*2 )lx

92

И с л е д о в а т е л ь н о , в р е м я р е л а к с а ц и и д л я м а г н о н а ф а з ы " 0 " п р и е г о р а с с е я н и и н а м а г н о н а х ф а з ы " 1 " б у д е т

приводит к условию, что волновой вектор кх должен быть равен q = = к/( 1 - 8) - [(А:/(1 - 8))2 - к2 + \леН / а х(1 - 8)]1/2, где параметр 8 =

22

=ОСо/оС|, oto = Joe/bi <*i = J 1afl\' Спектры спиновых волн в ферромагне­ тике выбраны в виде

Е0 (k) = \ieH + J0ex(a0k)2,

(2.105)

Е x(k) = \ieH + JXex(axk)2

93

Это приводит к тому, что вклад от данного процеса равен нулю (пределы интегрирования по к\ и верхний и нижний есть q).

2. Для второго процесса имеем

Ео(&) ~ £o(^i) + £1 (&г) = О,

к - к] + к2 = О,

иоказывается, что если а) 5 < 1, то

94

б) 8 > 1

95

С помощью проведенного анализа легко теперь выяснить, какие

( 22)

процессы будут давать наибольший вклад в т0ц.. В самом деле, если

оставить только безактивационные (не содержащие экспоненциальной малости, обязанной пороговому значению свободного волнового вектора к) процессы, то видно, что это должны быть процессы 26; 4а, б и 5.

Заметим, кстати, что при 5 =1 мы имеем дело с обычным ферро­ магнетиком, когда идет только процесс 3: все остальные процессы "вы­ рождаются" в него, а первый просто дает нулевой вклад (см. выше).

Итак, например, для процесса 5 обратное время релаксации по по­ рядку величины есть

двух концентраций связано первое (£) с взятием суммы по к2, а второе (£*) с переходом от суммирования по к] к интегрированию по формуле £(...) = V, J(...) tPkK2л)3, где V, - объем примесной фазы.

Полное же время релаксации определится, очевидно, суммой всех

52л(реМ*)2д3^ * Г (У4 + JS+ / 6),

2 ho.la 0k

где $12 - числовые коэффициенты порядка единицы (их происхождение обязано интегрированию квадратов функций I cpi,21 по угловым пере­ менным),

У2(*) = 1п{1 - ехр[е0(*) - е0(*,)]/Т> - 1п(1 - ехр[-е0(*,)]/ Г)|‘; ,

где кн в определены неравенствами (2),

М к ) = 0,5a0(kl - k l ) l Г + In{l - exp[-e0(ft,)/7’]} +

+1п{1 - ехр[е0(Л,) - е0(*)] / Г}|^,

здесь kHjaопределяются неравенствами (3),

У4 {к) = In(1 - ехр[-е, (fc,)/ Т]}+ In{1 - ехр[-е0(*) - е, (*,)] / 7'}|*н,

96

здесь нижний предел интегрирования дается неравенством (4),

J5(k) = 1п{1 - exp[e0(fe) - £,(*,)]/ Г) - 1п{1 - ехр- [£,(*,)]/ Г}^,,

а киопределен в (5). Наконец,

J6(k) = 0,5а0{к\ - к*)/ Т + In{1 - ехр[-е, (к])/Т]} +

+ In{1 - exp[Ej {кх) - е0(*)] / Г}| ,

где кн в определены для любых 6 соотношениями (6).

С помощью этих простых, хотя и громоздких формул можно вычис­

лить поведение как функцию от к. Мы этого, однако, делать не

будем ввиду малой информативности окончательной формулы и ее весьма необъятного вида, а ограничимся лишь средним значением вре­

мени релаксации. При усреднении функции 1/Тои по бозевской равно­ весной функции распределения магнонов (как это сделать, см. выше) и учитывая, что наибольший вклад при интегрировании по к дают волно­ вые векторы порядка (7Уао)1/2, получим из (2.106а)

1 \ 1 _ i» i( ti X ) 2S (i-C )q 2r ' ' 2z,(8) f

- In{1 - expK l - 6)2 /(1 + 6)2 - \LeH / Г]} - In{1 - exp[-46 /(1 + 6)2 ]},

Z2(6) = (26 - 1)1' 2 + In{1 - ехрНб - 1)2 / 46 - 2\ieH / Т]} -

Отсюда, во всяком случае, видно, что параметры Z\ и Z2 практи­ чески при любых 6 есть величины порядка единицы. Иными словами,

( 22) - .

время т01 обратно пропорционально квадратному корню из темпера­ туры.

(22)

Вполне аналогично можно получить и время релаксации Тю Мы,

однако, на этом останавливаться не будем, а предоставим читателю в качестве самостоятельного упражнения самому провести соответствую­ щие вычисления.

Надо сказать, что рассеяние магнонов разных фаз (точнее, их вза­ имодействие), как один из конкурирующих с фононным взаимодейст­ вием механизмов, приводит к установлению равновесной температуры между магнитными подсистемами, а значит, определяет х. Это, одна­ ко, будет справедливо только тогда, когда выполняется неравенство

ции Toi(io) становится значительно больше Тощо)» то имеет место про­

цесс установления равновесной температуры за счет связи магнонов

сфононами, а следовательно, именно это время и будет фигурировать

вх:

х= с2Т(10 / а3+ (v 2 >х<21>/ аг

где (vm) - среднее значение квадрата групповой скорости магнона, а время т{11) эквивалентно или времени переброса, или времени л-фонон- ного процесса.

Итак, теплопроводность, которую мы сейчас вычислим для компо­ зита типа М + М, составляет суть следующей задачи. Пусть за самые

(И) ( И )

малые времена TQO и х ц установились равновесные температуры внутри фононных подсистем в каждой из фаз. Далее, пусть за времена

магнонами обеих фаз установилась единая температура Тт. Эта темпе­ ратура будет стремиться к температуре термостата Т (равновесные

фононы) за времена Тед и т п .В свою же очередь, фононная неравно­ весная система будет стремиться установить свою равновесную темпе­ ратуру либо за счет процессов переброса, либо за счет каких-то л-час- тичных процессов взаимодействия (время которых обозначим как х*и)). Итак, наш подход к вычислению теплопроводности структур М +М будет оправдан, если выполнены следующие иерархические неравенст­ ва на времена релаксаций:

Будем считать, что приведенное неравенство выполнено. Кстати, добиться его выполнения не так уж и сложно, если выбрать соответст­ вующий диапазон температур, когда такая ситуация в действительнос­ ти наблюдается, и, по нашим оценкам, она близка к реальным темпе­ ратурам из диапазона 0О < Т < ./„.

98

Приступим теперь к выяснению функциональной зависимости х в рамках сформулированной выше задачи. Искомое поведение х можно вычислить из уже полученных выше формул, комбинируя структуры M + D VLD + M.B самом деле, имеем

V7C0fD(5 ,V ^ ,)2 v^i«y

График зависимости xM+Afиллюстрирует рис. 2.10.

Итак, подводя краткий итог и резюмируя полученные выше форму­ лы, можно с очевидностью сказать, что наш подход, примененный для описания теплопроводностных свойств сложных составных кристалли-

XM+M(T>£ }

Рис. 2.JO. Зависимость коэффициента теплопроводности композитов со структурой типа М + М оттемпературы

Схематически показано отличие теплопроводности чистого магнитного вещества (кривая /) от вещества, содержащего мелкодисперсную магнитную примесную фазу (кривая 2)

ческих структур, будет иметь право на существование, если последую­ щие эксперименты хотя бы качественно подтвердят выводы изложен­ ной в разделах 2.2-2.5 теории.

Трудность описания подобных веществ часто натыкается именно на трудности чисто математического характера из-за чрезвычайной гро­ моздкости окончательных формул. Объективности ради укажем, что, помимо нашей теории, существует еще и ряд альтернативных теорий, базирующихся лишь на тензорном характере кинетических коэффи­ циентов, в частности коэффициента х, которые, надо сказать, даже приблизительно не позволяют оценить его зависимость от физических свойств исследуемых веществ. Примером тому могут служить, скажем, монография [2.17] и статья [2.18].

2.6. ЗАВИСИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ ОТ КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИМЕСНЫХ ФАЗ

Множество работ, посвященных изучению свойств композиционных материалов, позволяют выявить одну общую деталь, характерную для таких составных структур. Речь идет об аномальных свойствах этих веществ, которые проявляются лишь благодаря наличию одного до­ полнительного физического параметра - концентрации примесной

вещества не обнаруживается (речь не идет, конечно, о специфических эффектах типа эффекта Кондо и подобных).

В силу отсутствия в настоящее время строго теоретического под­ хода к объяснению ряда экспериментов, которых накопилось вполне достаточно, чтобы предлагать различные физические модели, позво­ ляющие объяснить хотя бы некоторые из этих экспериментов, вве­

100