книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

ГЛАВА 4

ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА В КОМПОЗИТАХ

Вопрос о вычислении диссипации звуковой энергии в гетерогенных структурах (да простит мне читатель некоторую небрежность в тер­ минологии, но слово "композит" в предыдущих главах встречалось настолько часто, что может вызвать раздражение; в этой связи иногда будем "разбавлять" некоторые наши рассуждения этим прозвучавшим термином, подразумевая, конечно же, под ним обычную двухфазную структуру) интересен прежде всего вот почему. На первый взгляд может показаться, что никакой существенной информации с практи­ ческой точки зрения (исключая, естественно, чисто академический интерес) теоретическое исследование коэффициентов затухания звука в подобных системах не несет. Это не совсем так. В самом деле, пред­ положим, что мы вычислили коэффициент затухания для различных длин волн внешнего звука и описали его зависимость (теоретически, конечно же!) от объемной концентрации мелкодисперсной фазы. Тогда для численных значений параметров, входящих в полученную формулу, можно оценить и численную величину времени затухания у-1 (у - за­ тухание). А теперь допустим, что кто-то очень любознательный хочет измерить скорость звука в подобных системах (с известной, кстати сказать, концентрацией ^*) и оценить зависимость скорости звука cs от £*. Так вот, чтобы адекватно оценить скорость сД^+), следует прово­ дить измерения на временах 5t < у 1. Поэтому, зная верхнюю границу временного диапазона, можно спокойно проводить эксперимент.

И еще. При вычислении диссипации звука мы будем пользоваться кинетическим подходом в духе квазиклассического кинетического урав­ нения Больцмана. В связи с этим вся излагаемая ниже теория относится к случаю, когда времена четырехчастичных процессов взаимодействия

сов TQ^. Ниже время TQJ будем обозначать как T0,I . Это условие

(т(4>< т<3)) необходимо и для возможности введения квазиравновесной функции распределения фононов (пк), а затем и для последующего при­ менения т-приближения в целях вычисления поправки Ьпк к функции распределения слабо неравновесных фононов (как, кстати сказать, и в обратном предельном случае, когда т{3) т(4)) благодаря их взаимо­ действию с равновесными фононами, температура которых есть Т. При низких температурах существуют еще и так называемые процессы переброса (время этих процессов обычно обозначают как т(и)) Пай-

192

формулы заключается в том, что можно вычислить потери звуковой энергии не только в гидродинамическом пределе, но и в обратном (см. ниже), т.е. при k3Bl > 1. Начнем же с первого случая, когда k3Bl < 1.

Ввиду наличия мелкодисперсной структуры следует ввести в рас­ смотрение еще один параметр, а именно средний размер частиц (/?). В самом деле, при А^в > (R) можно вычислять потери при рассеянии на мелкодисперсной фазе с помощью формулы Рэлея, согласно которой урэл =* со2, а при А*,в (R) формула Рэлея "не работает" и можно вос­ пользоваться, например, методом кинетического уравнения (условия его применимости в этом случае будут даны по ходу вычислений), что также позволит, используя (4.1), решить поставленную задачу.

Перепишем (4.1) для нашего случая в развернутом виде, пользуясь свойством аддитивности энтропии. Имеем

где фигурирует неравновесная функция распределения бозевских квази­ частиц. Отсюда имеем

dS!dt = -X (dnk/ dt) ln[(l + nk)/ nk ] = -X } In[(l + «*)/«*], (4.4)

где X {nk] - интеграл столкновений.

Теперь будем говорить более конкретно. Разобьем весь анализ про­ цессов рассеяния и поглощения звука в композитах на пять областей:

3 . < ^0,1рк,т

4.

5.

Начнем по порядку. 1. Пусть длина звуковой волны лежит в интервале

Мы опустили здесь и будем опускать далее нижние индексы у соот­ ветствующих величин, и надеемся, что это не приведет к недоразу­ мениям. Этот случай характерен тем, что звук рассеивается упруго и на частицах мелкодисперсной фазы, причем независимо на каждой, и в основной матрице, но уже на флуктуациях плотности и температуры. Несколько более экзотическая возможность существует и для рассея-

т

ния звуковой волны на флуктуациях химического потенциала магнонов в условиях отсутствия термодинамического равновесия между фоно­ нами и магнонами, когда их собственные температуры различны. При этом, как можно показать (см., например, [4.9]), химический потенциал спиновых волн есть £от = Тт- Т + Tmln(TmfT) = 2(Tm - Т).

Вычислим диссипативную функцию для каждой из фаз. Согласно

(4.4) имеем для фазы "О": dSJdt = -XЭДио* 1 htfO+ ло*У **<)*]■ В т-приб- k

лижении интеграл столкновений можно заменить на приближенное вы­ ражение £ {п ок} = -бл0*/т0ь где 6л0* есть добавка к функции распре­ деления, т.е.

В связи с тем, что среднее по времени от 8л0* есть нуль, получаем для бозонов в основной матрице следующую диссипативную функцию:

Мы написали в соотношении (4.6) не квадрат флуктуации функции распределения, а квадрат от ее модуля. Это связано с тем, что вели­ чина TdSoldt по определению должна быть строго положительной, квад­ рат же функции бло*, если зависимость от времени есть е‘ш, может быть и отрицательным. Последнее учтено в (4.6).

Как вычислить 5л0*? Для этого следует вспомнить, что при воз­ действии внешней звуковой волны на какую-либо твердую кристалли­ ческую структуру спектры бозонов деформируются и становятся зави­ сящими как от времени, так и от координат. Действительно,

где отличные от нуля компоненты тензора Gik определяются симмет­ рией кристаллической решетки. Для кубической сингонии Gik - Ьур* и спектр

Для фазы "0й G* = GO0O£>>а для фазы "1" G* = G\QD, QD - температура Дебая. Вектор смещения среды под действием внешнего звукового поля можно представить, например, в виде плоской волны:

где © - частота, a q - волновой вектор. Их связь есть CD= c/j, где сж- средняя скорость звука в кристалле.

Итак, с учетом (4.8) из (4.76) найдем

Ищем решение полученного уравнения в виде 5л0* = 8п0к(0)е'ш. В

Таким образом, из формулы (4.6) искомая диссипативная функция есть

Здесь учтено, что производная от бозевской функции распределения есть

196

В рамках выполнения неравенства I < X, что равносильно условию со(т0*) ^ где (Jok) есть среднее значение времени релаксации, из (4.15) имеем

То есть, как и должно быть для рэлеевского рассеяния звука, зату­ хание пропорционально квадрату частоты.

Надо сказать, что выражение (4.15) может быть вычислено точно, если известна зависимость времени релаксации т от волнового векто­ ра к. Забегая несколько вперед, отметим, что величина 1/т0* есть %\{Т)к, где функция ЯЬ\(Т) определяется вычислением т-1 с помощью кинетического уравнения. Такая зависимость будет характерна для области низких температур, когда ^ ( Г ) => Г4, при высоких же тем­ пературах, а именно если Т > 0О, обратное время релаксации есть l/x0jt = Яй2(Т)к*угде функция ЯЬ2(Т) => Т. Итак, при низких температурах найдем

GjQ2D(D2( l - ^ ) 7 д(п0к) %(T)k3dk

'12я2рс2 J де(к) ЯЬ](Т)к2 + а>2

В последнем интеграле мы заменили верхний предел интегриро­ вания на «о ввиду довольно быстрой сходимости интеграла и, используя разложение функции распределения п(х) = l/х, нашли, что д(п)/де = = -Т/г2. Все это вместе дало нам соотношение (4.166). Отсюда, в част­ ности, видно, что в области высоких температур затухание ведет себя как

При низких же температурах в области частот ш(т) <? 1 из (4.16а) получим, что у(со, Т) => (О2, а при частотах ю(т) > 1 имеем у(со) => ©.

Вычислять Уо(ш) в различных частных случаях будем далее по мере необходимости.

В силу того что длина волны звука X много больше среднего разме­ ра частиц мелкодисперсной фазы, такая звуковая волна будет просто

197

рассеиваться на этих частицах, и причем независимо на каждой. Усло­ вие этого заключено в неравенстве At < d/cs, где d - среднее расстоя­ ние между рассеивателями, a. At - интервал времени, в течение которо­ го происходит акт рассеяния; очевидно, что At = (R)/cs, и для слабо "разбавленной" примесями среды это условие выполняется автомати­ чески.

где коэффициент s связан с формой рассеивающей частицы. Поскольку, далее, потери звуковой энергии на единице длины опре­

деляются выражением h = па, где концентрация п - NJV, Nx- общее количество рассеивателей (частиц мелкодисперсной фазы), то затухание

в единицу времени определится, очевидно, уравнением 72(00) = csh, или

спомощью нашего параметра £,* можно записать, что в этом случае рэлеевское затухание определится формулой

описывает поглощение звука внутри частицы фазы "1". Общий коэф­ фициент "потерь", следовательно есть

Схематически зависимость у(со) показана на рис. 4.1. Переходим теперь ко второму случаю.

2. 1 < К < (R)'

В этом случае Yo(co) останется прежним, т.е. в соответствии с формулой (4.16), а вот в силу условия А, < (R) будет иметь место спе­ цифическое поглощение звука поверхностью частиц мелкодисперсной фазы. Соответствующая диссипация энергии согласно [4.4, с. 427] при­ менительно к твердому телу, когда теплоемкости сРи cv равны и изме­ нение плотности в звуковой волне есть р' = podiv и, определяется вы­ ражением

(TdS{ / dt) - Ns0(\qu \2)с2(2cov)1/2 sin2 0, (4.19)

где 0 - угол падения плоской звуковой волны на частицу, V - кинемати-

198

Рис. 4.1. С хем атическая зависимость коэф ф иц и ента затухания звука от частоты для случая / < { R ) < X

ческая вязкость основной матрицы, определяемая выражением v = = 1%/ т0 = CjT0, /0 - длина свободного пробега квазичастицы в основной матрице, а т0 - ее время релаксации, SQ = 2nR2 - половина площади поверхности частицы, N - полное количество частиц мелкодисперсной фазы. Соотношение (4.19) следует проинтегрировать по углам 0, что даст множитель 1/3.

Согласно (4.2) искомое затухание, обусловленное границей частицы мелкодисперсной фазы, будет, следовательно,

Помимо этого затухания, будет также и затухание внутри частицы мелкодисперсной фазы в силу того, что поле волны деформации внутри частицы, так же как и снаружи (т.е. в основной матрице), неоднородно {X < (R)). Для него будет справедлива формула (4.18), но с заменой индексов "0" на индексы "1", а кроме того, следует заменить разность

Функцию (4.23) можно изобразить в виде рис. 4.2.

199

Рис. 4.2. Поведение полного коэффициента звуковых "потерь" в зависи­ мости от частоты со, если выполнено неравенство I < к < (R)

Частота со* определяется из условия YoС01) - Yi(<*>)

Заметим, что зависимость (4.20) будет справедлива, если вьтолнено неравенство со > Yi (ю)* Из приведенного условия определяются час­ тоты, при которых соотношение (4.20) "работает". Они должны лежать в области

Для совсем малых (R) приведенное неравенство нарушается, что в принципе и должно быть. Действительно, при уменьшении радиуса ча­ стиц R условие к < R начинает "портиться", и в конце концов ока­ жется, что к порядка R. В этом случае описанный подход становится неприменимым.

Следует также помнить, что время т0 относится к основной мат­ рице, tj - к примесной фазе, плотность р - полная плотность композита (с учетом примесной фазы, т.е. р = р(£*), см. главу 1, раздел 1.1), pj - плотность частицы примесной фазы, cs - скорость звука в композите (с учетом примесной фазы, т.е. cs = с,(£*)) и, наконец, cis —скорость звука в фазе "1".

3. Пусть теперь ХзВ< I (/?).

В этом случае Yi (ш) определяется формулой (4.20), а вот Уо(®) следует определить из кинетического уравнения Больцмана. Действи­ тельно, при условии U > 1 мы попадаем в квазикласснческую область волновых векторов, при которых как раз и "работает" квазиклассическое уравнение Больцмана. Это облегчает нашу задачу и позволяет точно вычислить зависимость Yo от частоты внешней звуковой волны.

В рамках трехфононного механизма взаимодействия квазичастиц, одна из которых обязательно есть внешний звуковой квант с темпе­ ратурой, отличной от температуры равновесных фононов в матрице, мы можем представить уравнение Больцмана таким образом:

длэд / dt —ЗБ{Л(ц},

где интеграл столкновений есть нелинейный относительно функций

200