книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

ионного механизма соответствующее среднее дается формулой (2.76), а для времени хик подобная процедура также элементарна, и мы на­ ходим, что

Для приведенных выше параметров температура Г* оказывается та­

и,и

где Ход1*дается формулами (см. выражения (2.63а) и (2.66))

Если бы не было магнитной фазы, то согласно (2.64), (2.65) и (2.66) для

81

температур Т > 0D мы получили бы формулы

^Ol^OD

Для T<QD

V „2 *01) - CST01 X01 “

\ Q D J

Присутствие же магнитной фазы обязывает ввести эффективную теп­ лопроводность согласно газокинетическому выражению

где согласно формуле (2.78) (после ее небольшой модификации) можно записать, что эффективное время есть

Времена T0]kph_ph и To\kP h -m нам известны (см. формулы (2.56) и (2.75)). Небольшая модификация формулы (2.75) дает

Очевидно, зависимость (2.56) не изменится. Единственное отличие - это дополнительные латинские буквы (ph - ph) у нижних индексов.

Начнем со случая cs < с^. В этом случае обратное время релак­ сации

Тогда коэффициент теплопроводности XQ2) с учетом формул (2.84), (2.85) и (2.86) есть

82

Оценим г. Для параметров GQI порядка g0], 0Ою = IK, cs = cls, \ieH = 10К, T = 300 К, /] СХ = 1000 К = 10-13 эрг находим, что г = 10-4. Благодаря этой малости параметра г мы имеем право пренебречь им по сравнению с х (последующие оценки это только подтверждают). Итак, для высоких температур Т > 0О мы имеем право разложить подын­ тегральную функцию в ряд по степеням х, ограничиваясь при этом вто­ рым порядком. В самом деле,

В случае же, когда скорость звука в основной матрице превышает скорость звука в частицах примесной фазы (с5 > с^), обратное время

Вполне аналогичные выкладки (правда, с немного другими интег­ ралами) приводят нас к такому промежуточному ответу:

При GQI порядка ggi* -Лех = 1000 К = 10-13 эрг, 0Ою = IK, \1еМх= 0,1 К, Т = 300 К, \LeH = 10 К, р = 3 г/см3 найдем, что по порядку величины г* = Ю-4. Ограничиваясь, так же как и выше, разложением подын­ тегральной функции вплоть до членов вторго порядка по х и пользуясь тем, что параметр г* значительно меньше, чем х0 = 0р/Т, найдем в ре­ зультате простых вычислений, что

* G d , 0 2D(3+<i)

Для Т < 0D здесь будет справедлива формула (2.886).

83

ДЛЯ CQJ > сь и при Т > 00

х288p2p,a6C|3,c^fi(i-<J)3

Вычислим эти два коэффициента. Что касается параметра x jo \ то его выражение нам известно (см. соотношение (2.64)). В самом деле,

Все параметры, фигурирующие в данной зависимости, приведены перед выражением (2.64).

Вычислим x g ” Время релаксации, описывающее этот параметр, связано с механизмом взаимодействия магнона фазы "1" с фононом фа­ зы "0". Для двухмагнонного процесса взаимодействия с фононами (ам­ плитуда (2.696)) интеграл столкновений имеет вид

L { /t } = 2 J t r ' X 1у< 2) I2 {[(1 + Л )/* , (1 + % ) - Л (1 +

Ч:

+Л, К , № « (* ) - е .(* ,)+ е ^ (* 2)]Д (к -к1+ к 2)+

+К1 + Л >Л, % " Л 0 + Л, )(1+ % )]S[em(A) - £„(*,)-

-Ем (*)]Д(к-к, - к 2)+[(1+л)(1+ Л , )ntl - л л , ( 1+

+«tj ) № . (*)+ея № ) - е „ (*2 )]Д(к + к, - кг)}.

Отсюда следует, что время релаксации есть

-(2ГК2)- = 2 ^ " 11 I Vl2) I2 { ((% )-(Л ,)№ /п (Л) - е т ( ^ ) +

Х10*

84

+ е рл (*2 )1 д ( к - к , - k 2 ) + (1+ ( / * , ) + ( n * 2 ))6[Em (k) -

-em(kx) - e ph(k)]A(k - k x- k 2)+((.fkl) - (n*2 ))6[Em (k)+

+Em(kx) - z ph(*2)]A(k+ k, - k2)}.

Второй верхний индекс в скобочках (2) у времени т означает, что речь идет о процессе рассеяния (взаимодействия), описываемого ампли­ тудой \|/(2).

Анализ первых двух законов сохранения приводит к условию, что импульс к2 должен лежать в диапазоне hcJJjex - 2к *£ к2 ^ hcs/JXex + 2к, а соответствующее время релаксации будет тогда (после проведения несложных математических действий, связанных с использованием обычных свойств 6-функции) для первого процесса (новый индекс /) таким:

где пределы интегрирования есть

х, = (2к + hcs / Jlexa})bcs / JXex,

XQ = (-2к + hcs / JXexa2 )hcs / JXex.

Для температур T>0rD/ JXex (правая часть неравенства соответст­ вует примерно 40К) можно приближенно написать, что

По порядку величины это время соответствует примерно 10-4- 10"5 с.

Для второго процесса (распад магнона на фонон и магнон) анализ законов сохранения дает диапазон виртуальных волновых факторов

значительно больше. Это же относится и к времени т*о*(2)/// Самое маленькое время из этих трех - это время (2.93а).

Вычислим теперь время релаксации для двухфотонного процесса взаимодействия с одним магноном. Гамильтониан взаимодействия ха­

рактеризуется при этом амплитудой vp,^.

85

После аналогичных выкладок можно получить, что время релакса­

(2.936)

Пределы интегрирования таковы: ICQ= em(k)/2hcs- к/2, = £m(k)/2hcs + + к/2. Область же изменения волнового вектора к лежит в интервалах

ak*zQD/ 2 Jlex + (Од / 47?„ - \ieH / 7lftC)1/2

2

для температур Г > 0 D//\ex>Следовательно, теплопроводность после

а хй” дается формулой (2.92).

Здесь верхний предел заменен на поскольку Порядок величины параметра XQ колеблется вблизи значений 103—104. Поэтому, если пренебречь членом, пропорциональным х4 в знаменателе интегра­ ла, найдем

где Г(7/2) = 15 Vrc/8, £(7/2) s 0,8 и Г(7/2) £(7/2) s 3 Vic/2. 86

Что касается теплопроводности хц, то для нее вполне аналогично имеем

но xff> - 0 (нет вклада от собственных магнонных взаимодействий - они участвуют лишь в установлении внутренней квазиравновесной тем­ пературы внутри магнонной подсистемы), а потому, комбинируя выра­ жения (2.90а), (2.90в) и (2.94), которые для фазы 1 дают

для теплопроводности композита со структурой типа D + М с учетом всех полученных соотношений (2.82), (2.906), (2.94) и (2.95) при ц.«Л < <0iD < 7 < hex находим:

*о+м(7Л ) = ) 4 D+M +$ О -la )*O,O+M + $ 2*ID+M. (2.96a)

где коэффициенты

г.pacs

*D+M~%n2T

приведены с учетом явных выражении для параметрических зависи-

- * мостеи т0 и А-о-

87

Рис. 2.8. Схематическое поведение коэффициента теплопроводности струк­ тур типа D + М

В частности, формулы (2.96) показывают, что если то кривая будет смещаться влево вместе со всеми экстремальными точками (пунктир­ ная линия). Такая тенденция ясна и качественно тоже понятна, поскольку скорость звука в композите cs есть функция от £*, причем монотонно

убывающая с ростом Температура Т**(Е,*) должна целиком определяться магнитной примесной фазой

Как видно из полученного выражения, теплопроводность линейно растет вместе с магнитным полем (см. последнее слагаемое в R0i). Этот рост, безусловно, ограничен, ибо при увеличении Н время релаксации

т(;02), вычисленное выше, начинает весьма сильно (экспоненциально) возрастать. В этом факте нет ничего удивительного, и он просто озна­ чает, что включаются в действие другие механизмы релаксации, которое следует учесть.

Из соотношений (2.96) видно, что поведение х при температурах Jex> T > Во можно представить в следующем схематичном виде:

\ 3 / 2

0,

1‘ J \ex )

снекоторыми функциями N^*) и Н-^'). Отсюда очень хорошо видно, что у у-о+м должна наблюдаться тенденция проходить через минимум в

некоторой окрестности температур Т* = (01Z>/iex)2/5ср(4*)» который (ми­ нимум) должен "гулять" влево или вправо в зависимости от концент­ рации.

При совсем высоких температурах (Т > Jex) магнитная структура становится парамагнитной и в соответствии с законом Кюри средняя намагниченность есть линейная функция от отношения HIT. Благодаря этому обстоятельству зависимость х также станет обратно пропорцио­ нальной температуре, но уже в области парамагнетизма и вплоть до температуры плавления.

88

Все сказанное наглядно иллюстрирует рис. 2.8, на котором показа­ но качественное поведение теплопроводности структуры типа D + М в широком интервале температур.

И еще. Обратим внимание на один весьма тонкий момент теории теплопроводности в структурах типа D + М. В нашем случае, когда речь шла о примесной мелкодисперсной магнитной фазе, говорилось о двух подсистемах - о фононной и магнонной. Диапазон температур при этом был выбран не экзотический (сверхнизкие температуры мы не затрагивали), а вполне реальный и экспериментально легко изучаемый. Главное предположение всей изложенной выше теории базировалось на условии, что времена релаксаций внутри магнонной подсистемы и внут­ ри фононной (обозначим их соответственно как время т(т-и,) и т(рл-рл>) являлись наименьшими временами, а взаимодействие между этими двумя подсистемами и определяло некоторую аддитивную часть всей теплопроводности структуры. Для диэлектрической фазы (D) основной матрицы мы говорили только о фононной подсистеме, подразумевая при этом, что установление равновесной температуры есть результат кон­ куренции двух механизмов - четырехфононного и трехфононного взаи­ модействия. Хотя надо добавить, что такие процессы, как пятифо­ нонный, шестифононный и т.д., существуют, но они во внимание не принимались. Если учесть эти механизмы, то окажется, что они вполне конкурируют с механизмом переброса. Действительно, многофононные процессы взаимодействия приводят к степенной зависимости време­ ни релаксации этих процессов от температуры в области Т < 0О, т.е. 1/х(Л'-рЛ) = S/I T 2лм^ где /у _ количество фононов, принимающих участие в

акте рассеяния. Для N = 6 мы видим, что зависимость обратного време­ ни релаксации есть slT11. Но такое поведение т практически неот­ личимо от времени релаксации, связанного с процессами переброса: экс­ поненциальная и степенная зависимости в области низких температур настолько близки, что их можно считать практически одинаковыми. И это если ограничиться лишь шестифононным механизмом. Так что ме­ ханизму Пайерлса (перебросы в область соседних зон Бриллюэна на постоянный вектор Ь) есть вполне достойная конкуренция, забывать о которой не следует.

2.4. СТРУКТУРА M +D

Теплопроводность подобных типов композитов может быть весьма легко описана, опираясь на результаты раздела 2.3. В самом деле, здесь

89

Все эти х мы сейчас и приведем. Действительно, согласно (2.95) с

* *

учетом явного вида параметров т0 и Х,0

(1U2)

Коэффициент Xjo = х10 ’ , и, следовательно, с помощью (2.90), меняя в них формально индексы "1" и "0", местами имеем

90