книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

х "(ш)

Рис. 3.11. С хем атическое изображ ение качественного поведения мнимой части м агнитной восприимчивости в трех реальны х ф изических случаях (кривая 1 - один действительный корень уравнения (8), кривая 2 - три дейст­ вительных корня, кривая 3 - пять корней)

Рис. 3.12. С хематическое изображ ение осциллирую щ ей зависимости мнимой

Ха = Х а ^ а ф + с°2'1а)> позволяет оценить экстремальные точки по час­

тотной оси. В результате оказывается, что уравнение, из которого они могут быть найдены, имеет вид уравнения пятого порядка относитель­ но у2, где у = шть a Tj - характерное время релаксации в примесной

Х = т0 /т,, а = \-4nNX\, Ь = (4пЫхх)2, D = ^ \ \ 1 х № ~ К \

функция

V(y) = (1+ Зу2)[(fl + у2)2 + by2]- 4у2(1+ у2)(а + 0,5Ь + у2).

Согласно общей методике нахождения корней алгебраического урав­ нения л-го порядка [3.57] и в рамках нашей задачи можно утверждать, что имеют место три реальные возможности: а) один действительный корень, б) три действительных корня и в) пять действительных корней. На рис. 3.11 схематически изображены все три случая.

Обобщение на композит с Р примесными фазами приведет, оче­ видно, к алгебраическому уравнению на экстремумы мнимой части маг­ нитной восприимчивости (1 + 4Р)-то порядка. А это значит, что физи­ чески могут реализоваться только 1 + 2 Р случая. Таким образом, зави­ симость имеет ярко выраженный осциллирующий характер, на­ глядно продемонстрированный схематически рис. 3.12. Период этих колебаний можно оценить следующим образом. Пусть со* - предельная частота, выше которой х"(со) ведет себя как 1/со. Поскольку полное количество максимумов Nmax = 2Р + 1, а минимумов Nm,п = 2Р, то сред­ ний период по максимумам есть

Для одной примесной фазы (Р = 1) расстояние между максимумами при­ близительно Ду1тах = со*т,/7,5, а между минимумами - Ay,min = со*т,/4. Надо заметить, что описанное выше поведение восприимчивости маг­ нитного композита на качественном уровне можно представить себе, например, следующим образом. Когда примесных фаз несколько и все они различны, то совершенно понятно, что каждая из них поглощает свой спектр частот РЧ поля, и, значит, в частотном масштабе они вы­ страиваются в иерархическую цепочку. Поэтому, подобрав по такому признаку дисперсные фазы, можно получить очень нужный в прак­ тическом отношении композит, поглощающий весьма широкий спектр радиочастот. Количественное же описание, проведенное выше, адек­ ватно указывает на корректность этих выводов и дает положительный импульс экспериментальному исследованию подобных структур.

3.6. ТЕОРИЯ ПОГЛОЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

НЕОДНОРОДНЫМИ ДВУХКОМПОНЕНТНЫМИ СИСТЕМАМИ (СТРУКТУРА D+M)

В настоящем разделе теоретически будет исследован композит, матрица которого представляет собой чистый диэлектрик (скажем, по­ липропилен), а в качестве примесной фазы выберем макроскопические

162

z

Рис. 3.13. Геометрическое расположение осей координат и приложенного

электрического поля

магнитные частицы. Для такой структуры будут вычислены диэлек­ трическая проницаемость и важный в практическом отношении тангенс диэлектрических потерь в зависимости от частоты приложенного элек­

трического поля, концентрации магнитной фазы и температуры Т.

При изложении настоящего раздела будем придерживаться в основном результатов работ [3.64] и [3.65].

Пусть композит представляет собой очень тонкую пленку, а пере­ менное электрическое поле направлено вдоль плоскости по оси х (рис. 3.13). Следуя схеме и алгоритму, уже описанным в разделе 3.1, можно легко определить диэлектрическую проницаемость такой сильно неоднородной по составу среды.

Действительно, согласно формуле (3.7а) е будет иметь вид

(поле Лоренца в сферических, а тем более в магнитных образцах от­ сутствует), имеем

С помощью формулы е0 = Eg(со) + /Ео(со) выражение (3.123) можно переписать несколько иначе. В самом деле, поскольку для магнитных частиц ех не зависит от частоты, то имеем

Отделяя здесь мнимую и действительную части, найдем, что дейст­ вительная часть есть

где b = 3£J/( 2 + е,)2, а мнимая будет

Составив их отношение, придем к формуле для "тангенса дельта":

Сделаем замену: е' = x(t), а г" = у(?), где параметр ? = оот0. Тогда, диф­ ференцируя выражение (3.126) по параметру ?, получим следующее ал­ гебраическое уравнение для определения экстремальных точек:

Из приведенного уравнения сразу же следует, что по крайней мере один экстремум имеется всегда. Действительно, из равенства dx/dt = 0 на­

ходим, что первый корень есть tx= (е0/е 0оо)1/2

Связь между у их очевидна. Действительно, согласно дебаевскому определению имеем

е0 + £0оо(о2т^

у = е0 - 0,5^а + <Ja2 - 4 х 2j,

где а = Е0 - £0„.

Уравнение (3.127) является алгебраическим уравнением пятого по­ рядка относительно ?. Это значит, что при наилучшем соотношении между входящими в него параметрами имеется пять действительных корней: ?! 2,з,4,5*® остальных же реальных случаях может быть а) три

корня ?! 2,3 и б) один корень ?|. Это означает, что схематически пове­

дение tg 5 можно проиллюстрировать рис. 3.14, на котором изображены пять возможных кривых. Следует заметить, что в отличие от корня fj

остальные корни являются сложными функциями от концентрации £,* примесной фазы. Условно это можно записать в виде следующих ре­ шений (напомним, ? = 0УС0):

“4= 54(^ ) то1.

=)x<i'

164

tg<F

Рис. 3.14. Схематическое изображение пяти возможных случаев для tg5 при различных гипотетических соотношениях между входящими параметрами

Надо сказать, что к большому сожалению функции <$2,3,4.

нельзя выразить аналитически в сколько-нибудь удобном обозримом виде даже в том случае, когда дело касается решения только куби­ ческого уравнения, для которого имеются вполне конкретные формулы в форме, предложенной Кардано, и согласно которой соответствующие решения просто необозримы. Приводить их, пожалуй, мы не будем, а заметим только, что проще, конечно, сделать соответствующие оцен­ ки, исходя из заданных параметров вполне конкретной структуры, рас­

считав зависимости *(«*) для любых на компьютере. Что же ка­

сается уравнения пятого порядка, то, как говорится, здесь комментарии просто излишни.

И еще. Может возникнуть вполне законный вопрос: а почему про­ пущены решения, когда корней может быть, скажем, два или четыре? Согласно общей теории алгебраических кривых n-го порядка для чет­ ных п соответствующая полиномиальная функция уходит в отрица­ тельную область значений и, таким образом, для описания реального процесса поглощения не годится. В противном случае такое поведение tg 8 означало бы просто, что происходит не поглощение, а излучение ЭМ энергии композитом, что находится в противоречии со всеми из­ вестными законами природы.

Итак, из соотношения (3.127) следует, что учет частотной зави­ симости тангенса диэлектрических потерь приводит к резко выражен­ ным максимумам на вполне определенных частотах, зависящих, в свою

Качественное различие между поглощательными способностями компо­ зита и однородной диэлектрической средой наглядно демонстрирует рис. 3.15. Из него видно, что при фиксированных значениях £0 и е 0о, максимум поглощения при наличии примесной фазы "гуляет" относи­

165

Ц6

Рис. 3.15. Зависимость tg8 от частоты прилож енного переменного электри­

ческого поля в двух физических случаях К ривая 1 соответствует однородному диэлектрику, а кривая 2 отвечает

двухфазной структуре типа D + М в зависимости от величины Ео„

тельно точки (Oj = х01(ео/£о~)^2 влево и вправо в зависимости от ве­ личины е0вв. В самом деле, проанализируем формулу (3.126) для случая малых £*. Разложив дробь по параметру £*, найдем

Дифференцируя полученное выражение по t = шт0, получаем уравнение

2Рд3г2е0(2 - EQL - epl) _

(е0 + E0oef2)3(l + f2)2

где D = 2b^{\ - £*) = 6EJ^*/(2 + Ej). Здесь учтено выражение для b (см.

формулу (3.125а)).

Ищем его решение в виде t = t{ - 5 , где ц = (е0/80ов)^2 Подстав­ ляя это t в приведенное уравнение, немедленно находим, что

Мы убедились, таким образом, что максимум поглощения будет смещаться либо влево, либо вправо (в зависимости от того, мало е0оо

или велико), что собственно, и определяет знак выражения (e o i+Eo l - 2 ) .

166

Перейдем теперь к оценке потерь магнитной энергии в классе композитов D +М. Согласно формуле (3.13)

2 + Ц, *

Отсюда, как и следовало, поглощение определяется только магнитной мелкодисперсной фазой и

ц"(со) =

(|х' + 2)2 + fi"2(oo)

Представив, например, частотные зависимости магнитной прони­ цаемости следующим образом:

Поскольку полученное уравнение является уравнением третьего

порядка по отношению к дг2, то существует только две возможности: а) три корня действительные; б) один корень действительный.

Схематически поведение |i"(co) иллюстрирует рис. 3.16. Для ди­ электрика время релаксации т0 должно определяться релаксацией поляризации Р. Надо заметить, что если речь идет о фононном меха­ низме релаксации и в диэлектрике и в магнетике, то качественное поведение времен Т! и т0 оказывается одинаковым, а количественное будет различаться. Последнее связано с тем, что константы взаимо­ действия между фононами в диэлектрике и магнетике могут несколько различаться, поскольку зависят от конкретной симметрии вещества.

Остановимся теперь на вычислении коэффициентов деполяризации N0 как функции от концентрации магнитной примесной фазы. Пусть диэлектрик представляет собой тонкую пленку, а магнитные включе-

167

Рис. 3.16. Поведение мнимой части магнитной проницаемости, как функции

частоты Кривая / отвечает трем действительным корням уравнения (3.132), а

кривая 2 - одному корню

ния будем рассматривать как пустоты. Предположим (рис. 3.17), что геометрия расположения сферических включений представляет собой аксиально-симметричную "дисковую" фигуру. То есть вдоль оси г пус­ тоты располагаются по концентрическим окружностям. Причем в цент­ ре окружности частицы нет. Для такой симметричной фигуры вычислим N0. Согласно определению компонент тензора деполяризации (см., ска­ жем, [3.4]) имеем

Чтобы найти внутренний интеграл, представим себе одномерную структуру и схематически изобразим ее в соответствии с рис. 3.18, где сферы условно обозначены пробелами, расстояние между которыми пусть будет 2х . Размер "пустоты" есть d. Если длина такой нити 5, то, легко понять, полное количество пустот вдоль оси z есть

168

X

Рис. 3.17. С хем атическое изображ ение дисковой структуры располож ения

частиц магнитной мелкодисперсной ф азы К онцентрические окружности леж ат в плоскости х - у

Рис. 3.18. У словное изображ ение сф ерических магнитных частиц в виде линейных пробелов

нитной фазы, вплоть до значений ^ 1/2, можно разложить получаю­ щиеся в результате интегрирования функции по степеням х. В результате находим

м

N Ozz = ( 1 /4 л ) \ \ d x d y x

169

в результате (так же, как и выше), разлагая выражение (3.1376) по степеням х , получаем приблизительно:

N0a = 1 - 5 х 2 / 2 d\ NT \ l / N d - 2 dxx/(df + N2d2f 2].

Подставляя сюда (3.135) и учитывая, что dx=*j2d, получаем окон­ чательно:

Нам осталось только оценить сумму членов расходящегося гармони­ ческого ряда. Приблизительно имеем

^тпах

l { y N ) = Nmax\nNmax

N= \

ис учетом (3.138) и (3.139) найдем

Что касается компонент N0xx = N0yy, то для них имеем

Ло« = Л0„ = (1 -* о * )/2 =

Итак, полученые формулы отвечают на поставленный вопрос о зависимости коэффициента деполяризации от концентрации примесной фазы. Еще раз подчеркнем, что чисто формально магнитные макроско­ пические добавки заменены свободными объемами.

Из формулы (3.140) видно, что зависимость коэффициентов N0 от

концентрации магнитной фазы при малых весьма слабая (пропорцио­

нальная £*2), но тем не менее функциональное поведение tg 5 при

учете зависимости ^о(^*) становится очень сложным, и его схематиче­

ское поведение можно изобразить в соответствии с рис. 3.19. Надо заметить, что такое нестандартное поведение tg 5 присуще любой двухкомпонентной структуре, когда в основную матрицу добавлено ино­

родное вещество с концентрацией £*, причем это вещество не диэлект­ рическое.

Вычисленная выше диэлектрическая проницаемость двухфазных систем (диэлектрик + макроскопические магнитные частицы) позволяет предсказать ряд особенностей поглощения внешнего электромагнитного излучения подобными веществами.

170