книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства

няется и соотношение h(o > (ie/z0, т.е. условие х < 1 формально соб­ людено, а значит, в целях вычисления продольной магнитной восприим­ чивости композита мы имеем право воспользоваться уравнением Больц­ мана с правой частью, даваемой выражением (3.79), для определения зависимости /„(со) при любых частотах.

Будем искать решение уравнения (3.77) в виде

Учет поправки 6/2 необходим, поскольку, как увидим далее, он при­ водит к квадратичной зависимости от случайной силы F. Что касается самой силы F, то она будет найдена ниже.

Несложные вычисления приводят нас к следующему уравнению для поправки 5/] к равновесной функции распределения:

здесь е = £о(&) + М*Л(0- Выбрав зависимость переменного поля от час­ тоты в виде

находим искомую поправку:

Заметим, что зависимость от времени здесь чисто мнимая: она исчезнет при учете разложенияfeqпо степеням |iji2(t) (см. ниже). Основываясь на функции 8/i, можно теперь найти и поправку 8/2. Аналогично получе­ нию уравнения (3.82) для поправки б/i имеем

Отсюда немедленно получаем

Учитывая разложение равновесной функции распределения

/ „ = [e x p (8 (i)/r-l]-'

по степеням (1^(0. будем иметь

f = f,q~ ‘<вЦЛ(дЛ , >д£о)(‘“ + 1 / *и )“’ +

(3.87)

Зная, таким образом, поправки к равновесной функции распре­ деления, мы тем самым определяем зависимость продольной магнит­ ной восприимчивости от частоты приложенного поля. В самом деле,

151

то отсюда сразу находим искомое выражение для восприимчивости:

- F2/„(*)(l + Л , (*))(t + 2 /ч (<г))(,ш+1 / г,, )‘2/ 2Г2т}.

где т - [d26o(к)/др2]~1= h2p j eJa2. Отделяя в соотношении (3.89) мнимую часть, получаем

Х^(о)) = ц21 {оИцЛ,да(1+ /„ « :))/г (1+а>2^ ) +

х (l + 2/„(*)) / Г2 ft2(l + <в2т2, )2}/ Wa3

Несколько слов теперь относительно времени т1Л. Зависимость времени релаксации от волнового вектора определяется конкретным механиз­ мом взаимодействия квазичастиц (магнонов) с фононами. Как, напри­ мер, показано в [3.4] (см. также множество оригинальных ссылок, при­

где р - плотность магнетика, g - константа магнитострикционного взаи­ модействия, cs - средняя скорость звука в магнетике; она связана с про­ дольной cst и поперечной cs, скоростями соотношением

3 /с3 = (1/с3, + 2 /с 3,).

Вычисление выражения (3.90) осуществляется с помощью замены суммы интегралом по формуле £(...) = Na3 / (...)d3k/(2n)3. В области температур |lc(//0 + На) < T < J ex несложное интегрирование приводит нас к следующей зависимости мнимой части магнитной восприимчи­

Теперь нам осталось оценить силу F, действующую на данный атом

152

магнитной частицы со стороны других магнитных частичек, как функ­ цию концентрации последних. Для этой цели следует вычислить взаи­ модействие каких-либо двух магнитных шариков, находящихся на рас­ стоянии г друг от друга (расстояние г отсчитывается от центра шаров). Подобная задача решалась, например, в работе [3.51]. Воспользовав­ шись результатами этой работы, имеем для магнитного взаимодействия двух соседних макроскопических тел, которое учитывает только парное взаимодействие магнитных моментов атомов:

Un (r) = -Л |2{2К,Л2/[г2 -(Л, + Я2)2]+ 2Я,й2/[г2 -(Я , - Я2)2]+

здесь Л| 2 - число атомов в единице объема в обоих взаимодействующих макроскопических телах,

XiO’co) и %2(i(0 ) - восприимчивости атомов в обеих магнитных частицах. В нашем случае выражение (3.94) сильно упростится, поскольку пред­ полагается, что все магнитные шарики примерно одинаковы. Это при­ водит к соотношению для энергии взаимодействия Z ближайших сосе­ дей, которые, в свою очередь, образуют некоторую квазипериодическую с некоторым шагом А макроскопическую решетку. Имеем в результате

U(г) = -K 2n2ZC^2R2/(г2 - 4 R 2) + 2R21 г 2 +1п[(г2 -4 Д 2) / г2]}, (3.97)

здесь С = (ЗЛ/ тс)J х 2(/со)Ло.

о

Поскольку г = 2/?(£Кр/£*)1/3, находим зависимость энергии взаимо­ действия от концентрации магнитных частиц. В предельных случаях, т.е. когда концентрация мала и велика, получаем

Последняя зависимость (случай близких значений и £кр (4* => £ кр)) найдена при условии, что г = 2R + Ь, где b - характерный размер неоднородности поверхности магнитной частицы (по порядку величины b примерно 10~5—10-6 см).

153

Дифференцируя теперь выражение (3.97) по г, находим искомую силу, действующую на данный атом магнетика со стороны ближайших макроскопических магнитных частиц:

-(г^ ГК .-И '/йГ/К

Подставляя выражение (3.99) в соотношение (3.92), определяем иско­ мые потери магнитного поля в диэлектрике с магнитными мелко­ дисперсными сферическими включениями:

Х1Й(“ ) = (9ц. /8itV (W 0 + И. cosa))(T / У„)3,2|(ол1/(l+co2xf)) +

В области критических концентрации функция В(^*), как следует из выражения (3.101), должна стремиться к бесконечности. Это, однако, кажущаяся расходимость. Дело в том, что при => расстояние г стремится не к 2Л, а к величине 2R + b (относительно b см. выше), по­ этому В(^*) конечна.

Для вычисления магнитной проницаемости всего композита в целом следует вернуться к формуле (3.76) и учесть, что

11Л(ш) = 6*+4лх*(со).

Для мнимой части магнитной проницаемости композита с учетом ан­ самбля частиц мелкодисперсной фазы найдем, что

где угловые скобки означают усреднение по направлениям осей анизо­ тропии ферромагнитных добавок.

Несколько слов теперь по поводу формулы (3.100). Фигурирующая

154

в ней сила, действующая со стороны случайного окружения на данный магнитный атом, должна быть, строго говоря, несколько другой. Дело в том, что F характеризует притяжение макроскопических тел, взаимо­ действующих по закону Ван-дер-Ваальса, и не имеет отношения к силе, действующей на данный магнитный атом. Введение же этой сто­ хастической силы требует некоторых гипотетических предположений, и в этой связи будем считать, что суть ван-дер-ваальсового взаимо­ действия с концентрационной зависимостью (3.101) останется без изме­ нения, а вот амплитуда силы (3.99) формально заменится на некоторую абстрактную силу F0. В результате формула (3.100) примет такой вид:

где новый параметр AQ = (F0a). Подставляя это выражение в (3.103) и усредняя по углам, что сводится просто к интегрированию (3.103) по "а" с весовым множителем 1/2 в пределах от 0 до 7С, находим окон­ чательную формулу для восприимчивости композита со сферическими магнитными включениями:

+ в(^ )(д20У„/ГЙ2)(й)4х‘ /(| +ш2т2)г) |

Чтобы иметь теперь исчерпывающую картину зависимости мнимой

155

/^zzma.x*4 ^

/■-const

образом зависит от концентрации и температуры: |Ацтах(7’,£*) = 0.25(£*/£*р)

{(9М0/На)(ТIJex)y 2 + В(£’)TJДоЛ*/ Th2}, где M0= p ,/a 3 (а). 6 - качествен­ ное поведение максимума магнитной проницаемости Ц»тах(7') при фиксиро­ ванной концентрации ферромагнитных частичек. Здесь

и действительной частей магнитной проницаемости от температуры, нам следует вспомнить, что среднее время релаксации зависит впол­ не определеннымобразом от температуры.

Действительно, для ферромагнетика типа “легкая ось" согласно [3.4, с. 256-265] можно написать, что

длятрехмагнонных процессов рассеяния при T > [L e(H0 + На),

(3.107а)

1S6

для процесса рассеяния с участием четырех магнонов при Т >

Подчеркнем, что этими формулами следует пользоваться в ие­ рархическом порядке. То есть при исследовании поглощения в данном диапазоне температур необходимо сравнить, какое из приведенных времен самое маленькое, и учитывать только это время (самую боль­ шую величину 1/Tj!). Оценим выражение (3.106) для частиц Fe2Mn04

циональным 6 7 ^ р)5/3, получаем следующую оценку: |i"(o>) = 0,06. При увеличении концентрации мелкодисперсной фазы учет второго сла­ гаемого в формуле (3.106) необходим. Положив, например, А0 = = 10“18 эрг, = 0,14, найдем, что |i"(co) = 0,032.

Графики зависимостей |j."(co, Г, £,*) схематически изображены на рис. 3.10.

б. Мелкодисперсная фаза в виде ферромагнитных нитей

Рассмотрим теперь другой вид наполнителя, а именно пусть фер­ ромагнитные частицы представляют собой нити длиной /0, соответ­ ствующие примерно KH-IO-2 см. Когда роль наполнителя играют маг­ нитные нити, качественная картина поглощения энергии радиочастот­ ного поля не меняется, а количественная изменяется, и связано это прежде всего с тем, что время релаксации магнонов очень сильно зависит от формы тела. В случае сферической частицы время релак­ сации можно оценить из выражения (3.91), а для образца цилиндри­ ческой формы соответствующее время релаксации есть [3.4]

1/Тц = « 2r 2 /(pa4cJ[y„(ai)2 + n t(H0 + Wocosa)+2it(i,M 0]). (3.108) Данное выражение справедливо, если ось магнитной анизотропии совпа­

157

дает с направлением оси нити. Из сравнения формул (3.108) и (3.91) можно сделать заключение, что время релаксации во втором случае немного увеличивается и, как следствие этого, уменьшаются потери, связанные с поглощением магнитной энергии.

Для того чтобы оценить восприимчивость диэлектрика с нитевид­ ными магнитными добавками в зависимости от их концентрации, пред­ ставим себе следующую модель заполнения: пусть нити длиной /0 лежат в некотором выделенном направлении х и образуют вполне упорядо­ ченную структуру с расстоянием между нитями (в перпендикулярном оси х направлении), равным г. В этом случае концентрация есть

где R —радиус нити. Отсюда следует, что

Зная зависимость расстояния между центрами нитей от их концент­ рации, можно (аналогично случаю "а") вычислить х^(со, £*).

Поскольку характер случайной силы, действующей на данный маг­ нитный атом для цилиндрических включений, отличается от случая, когда они сферические, то формула (3.105) несколько изменится. В ре­ зультате усреднения по а найдем

Х ''(ш .О = ( ^ ^ р ) х

x(9p,/8TWJ(tffl + 2кМ0))(Т/ Jex)312 In H0 + Ha

- H aJ

где параметр Ai = Fxa, TJ, при T > \Le(H + Ha) совпадает с временем ii

(CM. (3.93)). Функция

*[(«''С Г +te‘ '£,)'")}

При малых концентрациях, когда второе слагаемое мало, и при тех же

Х"=0,08.

Отметим, что та категория наполнителя, которая была рассмот­ рена выше, не исключает, конечно, возможности применения другого типа мелкодисперсной составляющей в качестве примесной фазы. Может даже оказаться, что другие форма и тип наполнителя более эффективно скажутся на способности композита поглощать электро­ магнитное излучение с заданной длиной (или частотой) волны. Иссле­

158

дование других случаев в настоящем изложении пока не предпо­ лагается.

В заключение хотелось бы выделить основные результаты, полу­ ченные выше.

1. Предложена теория динамической продольной магнитной воспри­ имчивости композитов, когда в роли дисперсной фазы используются сферические и цилиндрические легкоосные ферромагнитные добавки.

2. Исследована концентрационная зависимость и доказано, что она может быть описана в рамках элементарной функции /?(£,*), причем

в области критических концентраций (£,* = £кр) оказывается возможным вычислить "критический" индекс Р (особенность поведения % вблизи окрестности точки = £кр), который согласно формуле (3.106) есть

р= 4.

3.Намеченный выше подход позволяет вычислять как темпе­ ратурные, так и частотные параметрические зависимости восприим­ чивости х и магнитной проницаемости р. композитов в широком ин­ тервале параметров и для любых типов и форм мелкодисперсной фазы.

3.5.ОСОБЕННОСТИ ПОГЛОЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ РАДИОЧАСТОТНОГО ПОЛЯ В МАГНИТНЫХ КОМПОЗИТАХ (СТРУКТУРА М + М)

Цель настоящего раздела - всесторонний анализ поглощения энер­ гии радиочастотного магнитного поля (сокращенно РЧ) в структурах типа М + М. Интерес к такому виду композитов вызван не простой случайностью. Дело в том, что подобные вещества, как это ни по­ кажется странным, не слишком освещены в литературе (во всяком случае, нам неизвестны публикации, посвященные изучению именно такого типа гетерогенных структур), и в связи с этим интерес к ним с нашей стороны вполне естествен. Хотя, объективности ради, все же надо сказать, что огромное количество всевозможных композитов нельзя охватить в рамках одной монографии, а тем более описать все их физические свойства. Хотя нечто подобное таблице Менделеева можно было бы предложить, обобщив и изучив те композиты, которые в настоящее время известны и уже изучены. Классификация их может быть проведена по конкретным параметрам: по теплоемкости, по теплопроводности и по их поглощательной способности. Причем послед­ нее относится как к внешнему источнику звука, так и к разнообразным ЭМизлучениям.

В связи с широким применением композитов и композиционных материалов в различных областях знаний, как мы отмечали, в на­ стоящее время становятся весьма актуальными и чисто теоретические исследования широкого спектра свойств таких веществ, необходимость чего диктуется еще и возможностью выявления некоторых нестан­ дартных и аномальных зависимостей отдельных физических параметров (как равновесных, так и неравновесных) упомянутых структур.

Предсказанию одного из таких свойств и посвящен настоящий раздел. Пусть у нас имеется магнитный кристалл, основная матрица

159

которого представляет собой ферроили антиферромагнетик, далее характеризуемый как фаза "О", с внедренными в его матрицу макро­ скопическими мелкодисперсными частицами произвольной формы, представляющими собой также магнетики, но с другими физическими свойствами и называемые далее в принятой нами терминологии фазой "1". Обозначим магнитную восприимчивость основной матрицы через Хо» а примесной - через Xi и вычислим полную восприимчивость %такой составной структуры.

Пусть М(г) - магнитный момент единицы объема композита, а его характерная область изменения удовлетворяет неравенству Ьх < R, где R - линейный размер частицы примесной фазы. Чтобы найти связь об­ щей восприимчивости композита х с восприимчивостями Хо и Xi. вычис­ лим интеграл: J = J М(r)dV, где V - объем всего композита. Имеем

М] (г) - то же, в частице мелкодисперсной структуры, V - полное коли­ чество частичек примесной фазы, V* - объемы к-й частицы. Поскольку М = хН('\ гДе Н(,) - внутреннее магнитное поле, MQ = ХоН(,). Что каса­ ется M j(r), то для его вычисления надо вспомнить (см. раздел 3.2), что внутреннее поле в магнетике, если по отношению к частице внешнее поле есть Н(,), можно найти по формуле (см. [3.56])

формы частиц примесной фазы. Далее, поскольку Mj =Х1Н*Л то в результате с помощью формулы (3.114) находим, что

где угловые скобки означают усреднение по всему объему образца. Таким образом, искомая восприимчивость композита есть

Элементарный анализ формулы (3.117) в рамках самой простой дебаев­ ской модели частотной зависимости восприимчивости, согласно кото-

160