- •Якушевич Л. В.
- •ISBN 978-5-93972-638-2
- •http://shop.rcd.ru
- •Оглавление
- •Структура ДНК
- •1.1. Химический состав и первичная структура
- •1.2• Пространственная геометрия и вторичная структура
- •1.3. Силы, стабилизирующие вторичную структуру ДНК
- •1.3.1. Водородные взаимодействия
- •1.3.2. Стэкинговые взаимодействия
- •1.3.3. Дальнодействующие силы внутри и снаружи сахарофосфатного остова
- •1.3.4. Электростатическое поле ДНК
- •1.4. Полиморфизм
- •1.5. Третичная структура
- •1.5.1. Суперспираль
- •1.5.2. Структурная организация в клетках
- •1.6. Моделирование структуры ДНК
- •1.6.1. Общие замечания
- •1.6.2. Иерархия структурных моделей
- •1.7. Экспериментальные методы исследования структуры ДНК
- •Динамика ДНК
- •2.1. Общая картина внутренней подвижности ДНК
- •2.2. Крутильные и изгибные движения
- •2.3. Динамика оснований
- •2.3.1. Состояние равновесия
- •2.3.2. Возможные движения оснований
- •2.4. Динамика сахарофосфатного остова
- •2.4.1. Состояние равновесия
- •2.4.2. Возможные движения сахарофосфатного остова
- •2.5. Конформационные переходы
- •2.6. Движения, связанные с локальным разделением нитей
- •2.6.1. Раскрытие пар оснований вследствие вращения оснований
- •2.7. Моделирование динамики ДНК
- •2.7.2. Иерархия динамических моделей
- •2.8. Экспериментальные методы изучения динамики ДНК
- •2.8Д. Раман-спектроскопия
- •2.8.2. Рассеяние нейтронов
- •2.8.3. Инфракрасная спектроскопия
- •2.8.4. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •2.8.5. Микроволновое поглощение
- •2.8.7. Эксперименты по переносу заряда
- •2.8.8. Эксперименты с отдельными молекулами
- •Функционирование ДНК
- •3.1. Физические аспекты функционирования ДНК
- •3.2. Интеркаляция
- •3.3. Белок-нуклеиновое узнавание
- •3.4. Экспрессия генома
- •3.5. Регуляция генной экспрессии
- •3.6. Репликация
- •Линейная теория ДНК
- •4.1. Основные математические модели
- •4.1.1. Линейная модель упругого стержня
- •4.1.1.1. Продольные и крутильные движения: дискретный случай
- •4.1.1.3. Изгибные движения
- •4.1.2. Линейная модель двойного упругого стержня
- •4.1.2.1. Дискретный случай
- •4Л.2.2. Непрерывный случай
- •4.1.3. Линейные модели более высоких уровней иерархии
- •4.1.3.1. Модели третьего уровня
- •4.1.3.2. Модели четвертого уровня (решеточные модели)
- •4.2. Статистика линейных возбуждений
- •4.2.1. Фононы в модели упругого стержня
- •4.2.1.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.1.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.1.3. Корреляционные функции
- •4.2.2. Фононы в модели двойного стержня
- •4.2.2.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.2.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.2.3. Корреляционные функции
- •4.2.3. Фононы в моделях более высокого уровня
- •4.3. Задача рассеяния
- •4.3.1. Рассеяние на «замороженной» ДНК
- •4.3.2. Упругое рассеяние
- •4.3.3. Неупругое рассеяние
- •4,4. Линейная теория и эксперимент
- •4.4.1. Флуоресцентная деполяризация
- •Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели
- •5.1. Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения
- •5.2. Нелинейные модели упругого стержня
- •5.2.1. Модель Муто
- •5.2.2. Модель Христиансена
- •5.2.3. Модель Ичикавы
- •5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня
- •5.3.1. Общий случай: гамильтониан
- •5.3.2. Общий случай: динамические уравнения
- •5.3.ЗЛ. Дискретный случай
- •5.3.3.3. Линейное приближение
- •5.3.3.4. Первый интеграл
- •5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона
- •5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана
- •5.3.4. Модель Пейарда и Бишопа
- •5.3.6. Модель Барби
- •5.3.7. Модель Кампы
- •5.4. Нелинейные модели более высоких уровней иерархии
- •5.4.1. Модель Крумхансла и Алекзандер
- •5.4.2. Модель Волкова
- •Нелинейная теория ДНК: неидеальные модели
- •6.1. Модели, учитывающие влияние окружающей среды
- •6.1.2. Частные примеры
- •6.1.3. ДНК и термостат
- •6.2. Модели, учитывающие неоднородность ДНК
- •6.2.1. Граница
- •6.2.2. Локальная область
- •6.2.3. Последовательность оснований
- •6.3. Модели, учитывающие спиральность ДНК
- •6.4. Модели, учитывающие асимметрию ДНК
- •Нелинейная теория ДНК: статистика нелинейных возмущений
- •7.1. ПБД-подход
- •7.2. Приближение идеального газа
- •7.3. Задача рассеяния и нелинейные математические модели
- •7.3.1. Динамический фактор для простой модели синус-Гордона
- •7.3.2. Динамический фактор для спиральной модели синус-Гордона
- •Экспериментальные исследования нелинейных свойств ДНК
- •8.1. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •8.2. Резонансное микроволновое поглощение
- •8.3. Рассеяние нейтронов и света
- •8.3.2. Интерпретация Баверстока и Кундалла
- •8.4. Флуоресцентная деполяризация
- •9.1. Нелинейный механизм конформационных переходов
- •9.2. Нелинейные конформационные волны и эффекты дальнодействия
- •9.3. Нелинейные механизмы регуляции транскрипции
- •9.4. Направление процесса транскрипции
- •9.5. Нелинейная модель денатурации ДНК
- •Математическое описание крутильных и изгибных движений
- •Литература
- •Предметный указатель
Глава 5
Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели
В предыдущей главе мы рассмотрели линейное (или гармоническое) приближение теории ДНК. Оно справедливо, когда амплитуды внутрен них движений малы. Если же эти амплитуды велики, необходимо при нимать во внимание нелинейные (или ангармонические) эффекты. В гла ве 2 мы уже привели несколько примеров внутренних движений боль шой амплитуды. Так, конформационные переходы, процессы денатура ции, образование открытых состояний в процессах белок-нуклеинового узнавания, образование открытых состояний на первой стадии процесса транскрипции являются лишь некоторыми, наиболее известными приме рами движений большой амплитуды.
В этой главе мы представим несколько нелинейных моделей, ко торые составляют базис нелинейной теории ДНК, и опишем основные принципы конструирования этих моделей.
5.1.Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения
Мы уже рассматривали основные принципы конструирования дина мических моделей ДНК. Они имеют общий характер и справедливы как для линейного, так и для нелинейного случаев. Таким образом, можно утверждать, что алгоритм конструирования нелинейных моделей дина мики ДНК тоже будет включать следующие элементы:
1.Отбор основных (доминантных) движений.
2.Конструирование нелинейных дифференциальных уравнений, ими тирующих эти движения.
3.Нахождение решений этих уравнений.
4. Интерпретация этих решений.
На практике, однако, после отбора доминантных движений иссле дователи часто используют дополнительную стадию: они находят ме ханический аналог с теми же видами внутренних движений и взаимо действий. Эта дополнительная стадия позволяет упростить процедуру конструирования уравнений.
Давайте* проиллюстрируем такой подход двумя простыми примера ми. При этом, как и в предыдущей главе, мы ограничимся рассмотрением только тех идеальных моделей, которые являются элементами иерархии, подробно описанной в разделах 1.6 и 2.7. Другими словами, мы не бу дем учитывать влияние окружающей среды, эффекты диссипации, неод нородность структуры ДНК и т. д. Условия, при которых такой подход становится некорректным, будут обсуждаться в следующей главе.
Пример 1. Этот пример касается моделирования динамики откры тых состояний ДНК. Основные стадии конструирования соответствую щих нелинейных моделей следующие.
1. Отбор доминантных движений. Поскольку основной вклад в процесс раскрытия пар вносят вращательные движения оснований, естественно предположить, что именно эти движения должны быть вы браны в качестве доминирующих. Для простоты мы ограничимся рас смотрением вращательных движений только в одной из двух цепочек ДНК и будем рассматривать вторую цепочку только как источник неко торого стабилизирующего потенциального поля.
2. Механический аналог и конструирование уравнения. Механи ческий аналог для вращательных движений оснований ДНК был най ден Инглэндером и соавторами [15]: для этой цели они использовали простую механическую систему, состоящую из цепочки связанных ма ятников, причем каждый маятник мог вращаться только в плоскости, перпендикулярной оси цепочки (рис. 4.4). Такая система была впервые построена Скоттом [232] для демонстрации распространения нелиней ных волн.
Вращательное движение n -го маятника механической системы опи сывается уравнением
т,12фп = К12(<£>„+1 - 2(рп + <pn~i) - mglsin <pn, |
(5.1) |
где ipn (t) — угловое смещение n-го маятника; К — крутильная жест кость горизонтальной нити; / и т — длина и масса маятника, соответ ственно; g — константа гравитационного поля. Если предположить, что
интересующие нас решения являются гладкими функциями, то уравне ние (5.1) можно переписать в континуальном приближении
Iiptt = K l2a2(pzz - mgl sirup, |
(5.2) |
где I = ml2 После ренормировки уравнение (5.2) приобретет вид
¥>zz - фтт = sin <р, |
(5.3) |
где Z = (mg/Kla2) 1^2 z\ Т = {g/l)l^2t. Таким образом, вращательные движения маятников в механической модели описываются хорошо из вестным синус-уравнением Гордона.
3 -4 . Решения и их интерепретация. Учитывая аналогию между (О вращательными движениями оснований ДНК и вращательными дви жениями маятников, (п) полем, образованным второй цепочкой ДНК, и гравитационным полем в механической модели, (iii) упругостью са харофосфатной цепочки в молекуле ДНК и упругостью горизонтальной нити в механической модели, Инглэндер и соавторы [15] сделали вы вод о том, что вращательные движения оснований также могут быть описаны синус-уравнением Гордона, а солитоноподобные решения этого
v
27Г
|
0 |
|
Z |
|
|
V |
|
\ |
\ |
1 / / |
|
м м и г |
|
x\l |
1 1 1 1 1 |
М М 1 I V |
|
/ / 1 |
1 II II |
' |
/ |
\ ч |
|
Рис. 5.1. (а) Схематическое изображение кинкового решения уравнения си- нус-Гордона; (Ь) открытое состояние ДНК, соответствующее этому решению
уравнения, имеющие форму кинков и антикинков,
OTcink. |
(Z,T) = 4&vcbg\exP± U l - v 2y |
1/2( Z - v T - Z o ) } } , (5.4) |
|
antikink |
^ |
L |
J J |
будут описывать открытые состояния ДНК (рис. 5.1). Здесь v — скорость солитона; Zo — произвольная константа.
Необходимо добавить, что кроме решений в виде кинка и антикинка, уравнение синус-Гордона обладает фононными решениями
<pph (Z,Т) = А, ехр [г (qZ - wqT)}, wq = |
(l + q2) 1/2 |
(5.5) |
и решением в виде бризера |
|
|
<рв (Z ,T ) = 4arctg{a:sin0/ ch [7a (Z - v T |
- ZQ)\} , |
(5.6) |
где 0 = 7ft (Г - vZ) + 0o, 7 = (l - v2) ~ \ a2 = (l - |
Cl2) /Cl2, 0 < П < 1, |
Q — собственная частота бризера ; v — скорость; Zo, во — произвольные параметры (начальное положение и фаза). Однако интерпретация этих двух видов решений и их роль в динамике и функционировании ДНК пока не ясны.
П ример 2. В этом примере мы снова рассмотрим динамику от крытых состояний ДНК, но при помощи более аккуратного (точного) подхода. В этом случае основные стадии алгоритма следующие.
1.Отбор доминантных движений. Чтобы получить более точную модель, мы учтем вращательные движения оснований в обеих цепях ДНК.
2.Механический аналог и конструирование уравнения. Для на хождения «механического» аналога необходимо модифицировать модель Скотта, убрав «гравитационное» поле и добавив вместо него вторую це почку связанных маятников, взаимодействующих с первой цепочкой при
помощи дополнительных поперечных пружинок, обладающих жестко стью к (рис. 4.5).
Дифференциальное уравнение, имитирующее вращательные движе ния n -го маятника первой цепочки, примет тогда следующий вид [26]
1фп,1 — |
(ф и -i-i,i |
2</?пд + 'р п —1,1) |
[2 siru p n ^ i |
sin (<£>n,i (pn,2 )] 1 |
|
|
|
|
(5.7) |