- •Якушевич Л. В.
- •ISBN 978-5-93972-638-2
- •http://shop.rcd.ru
- •Оглавление
- •Структура ДНК
- •1.1. Химический состав и первичная структура
- •1.2• Пространственная геометрия и вторичная структура
- •1.3. Силы, стабилизирующие вторичную структуру ДНК
- •1.3.1. Водородные взаимодействия
- •1.3.2. Стэкинговые взаимодействия
- •1.3.3. Дальнодействующие силы внутри и снаружи сахарофосфатного остова
- •1.3.4. Электростатическое поле ДНК
- •1.4. Полиморфизм
- •1.5. Третичная структура
- •1.5.1. Суперспираль
- •1.5.2. Структурная организация в клетках
- •1.6. Моделирование структуры ДНК
- •1.6.1. Общие замечания
- •1.6.2. Иерархия структурных моделей
- •1.7. Экспериментальные методы исследования структуры ДНК
- •Динамика ДНК
- •2.1. Общая картина внутренней подвижности ДНК
- •2.2. Крутильные и изгибные движения
- •2.3. Динамика оснований
- •2.3.1. Состояние равновесия
- •2.3.2. Возможные движения оснований
- •2.4. Динамика сахарофосфатного остова
- •2.4.1. Состояние равновесия
- •2.4.2. Возможные движения сахарофосфатного остова
- •2.5. Конформационные переходы
- •2.6. Движения, связанные с локальным разделением нитей
- •2.6.1. Раскрытие пар оснований вследствие вращения оснований
- •2.7. Моделирование динамики ДНК
- •2.7.2. Иерархия динамических моделей
- •2.8. Экспериментальные методы изучения динамики ДНК
- •2.8Д. Раман-спектроскопия
- •2.8.2. Рассеяние нейтронов
- •2.8.3. Инфракрасная спектроскопия
- •2.8.4. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •2.8.5. Микроволновое поглощение
- •2.8.7. Эксперименты по переносу заряда
- •2.8.8. Эксперименты с отдельными молекулами
- •Функционирование ДНК
- •3.1. Физические аспекты функционирования ДНК
- •3.2. Интеркаляция
- •3.3. Белок-нуклеиновое узнавание
- •3.4. Экспрессия генома
- •3.5. Регуляция генной экспрессии
- •3.6. Репликация
- •Линейная теория ДНК
- •4.1. Основные математические модели
- •4.1.1. Линейная модель упругого стержня
- •4.1.1.1. Продольные и крутильные движения: дискретный случай
- •4.1.1.3. Изгибные движения
- •4.1.2. Линейная модель двойного упругого стержня
- •4.1.2.1. Дискретный случай
- •4Л.2.2. Непрерывный случай
- •4.1.3. Линейные модели более высоких уровней иерархии
- •4.1.3.1. Модели третьего уровня
- •4.1.3.2. Модели четвертого уровня (решеточные модели)
- •4.2. Статистика линейных возбуждений
- •4.2.1. Фононы в модели упругого стержня
- •4.2.1.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.1.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.1.3. Корреляционные функции
- •4.2.2. Фононы в модели двойного стержня
- •4.2.2.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.2.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.2.3. Корреляционные функции
- •4.2.3. Фононы в моделях более высокого уровня
- •4.3. Задача рассеяния
- •4.3.1. Рассеяние на «замороженной» ДНК
- •4.3.2. Упругое рассеяние
- •4.3.3. Неупругое рассеяние
- •4,4. Линейная теория и эксперимент
- •4.4.1. Флуоресцентная деполяризация
- •Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели
- •5.1. Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения
- •5.2. Нелинейные модели упругого стержня
- •5.2.1. Модель Муто
- •5.2.2. Модель Христиансена
- •5.2.3. Модель Ичикавы
- •5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня
- •5.3.1. Общий случай: гамильтониан
- •5.3.2. Общий случай: динамические уравнения
- •5.3.ЗЛ. Дискретный случай
- •5.3.3.3. Линейное приближение
- •5.3.3.4. Первый интеграл
- •5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона
- •5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана
- •5.3.4. Модель Пейарда и Бишопа
- •5.3.6. Модель Барби
- •5.3.7. Модель Кампы
- •5.4. Нелинейные модели более высоких уровней иерархии
- •5.4.1. Модель Крумхансла и Алекзандер
- •5.4.2. Модель Волкова
- •Нелинейная теория ДНК: неидеальные модели
- •6.1. Модели, учитывающие влияние окружающей среды
- •6.1.2. Частные примеры
- •6.1.3. ДНК и термостат
- •6.2. Модели, учитывающие неоднородность ДНК
- •6.2.1. Граница
- •6.2.2. Локальная область
- •6.2.3. Последовательность оснований
- •6.3. Модели, учитывающие спиральность ДНК
- •6.4. Модели, учитывающие асимметрию ДНК
- •Нелинейная теория ДНК: статистика нелинейных возмущений
- •7.1. ПБД-подход
- •7.2. Приближение идеального газа
- •7.3. Задача рассеяния и нелинейные математические модели
- •7.3.1. Динамический фактор для простой модели синус-Гордона
- •7.3.2. Динамический фактор для спиральной модели синус-Гордона
- •Экспериментальные исследования нелинейных свойств ДНК
- •8.1. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •8.2. Резонансное микроволновое поглощение
- •8.3. Рассеяние нейтронов и света
- •8.3.2. Интерпретация Баверстока и Кундалла
- •8.4. Флуоресцентная деполяризация
- •9.1. Нелинейный механизм конформационных переходов
- •9.2. Нелинейные конформационные волны и эффекты дальнодействия
- •9.3. Нелинейные механизмы регуляции транскрипции
- •9.4. Направление процесса транскрипции
- •9.5. Нелинейная модель денатурации ДНК
- •Математическое описание крутильных и изгибных движений
- •Литература
- •Предметный указатель
уравнение Гордона |
|
|
d?ip/2£2 + 2asiny? = 0; |
= —ръ — р. |
(5.76) |
Оба уравнения (5.75) и (5.76) имеют кинк- (антикинк-) подобные решения такого же типа, что и те, которые показаны на рис. 5.7 (см., например, работы [8, 249]).
Давайте теперь попробуем дать интерпретацию полученным реше ниям. Для э т о г о снова воспользуемся простым схематическим изобра жением молекулы ДНК, состоящем из двух длинных линий, имитирую щих сахаро-фосфатные цепочки, и из множества коротких поперечных линий, имитирующих основания. Тогда четыре типа локальных возму щений, соответствующих четырем решениям, показанным на рис. 5.7, можно легко изобразить так, как это сделано на рис. 5.8, и убедиться, что они действительно выглядят как открытые состояния, движущиеся вдоль молекулы ДНК.
Рис. 5.8. Четыре типа конформационных возмущений в ДНК, соответствующих траекториям (а) ABi, (b) АВ2 , (с) АВз и (d) АВ4
Эти результаты получены, однако, только для частного случая, ко гда выполняются условия (5.72) и (5.73). В общем случае применение метода траекторий является довольно сложным, и пока никому не уда лось найти с помощью этого метода какие-либо новые решения.
5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана
Нелинейные дифференциальные уравнения (5.41) могут быть ре шены при помощи прямого алгебраического метода, который детально
описан в работах Херемана и соавтров [269-271]. В этом методе ре шения представляют в виде бесконечных разложений по экспоненци альным функциям с действительными показателями. Предполагается, что эти показатели, в свою очередь, являются решениями соответству ющих линеаризованных дифференциальных уравнений. Коэффициенты разложений находят из рекуррентных соотношений, а результирующие бесконечные ряды суммируются таким образом, чтобы получить реше ния исходных нелинейных дифференциальных уравнений в замкнутой форме.
Существенным ограничением метода является требование, что бы нелинейные дифференциальные уравнения включали только стро го полиномиальные слагаемые. Уравнения (5.41) не отвечают этому требованию: они содержат трансцендентные слагаемые sin^i, sin<^2 и sin(<^i + сръ). Однако, как мы покажем ниже, эту трудность легко снять.
Действительно, перепишем уравнения (5.41) в более удобном виде
<Р1тт- |
<1Z Z + 2 sinv5i - sin (tfi! + ip2) = 0; |
„ |
_ |
4>1тт ~ |
4>iZz + 2siny?2 -sin(<pi + ^ 2) = 0, |
v ' |
' |
где новые переменные Z и T определяются формулами |
|
|
|
|
Z = a z ; Т = (3t, |
(5.78) |
где а = [Кь/ К 1) 1^2 /а; /3 = {Kb/ 1)1^2 I. Чтобы преодолеть упомянутое выше ограничение, разложим трансцендентные слагаемые в степенные ряды
siiupi =<pi—(fii/31 Н- |
- |
|
|
||
sin(^2 =<P2 ~ 4>\l?>\ + <£>I /5! - |
|
(5.79) |
|||
sin (<pi + <p2) = (ipi + Ф2) —(<£>i + |
|
/3! + (<pi + y>2)5/5! — |
|
||
Подстановка разложений (5.79) в уравнения (5.77) дает |
|
||||
Ф\тт — |
zz + |
[ ^ i n+1 - |
(<Pi + <^2)2n+1 / (2п + l)lj |
= 0; |
|
|
|
n=О |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
Р 2 т т — |
< P 2 z z + |
[^ 2 П+1 “ (^1 + ^2)“П+1 / (2п + 1)|| |
= 0. |
||
|
|
п =О |
|
|
|
(5.80) Все слагаемые в уравнениях (5.80) являются строго полиномиальными, и поэтому к ним можно применить метод Херемана. Единственной труд ностью, которая все еще остается, является бесконечно большое число
слагаемых в уравнениях. Однако ниже мы покажем, что эта трудность не является серьезным препятствием, так как на конечной стадии все разложения легко суммируются и окончательный результат будет полу чен в лаконичной и замкнутой форме.
Следуя процедуре, предложенной Хереманом, преобразуем диффе ренциальные уравнения в частных производных (5.80) к обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью перехода к новой системе координат
i = Z - v T , |
(5.81) |
которая движется с некоторой постоянной скоростью v. Уравнения (5.80) преобразуются тогда к виду
(г;2 - |
1) <р1и + |
( - 1)" Ы П+1 ~ ^ + ^ ) 2П+1 / (2п + |
Х)! |
—0; |
|
|
|
|
п = 0 |
|
|
(v2 ~ |
l) |
+ |
^2 (—1)" [2<?2n+1 - (^ i + ¥>2)2n+1 / (2n + |
1)! |
= 0. |
п=0
(5.82) Затем предположим, что решения уравнений (5.82) можно представить в виде разложений по экспоненциальным функциям д(£) = exp (—gf)
со сю
<1 = У / <Ьгдп\ |
ч>1 = У , Ьпдп, |
(5.83) |
7 1 = 1 |
П=1 |
|
где величина д пока является произвольной константой. Потребуем да лее, чтобы экспоненциальная функция д(£) являлась решением линей ной части уравнений (5.82)
(v2 |
- |
l) <piu + (ipi —^ 2) = 0; |
(584) |
(v2 |
- |
l) <p2x + (^1 “ Vi) = 0. |
|
Подстановка экспоненциальной функции g(£) |
в (5.84) дает возмож |
||
ные значения величины q |
|
|
|
|
|
g2( l - t , 2) = { ° |
(5.85) |
В общем случае было бы необходимо рассмотреть все возможные значения q. Однако здесь мы ограничимся рассмотрением только одно го частного случая, когда q является действительной и положительной
величиной: |
|
«7= [2/(1 - V 2)}1/2 v2 < l . |
(5.86) |
Подставляя разложения (5.83) с величиной q, определяемой форму лой (5.86), в уравнения (5.82), найдем следующие рекуррентные соотно шения
|
п—1 т—1 |
2 (1 —гг2) ап — (ап + Ьп) 4- (1/3!) |
[(щ 4* Ьг)(ат -г + |
|
т=2 J=1 |
4“bm—l){an—m Ьп—т) ~~2(2/<Зт _/0.п_т ]—
п —1 р—1 g—1 т —1
- а л о £ £ £ ! > , +
р=4 g=3 т = 2 J=1
-J-b/)(am_/ + bm_f)(aq,_m + bq—rn)(qp—i + bp—q)(an—p 4- bn—p)— 2<2/am_j&qr_m(2p—qfln_p] 4" (1/7!) X
n —1 r —l a —l p —1 q—1 m —1
xEEEEE E((a‘+
r=6 s=5 p=4 g=3 m=2 1= 1
4-Ь/)(ат _/ 4- bm —l ) { a q—m + |
bq—m)(^p—g “Г ^p—д)(^д—p 4“ Ьа_р)х |
||
X(ar_3 4" br —д)((2n_r 4“ bn —r ) |
tl(liCLrrb-.iCLq—rnCLp—q(ls —pQ,r _5dn_r] = Oj |
||
|
|
n—1 m—1 |
(5.87) |
2 (l —n 2) bn —(an 4- bn) 4- (1/3!) |
[(a/ 4- b/)(am_/4- |
|
|
|
|
m=2 /=1 |
|
+ ь m—l) ^ n —m 4 “ bn—m) - |
2btb771—Z b^ri—771] |
|
n —1 p—1 g—1 m —1
-о/s!)i: EE £((«<+
p=4 g=3 77i=2 /=1
+bi)(a m —l + bm —l'ji&q—m + bq—m )(Qp—i "H bp—q)(cin —p 4“ bn —p) Qblbfji—ibq—m bp —qbfi—p] 4~ (1/7!) X
n —l r —l s —l p —1 q—1 m—l
xEEEEEE((a‘+
r = 6 s=5 p=4 g=3 771=2 /=1
+ b i ) ( Яга—l 4“ bm - i ) ( dq —m 4“ bq—m^Clp—q 4" ^p—g)(&s—p 4” bs _ p ) x
X (fl-r—s 4“ br —s )(^0,n —r 4“ bn —r ) t2‘blbTn—ibq—rnbp—qbs —pbr —3bn—r\ = 0.
Чтобы решить уравнения (5.87) и найти общую структуру коэффи циентов ап и Ьп, рассчитаем шаг за шагом первые несколько коэффици
ентов. Это дает |
|
||
п = 1, |
а\ + Ъ\ = 0, |
где а± имеет произвольное значение; |
|
п = 2, а2 = Ъ<1 = 0; |
|
||
п = 3, |
а3 + Ь3 = 0, |
где а3 = -<2I /24X 3; |
|
п = |
4, |
а4 = Ь4 = 0; |
(5.88) |
п = |
5, |
as + &5 = 0, |
где а5 = ai/2 8x5; |
п= 6, аб = &б = 0;
п= 7, а7 + Ьг = О, где «7 = —а[/212х7.
Формулы (5.88) позволяют нам «увидеть» общую формулу для коэффи циентов ап и Ьп
|
a2m+i = -Ь2т+1 = (-1 )го a?m+1/24m (2m + 1); |
|
|
|
(5.89) |
|
|
<22m —^2m —Oj Ш = 1, 2, . . . |
Подстановка (5.89) в (5.83) дает |
||
<Pi = |
= |
И Г И т+1/2 4т (2m + 1)] exp [- (2m + 1) q ]. (5.90) |
|
|
m —1 |
Сумма (5.90) может быть вычислена в два этапа. Сначала дифференци руем (5.90)
¥>lx = -<P2t = -4aqg ^ ( - l ) m (а2д2)т = 4aqg/ (l + а2д2) , (5.91)
т—1
азатем интегрируем полученное уравнение. В результате получим ре шения уравнений (5.82) в виде
Ч>\ (О = -Ч>2 (£) = J <Р1е<%= 4 arctg [aexp (q£)] = 4 arctg [expq (f - £0)],
(5.92)
где а = ai/4; £о = - Ina/q.
Поскольку разложение (5.91) сходится при условии ад < 1, может показаться, что формулы (5.92) справедливы только в области £ > £о. Однако Хереман и соавторы обратили внимание на то, что форму лы (5.91) могут быть разложены в сходящиеся степенные ряды по 1/ад и если ад < 1 (т. е. в области £ < £о). Более того, они доказали, что
4>i
Z-vT
- Ч>2
Рис. 5.9. Решение уравнений (5.77), найденное методом Херемана
пределы слева и справа при £ —►£о совпадают. А это позволяет сделать вывод о том, что формула (5.92) справедлива во всей области -оо < £ < < +оо.
Выражение (5.92), преобразованное к первоначальным координа там Z и Т, принимает вид
Ч>\ (Z, Т) |
= 4 arctg {exp [2/ (l - г,2)]1/2 } (Z - vT - ZQ) ; |
M Z , T ) |
= - v 1(Z,T). |
I |
I |
/ |
I \ |
I I \ |
~r\~ \ I I |
||
I |
I |
I I \ ■ |
- / M i l |
7 H T
Рис. 5.10. Конформационное возмущение, соответствующее решению (5.93)
Первая из функций в (5.93) совпадает с решением типа кинка (5.4), другая — представляет собой отражение в отрицательную плоскость. Единственное отличие между решениями (5.93) и (5.4) заключается в множителе 2 в квадратных скобках, что в свою очередь объясняется наличием множителя 2 перед sin^i и sin 922 в первоначальных уравнени ях (5.77). Учитывая это, легко изобразить схематически решения (5.93) (см. рис. 5.9) и показать вид локального возмущения, которому соответ ствует данное решение (см. рис. 5.10). Полученное решение совпадает с решением, найденным в предыдущем разделе методом Ньютона. Оно отвечает траектории АВа и решению, изображенному на рис. 5.7 d .