- •Якушевич Л. В.
- •ISBN 978-5-93972-638-2
- •http://shop.rcd.ru
- •Оглавление
- •Структура ДНК
- •1.1. Химический состав и первичная структура
- •1.2• Пространственная геометрия и вторичная структура
- •1.3. Силы, стабилизирующие вторичную структуру ДНК
- •1.3.1. Водородные взаимодействия
- •1.3.2. Стэкинговые взаимодействия
- •1.3.3. Дальнодействующие силы внутри и снаружи сахарофосфатного остова
- •1.3.4. Электростатическое поле ДНК
- •1.4. Полиморфизм
- •1.5. Третичная структура
- •1.5.1. Суперспираль
- •1.5.2. Структурная организация в клетках
- •1.6. Моделирование структуры ДНК
- •1.6.1. Общие замечания
- •1.6.2. Иерархия структурных моделей
- •1.7. Экспериментальные методы исследования структуры ДНК
- •Динамика ДНК
- •2.1. Общая картина внутренней подвижности ДНК
- •2.2. Крутильные и изгибные движения
- •2.3. Динамика оснований
- •2.3.1. Состояние равновесия
- •2.3.2. Возможные движения оснований
- •2.4. Динамика сахарофосфатного остова
- •2.4.1. Состояние равновесия
- •2.4.2. Возможные движения сахарофосфатного остова
- •2.5. Конформационные переходы
- •2.6. Движения, связанные с локальным разделением нитей
- •2.6.1. Раскрытие пар оснований вследствие вращения оснований
- •2.7. Моделирование динамики ДНК
- •2.7.2. Иерархия динамических моделей
- •2.8. Экспериментальные методы изучения динамики ДНК
- •2.8Д. Раман-спектроскопия
- •2.8.2. Рассеяние нейтронов
- •2.8.3. Инфракрасная спектроскопия
- •2.8.4. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •2.8.5. Микроволновое поглощение
- •2.8.7. Эксперименты по переносу заряда
- •2.8.8. Эксперименты с отдельными молекулами
- •Функционирование ДНК
- •3.1. Физические аспекты функционирования ДНК
- •3.2. Интеркаляция
- •3.3. Белок-нуклеиновое узнавание
- •3.4. Экспрессия генома
- •3.5. Регуляция генной экспрессии
- •3.6. Репликация
- •Линейная теория ДНК
- •4.1. Основные математические модели
- •4.1.1. Линейная модель упругого стержня
- •4.1.1.1. Продольные и крутильные движения: дискретный случай
- •4.1.1.3. Изгибные движения
- •4.1.2. Линейная модель двойного упругого стержня
- •4.1.2.1. Дискретный случай
- •4Л.2.2. Непрерывный случай
- •4.1.3. Линейные модели более высоких уровней иерархии
- •4.1.3.1. Модели третьего уровня
- •4.1.3.2. Модели четвертого уровня (решеточные модели)
- •4.2. Статистика линейных возбуждений
- •4.2.1. Фононы в модели упругого стержня
- •4.2.1.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.1.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.1.3. Корреляционные функции
- •4.2.2. Фононы в модели двойного стержня
- •4.2.2.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.2.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.2.3. Корреляционные функции
- •4.2.3. Фононы в моделях более высокого уровня
- •4.3. Задача рассеяния
- •4.3.1. Рассеяние на «замороженной» ДНК
- •4.3.2. Упругое рассеяние
- •4.3.3. Неупругое рассеяние
- •4,4. Линейная теория и эксперимент
- •4.4.1. Флуоресцентная деполяризация
- •Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели
- •5.1. Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения
- •5.2. Нелинейные модели упругого стержня
- •5.2.1. Модель Муто
- •5.2.2. Модель Христиансена
- •5.2.3. Модель Ичикавы
- •5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня
- •5.3.1. Общий случай: гамильтониан
- •5.3.2. Общий случай: динамические уравнения
- •5.3.ЗЛ. Дискретный случай
- •5.3.3.3. Линейное приближение
- •5.3.3.4. Первый интеграл
- •5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона
- •5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана
- •5.3.4. Модель Пейарда и Бишопа
- •5.3.6. Модель Барби
- •5.3.7. Модель Кампы
- •5.4. Нелинейные модели более высоких уровней иерархии
- •5.4.1. Модель Крумхансла и Алекзандер
- •5.4.2. Модель Волкова
- •Нелинейная теория ДНК: неидеальные модели
- •6.1. Модели, учитывающие влияние окружающей среды
- •6.1.2. Частные примеры
- •6.1.3. ДНК и термостат
- •6.2. Модели, учитывающие неоднородность ДНК
- •6.2.1. Граница
- •6.2.2. Локальная область
- •6.2.3. Последовательность оснований
- •6.3. Модели, учитывающие спиральность ДНК
- •6.4. Модели, учитывающие асимметрию ДНК
- •Нелинейная теория ДНК: статистика нелинейных возмущений
- •7.1. ПБД-подход
- •7.2. Приближение идеального газа
- •7.3. Задача рассеяния и нелинейные математические модели
- •7.3.1. Динамический фактор для простой модели синус-Гордона
- •7.3.2. Динамический фактор для спиральной модели синус-Гордона
- •Экспериментальные исследования нелинейных свойств ДНК
- •8.1. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •8.2. Резонансное микроволновое поглощение
- •8.3. Рассеяние нейтронов и света
- •8.3.2. Интерпретация Баверстока и Кундалла
- •8.4. Флуоресцентная деполяризация
- •9.1. Нелинейный механизм конформационных переходов
- •9.2. Нелинейные конформационные волны и эффекты дальнодействия
- •9.3. Нелинейные механизмы регуляции транскрипции
- •9.4. Направление процесса транскрипции
- •9.5. Нелинейная модель денатурации ДНК
- •Математическое описание крутильных и изгибных движений
- •Литература
- •Предметный указатель
5.3.4. Модель Пейарда и Бишопа
В противоположность У-модели, в модели Пейарда и Бишопа [34, 262] предполагается, что основной вклад в процесс раскрытия пар осно ваний (или локального плавления двойной спирали) дают растяжения водородных связей. Поэтому вместо вращательных движений основа ний эта модель включает другие внутренние движения, а именно сме щения (yi7n и ?/2,п) оснований вдоль направления водородных связей, со единяющих основания внутри пар. Потенциал V для водородных связей моделируется потенциалом Морзе. Предполагается также гармоническое взаимодействие из-за стэкинга между соседними парами оснований. Та ким образом, гамильтониан модели равен
Я = У |
{ т (^1,п + у%,п) /2 + к [(ш,п - 2/1,n - i)2 + |
(2/2,П ~ 2/2,n -i)2] / 2+ |
||
П |
|
|
||
+ |
V (У1|П |
2/2,п) }, |
|
|
где |
|
|
(5.94) |
|
V (2/1,п - 2/2,n) = D {exp [-А (2/1,п - 2/2,n)] - I}2 |
||||
|
||||
Как и в предыдущей модели, Пейард и Бишоп пренебрегли неод |
||||
нородностями |
из-за наличия последовательности |
оснований, а также |
асимметрией двух цепочек. Поэтому и массы оснований, га, и констан ты взаимодействия, к, вдоль цепочек предполагались одинаковыми. По тенциал Морзе, V (2/1,n —2 / 2 , n - i ) >представлял собой некий усредненный потенциал, имитирующий две или три связи которые соединяют основа ния внутри пар.
Движения в двух цепочках более удобно описывать в переменных
З 'Ц п |
— (2 /1,п Т - /2/2,п2 ^) |
Я2,п = |
(5.95) |
(2/1,п “ 2/2,п) /2 1/2, |
которые имитируют движения в фазе и в противофазе соответственно, причем смещения в противофазе (#2,п) растягивают водородные связи.
Гамильтониан (5.94), записанный в новых переменных, принимает
следующий вид |
|
Н = Н ( х 1) + Н (х2), |
(5.96) |
где |
|
Я (*0 = ^ 2 { ™ 4 п/2 + к (x1>n - Xi.n-O2 / 2} ; |
(5.97) |
н (х2) = ^ 2 {m i2,n/2 + к (х2,п - |
^ 2,n -l)2 /2 + |
(5.98) |
п |
|
|
+ D |ехр ( -А 2 1/2х2,„) - |
l] }. |
|
Динамические уравнения, соответствующие этому гамильтониану, мож но записать в виде
md2xiin/dt2 - |
к (xi,n+i + xi,n_i - |
2xltn) = 0; |
(5.99) |
md2X2in/dt2 - |
к (х2|П+1 + ®2,n-i ~ 2x2,n) - |
(5.100) |
|
—2г/2DA | exp |
exp [~2l^ A x 2,n) - |
l] } = 0. |
Первое из этих уравнений описывает обычные линейные волны (фоно ны), второе уравнение описывает нелинейные волны (бризеры). В кон тинуальном пределе уравнение (5.100) можно записать как
md2x/dt2 —ka2d2x/dz2+ 2DA*x —3DA*x2 + (7/3) DA4x3 = 0, (5.101)
где a — расстояние между двумя соседними парами; А = А(2)1/2 Ре шение этого уравнения было получено в работе [271] при помощи мультимасштабного разложения
х = 6 [F\ (Z, X) exp (iwt) -f- с.c] -f-в2 [Fo (ZyX) -|- F2 (Z, X) exp {2iwFj -Г с.с], (5.102)
где Z = tz\ X = et; функции Fo и F2 выражаются в терминах F\ как Fo = 3A |F i|2 и F2 = - A F 2/ 2, а функция Fi является решением нели нейного уравнения Шредингера
idFi/ds + (4 /2 W ) d2Fi/dZ 2 + 2wA2 |F i|2 Fi = 0,
где s = et\ c§ = ka2/m и w = 2DA /m.
Уравнение (5.102) имеет солитонные решения, которые могут интер претироваться как локальные возмущения, движущиеся вдоль молекулы ДНК.
5.3.5. Модель двойного стержня Муто
Чтобы исследовать процесс денатурации ДНК, Муто и соавто ры [32] предложили простую модель, состоящую из двух полинуклеотидных цепочек, связанных между собой водородными связями. Как
ив предыдущих случаях, чтобы упростить расчеты, авторы пренебрегли спиральной структурой молекулы, и вместо двойной спирали рассмот рели две выпрямленные цепочки, причем каждая состояла из системы масс и пружинок (рис. 5.11). Каждая масса представляла одно основа ние. Продольные пружинки, соединяющие массы в той же самой цепоч ке, имитировали потенциал Ван-дер-Ваальса между соседними парами оснований. Поперечные пружинки имитировали водородные связи, со единяющие основания внутри пар. Предполагалось, что ДНК однородна,
ипоэтому каждая частица имела одну и ту же массу т.
Рис. 5.11. Схематический чертеж модели Муто. Две одинаковые ангармониче ские цепочки Тода связаны при помощи потенциала Леннарда-Джонса, пред ставляющего Я-связи между двумя нитями
Для каждой пары оснований такая модель включает четыре степе ни свободы, гх!,п, у\,п и п2,п, У2,п> для двух цепочек соответственно. Переменные ui}Tl = и\,п (t ) и iz2,n = ^ 2,n № обозначают продольные
смещения, т. е. смещения оснований вдоль фосфодиэфирного мостика, соединяющего основания в той же самой цепи (га = 1 , 2 , . . N). Пере менные 2/1>n = 2/i,n М и 2/2,п = 2/2,п (0 означают поперечные смещения оснований, т. е. смещения оснований вдоль направления водородных свя зей, соединяющих основания внутри пар (га = 1 ,2 ,..., N).
Потенциал Тода, моделирующий фосфодиэфирный мостик, имеет
вид |
|
V (гп) = (А/В)ехр( - Вгп) + Агп, |
(5.103) |
где гп обозначает относительные смещения, а А и В — положитель ные параметры. Таким образом, ангармонические потенциалы для пер вой и второй цепочки даются выражением
Vi (А*|П - |
сч) = A/Bexp [-В (Ai>n - |
(ц)]+А (Ai)n - di) ; г = 1 ,2 . |
(5.104) |
||
Здесь |
величина А*|П |
обозначает расстояние между га-м и (га + 1)-м |
|||
основанием г-й цепочки, и она определяется формулой |
|
||||
|
А г,п~ |
Г |
2 |
21 1/2 |
(5.105) |
|
|(^г'Т'^г,п+1—^г,п) "Ь (2/г,п+1—Уг,п) |
||||
Потенциал |
Леннарда-Джонса, |
моделирующий водородные |
связи |
||
в модели Муто, задается выражением |
|
||||
В (rn-dt+dh) =4е {[а/ (rn - d t - 4 ) ] 12 - [(rn- d t - d fc)]6} , |
(5.106) |
где б и сг — параметры; тп —dt —dh — длина водородной связи между основаниями в га-й паре; тп обозначает расстояние между двумя основа ниями двух цепочек
TVi (dt + 2/2,n —2/l,n)2 + {U2,n “ ^l,n)2 |
(5.107) |
Кроме того, dt представляет собой равновесное расстояние между осно ваниями в паре, и оно равно диаметру спирали (dt = 20A); dh равно равновесной длине водородной связи.
Гамильтониан модели Муто определяется тогда формулой
N |
2 |
|
|
| м |
(га*>п) 2 / 2 + М (2/г,п)2 / 2 + |
п —1г=1 |
(5.108) |
Н "(^г,п |
&г) ~Г (тп dt ~Ь |
} |