Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
книги / Нелинейная физика ДНК..pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
16.39 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

В работах Комарова, Фишера и Пекоры [287,288], посвященных это­ му вопросу, была получена формула, определяющая спектральную плот­ ность рассеянного света I(x,w')

I (x,w') = (/0aV sin 7 /2 7 rcV 2) 2 2 2 2 { ехр [_а: (R n - д п')]

П п ' ^

+ ° °

хJ ейехр(ш/t)(ехр(жtin(t)),ехр(жiLn'(0))) j,

(7.42) где а — поляризуемость оснований; w' — разница частот падающего и рассеянного света; с — скорость света; р — расстояние между рассеи­ вающей системой и точкой наблюдения; угол 7 и интенсивность падаю­ щего света /о определяются формулами

cosj = (Eop/Eop)\ IO = с \ Е 0 \2 /2тг,

(7.43)

где Ео — вектор амплитуды волны падающего света; остальные обо­ значения имеют тот же смысл, что и обозначения в формулах (4.106), (4.107). Сравнивая (7.43) и (4.107), находим

=

(Ioa2w/4HNsin27/ с4р2) S coh (ж,w '),

(7.44)

где S coh определяется

в общем случае формулой (4.107),

в одно­

фононном приближении — формулой (4.121) и, наконец, в случае модели синус-Гордона — формулой (7.40) или (7.41).

7.3.2. Динамический фактор для спиральной модели синус-Гордона

Давайте посмотрим, как изменятся результаты, полученные в пре­ дыдущем разделе, если учесть спиральный характер структуры ДНК. Вместо простой модели синус-Гордона, состоящей из выпрямленной го­ ризонтальной цепочки маятников, осциллирующих в гравитационном по­ ле (см. рис. 7.2 а), мы должны рассмотреть теперь нечто, похожее на цепочку маятников, свернутую вокруг оси таким образом, чтобы обра­ зовать спираль (рис. 7.2 Ь). В спиральной модели точки подвеса маятни­ ков расположены на спирали, а нити маятников направлены к оси. Та­ ким образом, в равновесном состоянии соседние маятники оказываются

 

У

 

а

. . . а . . . . . . .

~ ~ V *

 

ИГ

z

х Ъ

Рис. 7.2. «Механические» модели ДНК: (а) линейная модель и (Ь) спиральная модель

повернутыми друг относительно друга на угол ср0 = 36°, и направле­ ние «гравитационного» поля, индуцированного второй цепочкой, также будет изменяться при переходе от одного маятника к другому на угол

<о = 36° Для простоты пренебрежем изменениями, вызванными учетом спи-

ральности, как в гамильтониане, так и в отвечающих ему динамических уравнениях. Тогда в расчетах динамического фактора нейтронного рас­ сеяния можно использовать решение в виде кинка (7.32). Учтем, однако, что векторы R n,R®,Vm> фигурирующие в формулах (4.121) или (7.31), существенно изменятся. Действительно, эти векторы будут определять­ ся теперь следующими формулами

R°n = {(Д - ОО') cos (2тгп/10); - (Д - ОО') sin (2тт/10); nl} ;

(7.45)

Rn = {(Rcos(pn —О О ')cos(27га/10) + Rsmy>n sin(27ra/10);

- (Rcos ipn — OO') sin (27га/10) + Rsirupn cos (27га/10); nl}]

Un = Rn —R„ = { R cos(27ra/10) (coscpn —1) -f Rsin(27rn/10)sirupn—

—R sin (27га/10) (cos <pn —1) + Я cos (27ra/10)sin^>n;0},

где OOf — радиус спирали. Подставляя компоненты векторов (7.45) в (7.31) и следуя шаг за шагом схеме расчетов, описанной в преды­ дущем разделе, мы найдем окончательную формулу для динамического фактора неупругого когерентного рассеяния

Scoh (* ,« /) = {l2ad(E0/2kBT )1/2 /ПСоХгКг {E0/k BT)} exp(-2W x) х х exp ( - E 0/k BT) (xl + x2y) x

x {F+ (x2 - 2TT/10a) + F_ (x2 - 2тг/10а)} , (7.46)

где использованы следующие обозначения

F± (О =

(! -

W'2/Cfe2)] / sh [*<%(1 ~ ™/2/СЗД /2] ±

± [тгс^ (1 -

w^/Cfe2)] /ch [тгс£ (1 - w'2/ C l f ) /2]}х

 

 

(7.47)

x (1 /0 (1 - « ; ,2/C 2e2) _1/2x

x exp

\ - E 0/kBT ) ( l / Z ) ( l - w f2/C U 2) - 1/21

Для области низких температур и для малых скоростей форму­ ла (7.46) преобразуется к виду

Scoh (ж, wf) = {l2adEo/hCoTTkBT} exp (-2W X) {x2 + x2) x

(7.48)

x {/+ (xz + 27Г/10a) + /_ (xz - 27r/10a)},

где

f± (0 = W sh (Trdg/2) ± тгсге/ ch (Trde/2)] (1 /0 x

(7.49)

xexp(-Eo//c£71)exp (-Mow'2/2кв Т£2)

7.3.3.Динамический фактор для Y -модели

У-модель была описана детально в разделе 5.3. Она состоит из двух параллельных цепочек маятников, взаимодействующих друг с другом при помощи продольных и поперечных пружинок (рис. 4.5)* Маятники играют роль оснований в цепях ДНК, продольные пружинки имитируют

сахарофосфатный остов

а поперечные пружинки имитируют водород­

ные взаимодействия оснований внутри пар.

 

Модель, показанная

на рис. 4.5, похожа на одномерную решетку

с двумя маятниками в ячейке. Вектор такой решетки,

равен

 

К = па,

(7.50)

где а = {0;0;а}. Равновесные положения двух маятников (точнее, масс маятников) внутри ячейки определяются векторами

d\

= {0; /; 0}, ^

= {0; Ь - 0 } ,

(7.51)

где b — расстояние между цепями; I — длина маятников.

 

Радиус-вектор,

j -го маятника (точнее, массы маятника) в п-й

ячейке дается теперь выражением

 

 

 

R°nJ = R°n + d3

(j = 1,2).

(7.52)

Учитывая то, что каждый маятник совершает вращательные движе­ ния только в плоскости х у , можно записать возможные смещения масс маятников как

R n , 1 (t)

-

R ° , i

= « м {t) =

{ - /( 1 -co sv ?n,i) ;/sinv?n,i; 0};

■Rn,2 CO

 

0

= «П.2 (t ) =

(7.53)

-

-R„ , 2

{/(1 -cosy>n,2) ;Zsiny>n,2;0},

где <pnj — угловое смещение массы n -го маятника j-й цепи.

Чтобы вычислить динамический фактор неупругого нейтронного рассеяния, мы должны подставить теперь (7.53) в формулу (4.121). Кор­ реляционная функция, которая является частью формулы (4.121), примет

тогда следующий вид

 

 

 

{xUnji 'E'Un'j') — X x l ((1 COScpnj (0)) , (1

COS (pnfjf

(£)))

-

X x X y l 2 ((1 - COS ( P n , j (0)) ,sin ipn'j'

(t)) -

-

X y X x l 2 (sin (fn j (0) , (1 -

COS (Pn',j')) +

+

x yl2 (sin <pntj (0), sin

(t))

 

Благодаря этому обстоятельству мы можем переписать динамический фактор (4.121) в следующем виде

(* Х ) = s it (*,«/) -

s it (* .«О ~ sl t (* .«0 + scy°t (*,« /),

 

 

 

 

(7.55)

где

 

 

 

 

S ‘°h (ж, w') = [exp (—2 W X) / 4тгUN] x

(7.56)

xE E E E exp Нж(дпл--Кп',3')] x

n

n f

J

J r

 

+oo

 

 

 

 

J dt [exp { -iw 't)\ x xl2 ((1 - co sifn j (0)), (1 -

cos yv,,-/ (t) ) ) ;

-OO

 

 

 

 

c,w') = [exp (—2W x ) /k'KhN] x

(7.E

xE E E E exp [-** (дпlfc- R*,?)}0 x

n

n'

j

j '

 

+oo

x J dt [exp ( - iw 't )] x xx yl2 ((1 — cosy>nij (0)), ( s in y v j/ (t )));

S£°h (х, «/) = [exp ( - 2 Wx) /AirhN] x

(7.58)

x Z Z Z Z exPH3(fin,fc - л</)] x

n n' 3 3'

+oo

 

x J" dt [exp (-iw't)} xyxxl2 ((sin <pnj (0)), (1 - cos

(*)));

— OO

S cyf {x, w ) = [exp (—2Wx) /4TThN] x

x Z

Z

Z

Z exP [~ ix (R °,k ~

x

n

n'

J

jf

 

+oo

x J dt [exp (-tio'i)] x2/2x x ((sintpn,j (0)), (sinipn',j' (<)))

Теперь перейдем к континуальному приближению

а—►0; 7V—►оо; па —>0;

fnj (t) = <з (теа>*) -*• v’j (*> *);

£

- (!/« )

+/

9 ° dz

-п

 

^

 

(7.59)

(7.60)

и перепишем компоненты динамического фактора в этом приближении

S£°h (x,u/) =

[exp (—2WX) х2/2/ 47г/гЛГа2] х

(7.61)

+оо

-foo

+оо

 

х J dt J

dz f

dz' Y Z exp H*(л?(*) - л°'(*'))] texp(—iw't)] х

—сю

—оо

—оо

^

 

х ((1—cosipj (г, 0)), (1—coscpf (z\t))) =

 

=2 [exp (—2Wx) o:^ 2 (H -cosxy/i) / 7гЛЛГа2] x

 

 

+oo

+oo

-f-OO

 

x

J dt J

dz J dz'{exp [— (г —z')] exp (—W t) x

 

 

— o o

— OO

 

— OO

 

x (sech2 [(7/d) (z - z0)}, sech2 \in/d) (z - z0 - xf)])};

S ‘f ( x , w ' )

= [exp(-2Wx) x xxyl2/4nhNa2] х

 

(7.62)

 

+оо

+оо

 

+оо

 

 

 

 

х J dt J dz

J

dz'^ ] ^ ] exp [—ix (R !• (z) —R®, (z'))]

[exp(- iw't)] x

—oo

—oo

—OO

3

 

 

 

 

x ((1—cos (fj (z, 0)), (sin <pj<(z',t))) =

 

 

 

— — 2i [exp (—2Wx) xxxyl2sinXyh/nhNa2] x

 

 

 

4-oo

4-oo

4-oo

 

 

 

 

x

J dt J

dz J dz'{exp [—ixz (z — z')] exp (—iw't) x

 

 

—oo

—oo

—oo

 

 

 

 

x (sech2 [(7/d) (z - го)], sh [(j/d) (z1- го -

1>£)] x

 

 

x sech2 [(7/d) (z - z o

- v<)])};

 

 

Sy°h (x,w') = [exp (—2Wx) xyxxl2/4nfiNa2] x

 

(7.63)

 

+00

-foo

 

4-00

 

 

 

x

J dt J

dz

J

tfe/y ^ y ^ exp \—ix (Д° (г) -

R°, (г'))]

[exp(- iw't)] x

 

—00

—00

—00

э

i*

 

 

 

x ((sintpj (z,0)), (1 -

cos<pf (z \ t ))) =

 

 

 

=2i [exp (—2WX) xxxyl2 sinxyh/ irkNa2] x

 

 

 

 

4-00

4-00

4-00

 

 

 

 

x

J dt J

dz J dz'{exp [—ixz (z — z')] exp (—iw't) x

 

-00

—00

—00

 

 

 

 

x (sh [(7/d) (z - го)] sech2 [(7/d) (z - г0)],

 

 

 

 

sech2 [(7 /d ) (z —ZQ —vt)])};

 

 

Sy°h (*,«>') =

[exp (-2Wx)x yl2! 4 v h N a 2] x

 

(7.64)

УУ

 

 

 

 

 

 

 

 

4-00

4-00

4-00

 

 

 

*

/ л

/

dz

J

dz Y l ’Y j exp [-** {Rj (z) -

R f (г'))]

[exp(- •iw't)] x

 

—00

—00

—00

i

 

 

 

 

x ((sin <pj (z, 0)), (sin <pr (z\ t))) =

 

 

 

=2 [exp (—2Wx)Xyl2(1- cosxyh) /irhNa2] x

 

 

 

4-OO

4-00

4-00

 

 

 

x J dt J dz J dz'{exp[—ixz (z - z')\ exp (—iw't) x

х (sh [(7/<£) (z - го)] sech2 [(7/d) (z - г0)],

sh [(7/d) (z - zo - i>f)] sech2 [(7/d) (z - zo - vt)])}.

Чтобы вычислить корреляционные функции (. .), давайте снова вос­

пользуемся приближением идеального газа

 

(...) = Л 7(...)!

(7.65)

Здесь N s — среднее число солитонов

 

Ж = (2aN/d) (E0/2nkBT f 2exp (~Е0/к в Т ) ,

(7.66)

а (...)! означает усреднение по состояниям одного отдельного солитона

+ 0 0 +L

/

ф * / dz0(...) exp [-Е0/кв Т]

—оо

—L

(7.67)

(•••)! =

+ 0 0

+ L

 

J

dpz J dz0exp [-EQJ/ кв Т]

 

—со

—L

 

 

 

+ 0 0

+ L

= {CQ/[2E0N a K l {Eo/kBT))} J

dPz J dz0(...) exp \ - E 0/kBT \ ,

 

 

—co

—L

где K\ — функция Макдональда.

Если вставить (7.65)-(7.67) в формулы (7.61)—(7.64), получим

SVx (x ,w>) = e x p (- 2Wx) х

 

(7.68)

х

[х2/2(1 + cosxyh) CoNs/^hN2a3EoKi(Eo/kBT)] x

 

+oo

+oo

+co

-f-oo

4-L

x

I

dt I

dzI

dz' f dpz Idzo{exp[[—ix z (z —z)\ x

 

—oo

—oo

—oo

—oo

—L

x exp ( - iw't) exp{—Eo'y/kBT) sech2 [(7/d) (z —го)] x x sech2 [(7/d) (г' —го —ft)]} =

-foo

-fсо

4-00

4-00

4-L

х exp (—iw't) ехр(—Ео^/квТ) sech2 [7 (z —Z Q ) /d]x

 

 

x sech2 [7 (z' —ZQ -

)]} =

B I (x ),

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В = exp(-2W *) \2X212C0X

(1 + exyh) /тгНИа2<1(2тгквТЕо)1/2 x

 

x K ^ E o / k s T ^ e x p i - E o / k s T ) ;

 

(7.69)

 

+oo

4-00

 

-f-oo

4-00

4-L

 

 

(x2) = J

dt J dz

J

dz' J

dpz J dzo exp [—ixz (z —z')\ exp (—iw't) x

 

—oo

—oo

—oo

—oo

 

—L

 

 

x

exp (-Ео/квТ) {sech2 [7 ( z

- Z Q ) / d j sech2 [7 ( z ' — ZQ — x rt)]}

(7.70)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если учесть теперь, что

 

 

 

 

 

4-оо

 

 

 

 

 

 

 

(d/7) exp(-ixzz0) (ndxz/^f)

J

 

 

 

 

 

 

 

 

dz exp (—ixzz) sech [7 (z —Z Q ) /d\ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh ('Kdxz/ 2r4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7.71)

 

 

4-00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

dz' exp (—ix zz') sech2 [7 (z' — ZQ —vt) /d\=

(7.72)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(d /7 ) exp \-ix z (го + vt)] (7rdxz/^y)

 

 

 

 

 

 

 

 

sh(ndxz/2/y)

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-00

4-oo

4~L

 

 

I ( x z) = ( d / j f

/

dt J dpz j

dzo exp (—iw't) exp (ixzvt) x

(7.73)

 

 

 

 

—00

—00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x exp (-Ео'у/квТ) (7rdxz/ j )2 / sh2(Trdxz/2'y)

 

Давайте учтем также, что

 

 

 

 

 

 

+О0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

dt exp [—г (w1— xzv) f] =

(2-KX) 6{v — w'/xz)

(7.74)

 

+L

 

 

J dzo = Na.

(7.75)

 

- L

 

Тогда для величины I (xz) получим

 

 

-t-OO

 

I ( x z) = (27ГNad2/ x z) J dpz8(y —vJ/xz) 7 2x

 

 

x (тт<1хг/'у)2/ sh2(тгс1х/2'у)ехр(-Ео/квТ) =

 

 

+oo

 

=

{2^Nad2/ x z) J dvMj^S (v — w'/xz) 7~2x

(7.76)

 

—oo

 

 

x (ydxz/'y)2/ sh2(ndx/27) exp (—Ео/квТ) =

 

=

(2тгNad2M JQ/ XZ) [(ndxz/jo) /s h 2(7rdx2/ 270)] x

 

 

х е х р ( - ^ 7/Л вГ),

 

где мы использовали следующие соотношения

= M-U7 ;

dpz = d(Mv 7) = M^dv + Mvdj = M j 3dv.

(7.77)

Окончательный результат для компоненты 5£°ь(ж,г(/) будет иметь

вид

 

 

S£°h(®,w') =

(1 + cosxyh) (7rcixz/ 7o)2/ sh2 (irdxz/2'io),

(7.78)

где

 

 

Л = { ^ « ^ (^ /й г Л в ^ /Й С о о ® * ^ (ЯоДвТ)} х

 

х exp (~2WX) exp ( - E0/kBT ) exp ( - Е 0^о/кв Т ) ;

(7J 9)

70 = (l -

vl/Cl) 1/2 v0 = w'/xz.

 

Мы можем вычислить таким же способом и другие три компоненты- w')t S cy?(.x ,w'), S™h(x,w'). В результате получим

S‘°h (*,«/) = exp (-2W *)x

(7.80)

x [xxxyl2 (-i)CoNs sin(xyh) /7rhN2a3EoKi(Eo/kBT)\ x

4-оо

-f-oo

4-00

+оо

4-L

х J dt J dz J dz* J dpz J dzo{exp[[—ixz (z —z ')] x

—oo

—oo

—oo

—oo

—L

x exp (-iw't)exp(—Eo'y/kBT) sech2 [(7/d) (z —zo)] x

x sh [(7/d) (z' — ZQ —vt)] sech2 [(7/d) (z' — ZQ —«<)]} =

 

 

 

 

2

Axxxy {—isinxyh) (7rdxz/'yo)

[sh (Trdxz/2'yo) ch (-Kdxz/2^o)] ’

S ^ ( x , v / ) = e x p ( - 2 W a) x

 

(7.81)

x [xyxxl2 (+i)CoNa sin (xyh) /nhN 2a3E0K 1 (Ео/квТ)] x

-foo

+00

+00

+00

4-L

x J dt

J dz

J dz'

J dpz J cteo{exp[[—га;* {z —z')\ x

—00

—00

—00

—00

—L

x exp (—iw't) exp(—Ео'у/квТ) sh [(7/d) (z — zo)] x x sech2 [(7/d) (z —zo)\ sech2 [(7/d) (z' —zo —г;£)]} =

AxyXx ( - isinxyh) (7rdxz/jo)2 [sh (•ndxz/2^0) ch {'ndxz/2'yo)} ’

S™h (x,w')-= exp(—2Wx) x

 

(7.82)

x [x2/2(1 -

cosxyh) C07J^/nhN2a3EoKi (E0/kBT )] x

4-00 4-00 4-00

4-00

4-L

x J

dt J

dz J dz* J dpz J dzo{exp[[—ixz (z —z')] x

—00

—00

—00

—00

—L

x exp (-iw't) ехр(—Ео-у/квТ) sh [(7/d) (z - z0)] x

хsech2 [(7/d) (z —zo)] sh [(7/d) (z' —ZQ —vi)] x

xsech2 [(7/d) (z1—ZQ —v4)]} =

Axy (1 - cosxvh) (Tcdxz/'fo)2

[ch2 {irdxz/2'jo)\

И окончательная формула для когерентного неупругого рассеяния, кото­ рая определяется как сумма четырех компонент (см. (7.55)), будет иметь

192

 

Глава 7

 

следующий вид:

 

 

 

f 4/27 o d e x p ( - 2 ^ ) (Е0/2тгкв Т)1/2 \ ^

S'n°eh,(* V )

= '\

hCoaxzKi(Eo/kBT)

J

 

x exp ( - E0/kBT ) exp (—Ео'у/квТ) x

(7.83)

 

x { X 2(1 + cosxyh) —2X Y sinxyh + Y 2 (1 —cosxyh)} ,

где X = x x (•Kdxz/jo) /sh(irdxz/2'yo)', Y = xy {■ndxz/^o) / ch (Trdxz/2-yo)-

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности