- •Якушевич Л. В.
- •ISBN 978-5-93972-638-2
- •http://shop.rcd.ru
- •Оглавление
- •Структура ДНК
- •1.1. Химический состав и первичная структура
- •1.2• Пространственная геометрия и вторичная структура
- •1.3. Силы, стабилизирующие вторичную структуру ДНК
- •1.3.1. Водородные взаимодействия
- •1.3.2. Стэкинговые взаимодействия
- •1.3.3. Дальнодействующие силы внутри и снаружи сахарофосфатного остова
- •1.3.4. Электростатическое поле ДНК
- •1.4. Полиморфизм
- •1.5. Третичная структура
- •1.5.1. Суперспираль
- •1.5.2. Структурная организация в клетках
- •1.6. Моделирование структуры ДНК
- •1.6.1. Общие замечания
- •1.6.2. Иерархия структурных моделей
- •1.7. Экспериментальные методы исследования структуры ДНК
- •Динамика ДНК
- •2.1. Общая картина внутренней подвижности ДНК
- •2.2. Крутильные и изгибные движения
- •2.3. Динамика оснований
- •2.3.1. Состояние равновесия
- •2.3.2. Возможные движения оснований
- •2.4. Динамика сахарофосфатного остова
- •2.4.1. Состояние равновесия
- •2.4.2. Возможные движения сахарофосфатного остова
- •2.5. Конформационные переходы
- •2.6. Движения, связанные с локальным разделением нитей
- •2.6.1. Раскрытие пар оснований вследствие вращения оснований
- •2.7. Моделирование динамики ДНК
- •2.7.2. Иерархия динамических моделей
- •2.8. Экспериментальные методы изучения динамики ДНК
- •2.8Д. Раман-спектроскопия
- •2.8.2. Рассеяние нейтронов
- •2.8.3. Инфракрасная спектроскопия
- •2.8.4. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •2.8.5. Микроволновое поглощение
- •2.8.7. Эксперименты по переносу заряда
- •2.8.8. Эксперименты с отдельными молекулами
- •Функционирование ДНК
- •3.1. Физические аспекты функционирования ДНК
- •3.2. Интеркаляция
- •3.3. Белок-нуклеиновое узнавание
- •3.4. Экспрессия генома
- •3.5. Регуляция генной экспрессии
- •3.6. Репликация
- •Линейная теория ДНК
- •4.1. Основные математические модели
- •4.1.1. Линейная модель упругого стержня
- •4.1.1.1. Продольные и крутильные движения: дискретный случай
- •4.1.1.3. Изгибные движения
- •4.1.2. Линейная модель двойного упругого стержня
- •4.1.2.1. Дискретный случай
- •4Л.2.2. Непрерывный случай
- •4.1.3. Линейные модели более высоких уровней иерархии
- •4.1.3.1. Модели третьего уровня
- •4.1.3.2. Модели четвертого уровня (решеточные модели)
- •4.2. Статистика линейных возбуждений
- •4.2.1. Фононы в модели упругого стержня
- •4.2.1.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.1.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.1.3. Корреляционные функции
- •4.2.2. Фононы в модели двойного стержня
- •4.2.2.1. Общее решение модельных уравнений
- •4.2.2.2. Представление вторичного квантования
- •4.2.2.3. Корреляционные функции
- •4.2.3. Фононы в моделях более высокого уровня
- •4.3. Задача рассеяния
- •4.3.1. Рассеяние на «замороженной» ДНК
- •4.3.2. Упругое рассеяние
- •4.3.3. Неупругое рассеяние
- •4,4. Линейная теория и эксперимент
- •4.4.1. Флуоресцентная деполяризация
- •Нелинейная теория ДНК. Идеальные динамические модели
- •5.1. Нелинейное математическое моделирование: основные принципы и ограничения
- •5.2. Нелинейные модели упругого стержня
- •5.2.1. Модель Муто
- •5.2.2. Модель Христиансена
- •5.2.3. Модель Ичикавы
- •5.3. Нелинейные модели двойного упругого стержня
- •5.3.1. Общий случай: гамильтониан
- •5.3.2. Общий случай: динамические уравнения
- •5.3.ЗЛ. Дискретный случай
- •5.3.3.3. Линейное приближение
- •5.3.3.4. Первый интеграл
- •5.3.3.5. Решения в виде кинков, полученные методом Ньютона
- •5.3.3.6. Решения в виде кинков, найденные методом Херемана
- •5.3.4. Модель Пейарда и Бишопа
- •5.3.6. Модель Барби
- •5.3.7. Модель Кампы
- •5.4. Нелинейные модели более высоких уровней иерархии
- •5.4.1. Модель Крумхансла и Алекзандер
- •5.4.2. Модель Волкова
- •Нелинейная теория ДНК: неидеальные модели
- •6.1. Модели, учитывающие влияние окружающей среды
- •6.1.2. Частные примеры
- •6.1.3. ДНК и термостат
- •6.2. Модели, учитывающие неоднородность ДНК
- •6.2.1. Граница
- •6.2.2. Локальная область
- •6.2.3. Последовательность оснований
- •6.3. Модели, учитывающие спиральность ДНК
- •6.4. Модели, учитывающие асимметрию ДНК
- •Нелинейная теория ДНК: статистика нелинейных возмущений
- •7.1. ПБД-подход
- •7.2. Приближение идеального газа
- •7.3. Задача рассеяния и нелинейные математические модели
- •7.3.1. Динамический фактор для простой модели синус-Гордона
- •7.3.2. Динамический фактор для спиральной модели синус-Гордона
- •Экспериментальные исследования нелинейных свойств ДНК
- •8.1. Водородно-дейтериевый (-тритиевый) обмен
- •8.2. Резонансное микроволновое поглощение
- •8.3. Рассеяние нейтронов и света
- •8.3.2. Интерпретация Баверстока и Кундалла
- •8.4. Флуоресцентная деполяризация
- •9.1. Нелинейный механизм конформационных переходов
- •9.2. Нелинейные конформационные волны и эффекты дальнодействия
- •9.3. Нелинейные механизмы регуляции транскрипции
- •9.4. Направление процесса транскрипции
- •9.5. Нелинейная модель денатурации ДНК
- •Математическое описание крутильных и изгибных движений
- •Литература
- •Предметный указатель
Глава 7
Нелинейная теория ДНК: статистика нелинейных возмущений
Вдинамических моделях, описанных в предыдущей главе, пред полагалось, что в ДНК возбуждается только одно нелинейное возму щение (солитон). Таким образом, возможность возбуждения двух или более нелинейных возмущений, их столкновения и взаимодействие не рассматривались. Однако ДНК — довольно длинная молекула, и можно ожидать, что в ней одновременно могут возникнуть несколько нели нейных возмущений. В этом случае нам следует рассмотреть задачу об ансамбле солитонов и обсудить их статистику. Вопрос о статистике становится очень важным, когда мы попробуем дать интерпретацию экс периментальным данным по рассеянию (нейтронов или света) молекулой ДНК или данным по денатурации ДНК.
Вэтой главе мы рассмотрим кратко два подхода к решению за дачи о статистике солитонов в ДНК. Первый подход, основанный на
методе оператора переноса, был предложен Пейардом, Бишопом и Дауксоисом [34,283]. В дальнейшем мы будем называть этот подход ПБДподходом. Второй подход, основанный на приближении идеального газа, был предложен Федяниным и Якушевич [7,22].
7.1. ПБД-подход
Метод операторов переноса был разработан Крумханслом и Шриффером [284] для статистической механики поля 4 Пейард, Бишоп и Дауксоис [34,283] применили этот метод для описания статистической ме ханики солитонов в ДНК.
Чтобы проиллюстрировать их подход, возьмем за основу модель Пейарда и Бишопа, описанную в разделе 5.3.4. Гамильтониан этой мо дели состоит из двух независимых слагаемых
Слагаемое Н (х\) описывает гармоническую решетку по переменной х\
Н (xi) = ^ 2 {”iiii,n /2 + к (xi,„ - xi,n_ i)2/ 2} , |
(7.2) |
П |
|
а слагаемое Н (х 2) содержит нелинейные слагаемые по переменной Х2
H (x 2) = '^2 {m xl n/2+k(x2,n-X2,n-i)2/ 2} +D [exp ( -Л 2 1/ 2х2,„) - l ]
П
(7.3) Рассмотрим теперь статистическую механику подсистемы, описыва емой гамильтонианом Н (х2). Эта часть общего гамильтониана Н опи сывает внутренние движения, связанные с растяжениями водородных связей между основаниями внутри пар, и эти движения играют важ ную роль в процессе денатурации ДНК. Для простоты в дальнейших
расчетах мы опустим индекс 2.
Для цепочки, содержащей N ячеек с взаимодействием ближайших соседей и с периодическими граничными условиями, классическая ста тистическая сумма, представленная в терминах гамильтониана (7.3), мо жет быть записана как
где
; р = тх; (7.5)
(7.6)
i )2/2 + D exp ( -Л 2 1/2хп) - 1 |
П
(7.7)
Часть Zpi связанная с моментом, легко интегрируется и дает обычный кинетический фактор для N частиц
Zp = (2тгmkBT)N/2 |
(7.8) |
Потенциальную часть Zx можно вычислить точно в термодинамиче ском пределе (N —►оо), используя собственные значения и собственные функции оператора интеграла переноса [284-286]
I dxn—\ {exp [ V (xn,xn—i ) / kBTty Ф^ (xn_i) = {exp [ £{/kBTty Ф^ (xn) .
(7.9) Здесь Ф* — функции распределения для полевой амплитуды х, которая не только полезна для вычисления ZXy но также важна и для расчета ожидаемых значений различных величин. Результат вычислений равен
Zx = exp(-N £ 0kBT ) , |
(7.10) |
где £о — наименьшее собственное значение оператора. |
|
Тогда можно рассчитать свободную энергию F этой модели |
|
F = —kBT \n Z = — (NkBT/2)\n(27rmkBT) + Neo, |
(7.11) |
где теплоемкость Cv равна |
|
c v = - Г (d2F / d r 2) |
(7.12) |
И рассчитать, наконец, среднее растяжение (х) водородных связей, ко торое определяет степень денатурации молекулы ДНК. Оно может быть вычислено при помощи формулы
N
|
{<Ф« (*) |*| Ф* (*)> ехр l-Nei/квТ}} |
|
<*) = <*»> = |
Ц ------------------------------------------------ |
= |
|
£ {(Фг (*) |Ф» (*)> ехр [-Nsi/квТ]} |
(7ЛЗ) |
|
г = 1 |
|
= |
(Фо (х) |х| Фо (х)) = J Фо (х) х<£с, |
|
где учтено, что в пределе больших N этот результат будет домини рующим при наименьшем собственном значении £о> соответствующем нормированной собственной функции Фо(х). Схематическое изображе ние температурной зависимости вычисленного среднего растяжения во дородных связей (х) показано на рис. 7.1.
Этот результат был успешно использован для решения задачи о де натурации ДНК. Мы обсудим ее в главе 9.
10
/
/
&
о
200 300
Температура
Рис. 7.1. Схематическое изображение температурной зависимости среднего рас тяжения водородных связей в ДНК. Воспроизведено из ссылки [4] с разрешения авторов
7.2.Приближение идеального газа
Вэтом разделе мы опишем другой подход к проблеме статисти ки солитонов ДНК, который основывается на сходстве между основны ми динамическими свойствами солитонов и динамическими свойствами обычных классических частиц [7,22].
Для простоты предположим, что внутренняя динамика ДНК моде лируется уравнением синус-Гордона
<Pzz —фтт —sin |
(7.14) |
имеющим солитонные решения в виде кинка и антикинка |
|
ip (Z, Т) = 4 arctg jexp ± [(l —г;2) 1/2 (Z - vT - Z0)]} |
(7.15) |
Соответствующий гамильтониан имеет вид |
|
(7.16)
Подставляя (7.15) в (7.16), вычислим энергию солитона |
|
Es = 8 ( l - v 2)~1/2 |
(7.17) |
В «нерелятивистском» пределе, когда скорость солитона (v) мала, |
|
уравнение (7.17) принимает вид |
|
Ea = 8 ( l + v 2/2) |
(7.18) |
Этот результат можно интерпретировать как сумму кинетической энер
гии |
|
Т = 8 V 2/ 2 ; |
(7.19) |
и потенциальной энергии |
|
V = 8. |
(7.20) |
Тогда в этом приближении можно приписать массу то = 8 и скорость v нерелятивистскому солитону ДНК и рассматривать его как обыкно венную классическую материальную частицу. В релятивистском случае солитон уравнения синус-Гордона будет характеризоваться массой т =
= т о 7, импульсом р = S^yv и энергией Е3 = £?о7 -*Здесь то |
— масса |
покоя солитона (то = 8), Ео — энергия покоя солитона (Ео = |
8), 7 = |
- (l - v 2y lf2
Все эти данные подсказывают нам модель ансамбля солитонов в ви де обычной классической системы, состоящей из N3 взаимодействующих материальных частиц, которые имеют массы, импульсы и энергии соли тонов. Чтобы упростить задачу, можно сделать еще ряд предположений. Так, мы можем предположить, что число N3 невелико и ансамбль со литонов можно описать как «идеальный газ». Тогда для определения различных макроскопических характеристик системы можно воспользо ваться результатами классической статистической физики, полученными для модели идеального газа N3 материальных частиц.
Так, учитывая, что N3 не является фиксированным числом, можно записать большую статистическую сумму в виде
с»
S (T ,L ,M) = J 2 |
exp (Ara/ k BT ) Z N, = |
N a = О |
|
00 |
(7 21) |
= |
(l/Na\)[exp(ykBT )z0}N‘ = |
N , = |
0 |
= exp (exp (fi/kBT) z0} ,
где
ZQ = (1/27г) J dZ J dP ехр( - Е 3/кв Т) = (L/2n) J dPexp ( - E 3/k BT)
(7.22) С помощью E мы можем вычислить разнообразные равновесные ха рактеристики модельной системы, а именно термодинамический потен циал G, плотность солитонов п3у теплоемкость Св и другие. Для иллю
страции, давайте приведем здесь схему расчета плотности солитонов. Сначала вычислим величину ZQ
ZQ = (L /2?r) J dP exp ( - E3/kBT ) = (8L/TT) K X(8/kBT ), |
(7.23) |
где К i (ж) — функция МакДональда. Подставляя далее (7.18) |
в (7.21), |
мы найдем большую статистическую сумму |
|
Е = ехр [(ехр { ф в Т) (8L /тг) К г (8/кв Т))\. |
(7.24) |
Используем теперь формулы классической статистической физики, в со ответствии с которыми плотность частиц определяется уравнением
па = - L - 'd G d u |м=0, |
(7.25) |
|
где G — термодинамический потенциал. Последний, в свою очередь, |
||
определяется уравнением |
|
|
G = - k BT InE. |
(7.26) |
|
Подставляя (7.24) и (7.26) в (7.25), получим окончательно |
|
|
п3 = (8/ 7г) К\ {8/кв Т ) . |
(7.27) |
|
В случае «низких» температур (Т |
8/кв ) формула (7.27) примет более |
|
простой вид |
|
|
п3 “ 2 (кв т/тг)1/2 ехр ( - 8/кв Т ) . |
(7.28) |
|
Наконец, для вычисления корреляционных функций (...) мы также должны учесть, что (i) динамическое поведение солитонов ДНК очень похоже на поведение обычных материальных частиц и (п) число этих частиц мало. В этом случае мы снова можем использовать в качестве