книги / Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 4 Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок

3.11. Оптимальное проектирование дисков. Равнопрочный диск

Выше рассматривалась задача проверочного расчета диска на прочность. При проектировании дисков приходится решать обратную задачу, кото­ рая ставится следующим образом: какой должны быть форма, размеры и материал диска, чтобы он удовлетворял условиям прочности, конструктив­ ным и весовым ограничениям, а также многочис­ ленным технологическим, экономическим и дру­ гим соображениям. При проектировании дисков конструктор часто опирается на опыт, известные разработки. Затем проводится проверочный расчет критериев прочности, проверка других ограниче­ ний. В случае неудовлетворения какого-либо из критериев вносятся поправки в конструкцию. Это приводит к многократному повторению расчетов, требует значительных затрат времени и не всегда гарантирует действительно лучшее решение. В об­ щем виде задача проектирования дисков не реша­ ется и, наверное, не может быть даже строго сфор­ мулирована. В частности, не сформулированы достаточно общие критерии, по которым конструк­ цию диска можно считать оптимальной. Часто под оптимальным понимают диск, имеющий мини­ мальный вес при обеспечении условий прочности и других конструктивных и технологических ог­ раничений.

Рассмотрим один простейший пример поста­ новки задачи оптимизации диска: определение про­ филя равнопрочного диска без центрального отвер­ стия. В термин «равнопрочный» в данном случае вкладывается представление о том, что напряже­ ния в диске неизменны по радиусу. Равнопрочным такой диск можно называть только при отсутствии

/*

I

“Г

о

/г

Л

а

Рис. 3.24. Равнопрочный диск

3.11. Оптимальное проектирование дисков. Равнопрочный диск

неравномерности нагрева. Неравномерностью на­ грева будем пренебрегать. В центре диска без цен­ трального отверстия радиальные и окружные на­ пряжения равны, если при этом напряжения неизменны и по радиусу, то во всех сечениях вы­ полняется условие а г= аЛ(см. рис. 3.24). Для того, чтобы диск был полностью нагружен, это посто­ янное напряжение следует принять равным допу­ стимому напряжению одип.

(3.46)

Дифференциальное уравнение равновесия дис­ ка (3.46) при этом условии принимает вид:

Это уравнение можно решить относительно функции Ь(г) и таким образом найти искомый про­ филь диска. Задавая в качестве граничного усло­ вия толщину диска на некотором наружном ради­ усе b(Rc)=bc, получаем решение в виде:

Реальные конструкции дисков имеют обод для крепления лопаток. Очевидно, что для диска с обо­ дом и контурной нагрузкой условие (3.48) может быть выполнено только до обода, т.к. напряжения в ободной части определяются центробежной си­ лой лопаток и выступов диска и конструктивной шириной обода Ъъ.

Для определения толщины диска Ъс непосред­ ственно под ободом, воспользуемся тем, что ради­ альные напряжения в сечении диска со скачкооб­ разным изменением толщины обратно пропорцио­ нальны изменению толщины (3.17):

Профиль равнопрочного диска и распределение напряжений в нем показаны на рис.3.24.

Получить подобные соотношения для равно­ прочного диска с центральным отверстием не пред­ ставляется возможным, т.к. на внутреннем конту­ ре о Л=0, а с тпрактически вдвое больше, чем в сплошном диске. Иногда при проектировании дисков руководствуются таким правилом: опреде­ ляют толщину полотна для сплошного диска по за­ висимости (3.48), а затем массу центральной час­ ти, приходящейся на отверстие, используют для образования усиленной ступицы.

Спрофилированный в соответствии с изложен­ ной методикой диск на самом деле не будет равно­ прочным в силу принятых допущений: не учтена возможность неравномерного нагрева, изгиба дис­ ка, концентрации напряжений. Не учтена возмож­ ность изменения режима работы двигателя, слож­ ный циклический характер нагружения диска. Таким образом, рассмотренная методика профили­ рования равнопрочных дисков дает лишь весьма приближенный к оптимальному профиль, даже если ограничиться самым простым критерием оп­ тимизации - по массе.

Рассмотрим методологию оптимального проек­ тирования дисков в более общей постановке, при наличии температурного градиента по радиусу диска, трехмерного напряженного состояния и при условии удовлетворения конструктивных и других ограничений.Решение задачи оптимального проек­ тирования основано на математической постанов­ ке задачи, которая включает в себя целевую функ­ цию, параметры управления и ограничения, накладываемые на них.

В простейшем случае целевой функцией явля­ ется масса диска, которая должна быть минималь­ ной:

тд = р J 2 n b (г )d r —> min ^

Ra

Обычно наружный радиус Rb и ширина обода заданы из конструктивных соображений. Парамет­ рами управления целевой функцией, т.е. массой диска, являются толщины диска b (г) на радиусах нескольких расчетных сечений и внутренний ра­ диус диска Ra .

Ограничениями, накладываемыми на параметры управления, являются критерии статической проч­ ности и циклической долговечности. Эти ограниче­ ния могут быть записаны в следующем виде:

где [KJ , [Kb], [К^] - нормативные значения коэф­ фициентов запаса прочности по статическим на­ пряжениям, по разрушающей частоте вращения и по циклической долговечности.

Кроме прочностных ограничений в виде (3.51) - (3.53) обычно существуют конструктивные или технологические ограничения на размеры диска. Как правило, они определяются необходимостью разместить в определенном пространстве детали узла. Они могут формулироваться в виде равенств или неравенств. Вместе с целевой функцией и ог­

раничениями (3.51) - (3.53) они составляют мате­ матическую постановку задачи оптимального про­ ектирования диска. Задача оптимального (с точки зрения веса) проектирования формулируется так: определить толщины диска b на расчетных радиу­ сах, при которых диск имел бы наименьшую мас­ су и удовлетворял заданным прочностным, конст­ руктивным и технологическим ограничениям.

Обычно, оптимизация диска проводится для условий его работы на одном, наиболее нагружен­ ном режиме. В некоторых случаях таких режимов оказывается несколько. Например, максимальный взлетный режим может определять прочность сту­ пицы, а режим остановки двигателя - прочность обода диска, в котором возникают растягивающие температурные напряжения. В этом случае проце­ дура оптимизации значительно усложняется.

Исходными данными для оптимизации диска являются: частота вращения ротора, распределение температуры по радиусу, контурная нагрузка, дли­ тельность расчетного режима, внешний Rb, а иног­ да и внутренний Ra радиусы диска, прочностные характеристики материала.

Задаются исходным профилем меридионально­ го сечения диска и определяют массу этого исход­ ного диска тд°. Далее действуют в соответствии с выбранным алгоритмом поиска экстремального значения целевой функции (в нашем случае, ми­ нимальной массы диска). Один из существующих алгоритмов - метод формального поиска - наибо­ лее простой, но самый трудоемкий. Рассмотрим его для случая, когда внутренний радиус задан.

Диск разбивают на несколько сечений радиуса­ ми г. Начиная с внутреннего радиуса значение тол­ щины диска Ъ(г) пробуют уменьшить на величину

Напряжете от кгс/мм

Рис. 3.25. Пример весовой оптимизации профиля диска

турбины: 1 - исходный диск; 2 - оптимизирован­

ный диск

АЬ, проверяют выполнение конструктивных ограни­ чений и условий прочности (3.51) - (3.53). Если они выполняются, вычисляется масса диска тд\ значе­ ние которой меньше исходного, и в этом сечении принимается измененное значение толщины. Если ограничения не выполняются, толщину диска уве­ личивают на АЪи вычисляют массу тд] Затем тол­ щина диска изменяется на -АЬ, проверяются усло­ вия прочности и вычисляется масса и т.д. После первой итерации по всем расчетным сечениям най­ дено нужное направление изменения толщины: увеличение или уменьшение. Следующую итера­ цию по изменению толщины проводят по уже выб­ ранным направлениям и т.д. Процесс продолжает­ ся до тех пор, пока изменение толщины диска продолжает приводить к уменьшению массы при выполнении условий прочности.

Другие алгоритмы сложнее в понимании и реа­ лизации их в виде программы, но позволяют быст­ рее получить результат. Это метод наискорейшего спуска, метод «штрафных» функций и т.д. Проце­ дуры этих методов содержатся в библиотеках стан­ дартных программ.

На рис.3.25 показан пример оптимизации про­ филя диска турбины, в результате которой удалось снизить массу на 5%.

3.12. Расчет осесимметричного напряженно-деформированного состояния роторов методом конечных элементов

Одним из факторов, определяющих напряжен­ ное состояние дисков, является взаимодействие де­ талей в роторе. Усилия, действующие со стороны соседних деталей, могут приводить к изгибу дис­ ков. Возникающие при этом напряжения нельзя определить в рамках описанных выше расчетных схем растяжения диска в плоскости вращения.

Приведем два примера. Компрессор высокого давления двигателей семейства Д-30 и ПС-90А

имеет ротор барабанно-дискового типа (см. рис. 3.26). Плотность стыков торцевых поверхно­ стей ступиц обеспечивается монтажной затяжкой ротора со значительным осевым усилием. Дефор­ мация изгиба дисков из плоскости вращения обус­ ловлена этим усилием и разницей температур меж­ ду ободом и ступицей при нагреве ротора.

В качестве второго примера рассмотрим конст­ рукцию ротора турбины высокого давления дви­ гателя ПС-90А (см. рис. 3.27). С целью снижения температуры основных дисков и организации ох­ лаждения рабочих лопаток к дискам крепятся так называемые покрывные диски (дефлекторы). Они имеют более высокую температуру по сравнению с основными дисками. В результате этого возни­ кает дополнительное радиальное усилие на диск в зоне крепления дефлектора, стремящееся изог­ нуть диск.

Учет подобных эффектов невозможен в плос­ кой постановке задачи, необходимо исследовать осесимметричное напряженно-деформированное состояние роторов. В оссесимметричной постанов­ ке удается учесть особенности геометрии попереч­ ного сечения дисков (за исключением объемных концентраторов) и взаимодействие деталей. В ка­ честве расчетного метода используется метод ко­ нечных элементов (МКЭ).

Теоретические основы МКЭ были рассмотрены в разд. 1.22 на примере плоского напряженного со­ стояния. Основные положения методики справед­ ливы и для рассматриваемого случая. Отличие со­ стоит в форме используемых конечных элементов

ирасчетных соотношениях для элементов.

Вгеометрическую модель ротора включаются детали, представляющие собой тела вращения: дис­ ки, лабиринты, промежуточные диски, кольца, деф­ лекторы дисков, втулки, проставки, вал и т.д. Рабо­ чие лопатки в геометрическую модель не включа­ ются. Реальная трехмерная геометрия деталей упрощается, форма деталей приводится к оссесим­ метричной с сохранением распределения масс. На-