книги / Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 4 Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок

Глава 5, Динамика роторов. Вибрация ГТД

На диск действует сила упругости вала Руи цен­ тробежная сила Р массы диска; другими силами пренебрегаем. Сила упругости, приложенная в точ­ ке 0 ]9 пропорциональна прогибу вала у в точке крепления диска и направлена противоположно прогибу. Используем коэффициент упругой подат­ ливости вала а, который определяется как прогиб вала в точке крепления диска под действием еди­ ничной силы, приложенной в этой точке. Коэффи­ циент а рассчитывается методами сопротивления материалов. Иногда используется обратный ему ко­ эффициент жесткости с= 1/а, определяемый как сила, приложенная в точке крепления диска, необ­ ходимая для создания единичного прогиба в этой точке. В частности, в случае, когда диск располо­ жен посередине между опорами вала постоянного сечения: ос = P/4SEJ, где Е - модуль упругости ма­ териала, У- момент инерции поперечного сечения вала. Используя податливость, силу упругости можно записать как Ру = -у /а .

Центробежная сила пропорциональна радиусу окружности у+е, по которой движется центр масс, и определяется как Р = rrutriy+e). Равновесие этих сил при постоянной частоте вращения дает урав­ нение:

т а

- было обнаружено явление самоцентрирования ротора на закритических режимах работы. Из рис. 5.2, а видно, что при прохождении критичес­ кой частоты вращения знак прогиба у меняется на отрицательный. Это означает, что направление про­ гиба и эксцентриситета становятся противополож­ ными, центр масс 0 Qперемещается и становится между геометрическим центром О, и осью враще­ ния О (см. рис. 5.2, б). При дальнейшем увеличе­ нии частоты вращения прогиб вала приближается по абсолютной величине к эксцентриситету, т.е. центр масс стремится к оси вращения. Это и назы­ вается самоцентрированием.

Следует отметить, что рассматриваемая про­ стейшая модель не объясняет поведения ротора на критическом режиме: неопределенное значение прогиба и переход центра масс к оси вращения. Эти эффекты рассмотрены в следующем параграфе.

По мере возрастания удельной мощности ма­ шин повышались и рабочие частоты вращения ро­ торов. Проектирование «жестких» роторов, рабо­ тающих при частотах вращения ниже критических, становилось все более проблематичным, а иног­ да - невозможным. Это стимулировало исследова­ ния возможности работы роторов на режимах, пре­ вышающих критическую частоту вращения. Такие роторы в отличие от «жестких» называют «гибки-

Зависимость прогиба от частоты вращения ро­ тора со показана на рис. 5.2. С возрастанием со про­ гиб вала постепенно увеличивается. Критический режим, выражающийся в значительном увеличе­ нии прогиба вала, наступает при равенстве нулю знаменателя в (5.2); это происходит при частоте вращения:

Анализ рассмотренной простейший модели по­ зволил в свое время понять основные закономер­ ности динамики роторов:

-возникло понимание того, что движение ро­ тора на критической частоте вращения обусловлено неуравновешенностью ротора и связано со значи­ тельным изгибом вала (отсюда часто используемый термин «потеря динамической жесткости»);

-стала понятной необходимость балансировки ротора для снижения вибраций на критических режимах. Из (5.2) видно, что при прочих равных условиях прогиб вала пропорционален величине эксцентриситета е\

Рис. 5.2. Зависимость погиба вала от частоты вращения (а)

и положение центра масс (б)

ми». В 20...40-х годах XX века была разработана теория движения ротора в закритической облас­ ти, установлена роль сил внешнего трения, способ­ ствующих демпфированию колебаний. Примерно тогда же были разработаны конструкции упруго­ демпферных опор.

Соответствующее развитие критериев проекти­ рования выразилось в том, что критическая часто­ та вращения ротора перестала восприниматься ин­ женерами как фатальное явление - сложилось представление об опасных и допустимых критичес­ ких частотах. К опасным критическим частотам вращения стали относить только такие, на которых возникают значительные изгибные деформации вала ротора, перемещения вала в опорных сечени­ ях малы в сравнении с прогибом вала, на силовую конструкцию корпуса машины передаются значи­ тельные динамические усилия. Именно от таких критических частот в первую очередь старались освободить рабочий диапазон машины.

Многочисленные сопоставления результатов расчетов с данными наблюдений привели к уточ­ нению модели. В расчетах стали учитывать гирос­ копический эффект диска, возникающий вслед­ ствие пространственного изменения направления оси вращения диска при изгибе вала. В некоторых случаях при расчетах колебаний ротора учитыва­ лась изгибная податливость диска и податливость элементов крепления диска к валу.

Развитие авиационной газотурбинной техники, требовавшее существенного облегчения конструк­ ции, привело к созданию роторов, к которым уже была неприменима модель в виде невесомого вала, несущего один или несколько дисков. Массы дис­ ков компрессора и турбины стали сравнимы с мас­ сой вала ротора, появились конструкции роторов, в которых отдельные элементы выполняют функ­ ции вала и диска одновременно. Для анализа коле­ баний таких конструкций разработанные ранее модели и критерии проектирования были обобще­ ны на случай систем с распределенными парамет­ рами. Явления, происходящие при колебаниях ро­ торов, усложнились: роторы с распределенными параметрами обладают целым спектром критичес­ ких частот вращения. В авиационных двигателях вследствие низкой жесткости и малой массы корпу­ сов приходится рассматривать совместные колеба­ ния систем ротор-корпус. Наличие в двигателе двух или трех роторов, вращающихся с различными ча­ стотами, вызывает одновременное возбуждение ко­ лебаний на соответствующих частотах, каждый ро­ тор при этом совершает движение, соответствующее синхронной и несинхронной прецессии. Эти осо­ бенности колебаний потребовали дальнейшего раз­ вития критериев проектирования и расчетных ме­ тодов. Требование отстройки всех критических

частот вращения роторов за рабочим диапазоном режимов становится невыполнимым, т.к. спектр критических частот оказывается слишком плот­ ным. В связи с этим приобретают особую важ­ ность критерии оценки опасности или допустимо­ сти конкретной критической частоты вращения.

5.2. Динамика одномассового ротора. Поступательные перемещения

Ниже будет показано, что критический режим вращения ротора представляет собой специфичес­ кий вид вынужденных резонансных колебаний. Такое представление, не вполне строгое с точки зре­ ния теоретической механики, объясняет многие за­ кономерности поведения роторов на критических режимах.

Вновь рассмотрим простейшую модель из пре­ дыдущего раздела (см. рис. 5.1) - невесомый вал с одним диском посередине между опорами. Счи­ таем, что жесткость вала и опор одинакова во всех направлениях, перпендикулярных оси вращения (изотропный вал). Будем также считать, что диск симметричен относительно срединной плоскости, которая перпендикулярна оси вращения (то есть, диск закреплен без перекосов). В такой системе при изгибе вала диск будет совершать плоское движе­ ние, когда касательная к изогнутой оси вала в точ­ ке крепления диска остается параллельной оси под­ шипников О 'О ’.

Рассмотрим сечение системы плоскостью, пер­ пендикулярной оси подшипников и проходящей через точку О, крепления диска - эта плоскость совпадает со срединной плоскостью диска (см. рис. 5.3). О - точка пересечения плоскости диска с осью подшипников; О, - точка пересечения изог­ нутой оси вала с плоскостью диска; О0- центр масс диска; р - радиус-вектор, характеризующий про­ гиб вала; р - радиус-вектор, характеризующий по­ ложение центра масс диска; ё - вектор эксцент­ риситета диска. В неподвижной системе координат движение диска описывается тремя величинами: двумя декартовыми координатами центра масс дис­ ка и углом поворота диска ср - углом между осью Oz и вектором ё [5,21]. В отличие от рассмотрен­ ной в предыдущем разделе модели здесь не вво­ дится допущение о том, что точки О, Охи О0лежат на одной линии.

Условие постоянства частоты вращения вала со = const позволяет задать угловое положение дис­ ка выражением <р = со /.

На диск действуют сила упругости вала, при­ ложенная в точке Ov и силы сопротивления, кото­ рые будем считать приведенными к той же точке Ov а также сила инерции массы диска, приложен­ ная в центре масс О0.

Сила упругости вала пропорциональна проги­ бу, т.е. определяется положением точки Ох через коэффициент жесткости системы с или податли­ вость а и равна Р= -г/а = -сг. Знак минус по­ казывает, что сила направлена против перемеще­ ния.

Если считать опоры вала абсолютно жестки­ ми, то перемещение точки О, будет определяться только изгибом вала. В этом случае коэффициент жесткости с равен коэффициенту жесткости вала Св=1/ав.Если же считать вал абсолютно жестким,

аопоры податливыми, то перемещение точки О, будет определяться только деформациями опор, ко­ эффициент жесткости с примет значение с = 2С0,

аподатливость а = 1/с = ос0/ 2, где С0 - жесткость каждой из опор, а 0 = 1/ С0 - податливость. В том случае, когда и вал и опоры не являются абсолют­ но жесткими, суммарную податливость системы можно определить как сумму податливостей:

откуда коэффициент жесткости:

Обозначим проекции радиуса-вектора проги­ ба г оси координат иуи и:. Сила упругости изот­ ропного вала тоже может быть представлена че­ рез проекции {-си) и {-си). Положение центра масс диска О0 определяется радиусом-вектором р, проекции которого на оси координат обозна­ чим иу0и и:0. Он является суммой вектора проги­ ба г й эксцентриситета г(см. рис.5.3). Положе­ ние последнего изменяется во времени в связи с вращением диска, а его проекции на оси коор­ динат равны esinco/ и ecosco/. Координаты центра масс диска определяются как сумма:

Продифференцируем (5.6) по времени и подста­ вим в (5.7). После выполнения преобразований получим:

тйу +Кйу +cuy =m(02esin(Dt

тй2 +Кй2 +си2 =m(o2ecoscot

Уравнения (5.8), вообще говоря, не являются системой - они независимы. Каждое из них пред­ ставляет собой уравнение вынужденных колебаний одномассовой системы, подобное уравнению (1.101). Собственная частота колебаний без учета сил сопротивления определяется как

Сначала рассмотрим случай, когда сопротивле­ ние отсутствует (К= 0); решение (5.8) ищем в виде:

Это решение совпадает с полученным выше на основе более простой модели решением (5.2).

Рассмотрим теперь поведение ротора с учетом демпфирования, которое описывается уравнения­ ми (5.8) при К> 0. Общее решение уравнений (5.8) состоит из слагаемых, выражающих затухающие свободные колебания с частотой р , и слагаемых, описывающих установившиеся вынужденные коле-

бания с частотой со. Достаточно быстрое затухание свободных колебаний позволяет для описания ста­ ционарного режима использовать только частное решение уравнений (5.8). Это решение, как показа­ но в теории колебаний, имеет вид:

иу = ^sin(co/ + x)

и2 = Л cos(cot + x)

где 5 = к/24сМ - декремент колебаний. Амплитуда колебаний центра масс О0с учетом

(5.6) выражается как:

Результаты расчетов по формулам (5.12) и (5.13) для величины 5 = 0,1 представлены на рис. 5.4. Видно, что в отличие от случая, когда демпфиро­ вание отсутствует, прогиб вала конечен даже на критическом режиме. Из (5.12) видно, что на кри­ тическом режиме (со = р) при 5 « 1 прогиб вала ра­ вен:

(5.14)

Из (5.12) следует, что А2= и 2+ и 2. Т.е. точка О, крепления диска описывает окружность радиуса Л

сцентром в точке О. Аналогично, центр масс дис­ ка О0движется по окружности радиуса А0также

сцентром в точке О.

Фазовый угол %представляет собой угол между векторами р и 2 . Его зависимость от частоты вра­ щения ротора показана на рис. 5.5, а. Видно, что при малых частотах вращения со « 0 угол %имеет малые значения и направления векторов р (прогиб вала) и 2 (эксцентриситет центра масс) почти со­ впадают. По мере роста частоты вращения и при­ ближения ее к критическому значению величина

угла х возрастает и при со = р достигает значения я/2, т.е. на критической частоте вращения вектор эк­ сцентриситета перпендикулярен вектору прогиба вала и направлен в сторону вращения. При дальней­ шем увеличении частоты вращения угол х продол­ жает расти и при со » р приближается к значению я. Это означает, что вектор прогиба вала р и век­ тор эксцентриситета 2 оказываются противопо­ ложно направленными, т.е. вектор эксцентрисите­ та направлен в сторону линии подшипников О 'О \ Это объясняет описанное выше явление самоцен­ трирования.

Из (5.12) видно, что при фиксированном значе­ нии частоты вращения совеличина угла % остает­ ся постоянной, т.е. диск, вращаясь вместе с валом, обращен к линии подшипников О 'О ' одной и той же стороной (см. рис. 5.5, б). Такое движение на­ зывается прямой синхронной прецессией. При пря­ мой синхронной прецессии вращение вала отно­ сительно его плоскости изгиба не происходит, растянутые и сжатые волокна не меняются места­ ми и вал не испытывает переменных во времени деформаций.

Анализ выражения (5.9) показывает, что частота свободных колебаний ротора, диск которого совер­ шает только поступательные перемещения в своей плоскости, зависит от упругих и массовых парамет­ ров системы и не зависит от частоты вращения ро­ тора. Соответственно, критическая частота такого ротора также зависит только от соотношения массы и жесткости: увеличение массы приводит к сниже­ нию собственной частоты колебаний и соответству­ ющей критической частоты вращения, а уменьше­ ние массы, наоборот, приводит к их росту. Влияние жесткости противоположно влиянию массы систе­ мы: увеличение жесткости вызывает повышение собственной частоты колебаний и соответствую-

Рис. 5.4. Зависимость амплитуды колебаний ротора от час­

тоты вращения (8 = 0,1)

Глава 5. Динамика роторов. Вибрация ГТД

щей критической частоты вращения, уменьшение же жесткости ведет к их снижению.

Рассматривая влияние жесткости системы на значение критической частоты вращения, необхо­ димо помнить, что величина жесткости, входящая в выражение (5.5), включает в себя как жесткость вала Св, так и жесткость опор С0 ротора. Соответ­ ственно, изменение критической частоты ротора, т.е. его отстройку, можно выполнить как путем из­ менения жесткости вала, так и путем изменения жесткости опор ротора.

Из (5.10), (5.12) видно, что движение ротора представляет собой результат сложения изгибных гармонических колебаний в двух взаимно перпен­ дикулярных плоскостях хОу и xOz с частотой, рав­ ной частоте вращения ротора. Критическая час­ тота, при которой знаменатель (5.10) становится равным нулю, а амплитуда Л максимальна, равна собственной частоте изгибных колебаний систе­

Это позволяет интерпретировать критический режим как вынужденные резонансные колебания. Роль гармонической вынуждающей силы играет сила инерции неуравновешенных масс ротора.

Представление о движении ротора, как об упру­ гих колебаниях позволяет использовать известные в теории колебаний подходы для объяснения и опи­ сания закономерностей критических режимов вра­ щения. Так, например, множественность критичес­ ких режимов реальных роторов, представляющих собой систему с бесконечным числом степеней сво­ боды, объясняется наличием бесконечного спект­ ра собственных частот и форм колебаний таких систем.

5.3. Динамика одномассового ротора. Угловые перемещения

При колебаниях роторов диск кроме поступа­ тельных может совершать также угловые переме­ щения, связанные с поворотом его осей инерции. Рассмотрим частный случай, когда поступательные перемещения отсутствуют.

Снова рассмотрим ротор, представляющий собой невесомый вал на двух опорах с диском по­ середине (см. рис. 5.6). Теперь будем считать, что диск полностью уравновешен, и точка его крепле­ ния к валу совпадает с центром масс, поперечные перемещения центра масс отсутствуют. Диск будем считать осесимметричным, то есть диаметральные моменты инерции диска относительно любого его диаметра одинаковы и равны /, полярный момент инерции диска относительно оси вращения обозна­ чим /0. Силой тяжести пренебрегаем.

Рис. 5.5. Зависимость фазового угла от частоты вращения

ротора (а) и схема движания поперечного сечения

вала при прямой синхронной прецессии (б)

При угловых колебаниях диска изменяются на­ правления его осей инерции. Рассмотрим две си­ стемы координат: неподвижную Oxyz с началом в центре масс диска и подвижную Ofy\C, с нача­ лом в той же точке и осями, совпадающими с те­ кущим положением главных осей инерции диска (см. рис. 5.6). Ось О£ совместим с текущим направ­ лением оси вращения диска, оси Оц и ОС перпен­ дикулярны ей. В процессе колебаний диска систе­ ма Ofy^C, совершает угловые перемещения по отношению к неподвижной системе координат Oxyz, которые полностью определяются углами ц/, 0, ср. Так как углы \}/и 0 малы, углы поворота диска вокруг осей Оу и Oz фу и фг можно приближенно выразить как: фу » \|/ й ф2~ 0, кроме того можно принять ф = Ш.

На колеблющийся диск действуют моменты сил упругости, сопротивления и возмущающих сил.

Момент, создаваемый силами упругости вала, пропорционален углам поворота диска ф и ф2 и имеет проекции М = -.уф^ и А/ = -5фг; здесь ко­ эффициент жесткости s (по аналогии с использо-

Глава 5. Динамика роторов. Вибоаичя ГТД

откуда:

/ 0

h

р 2=-----СО+

2 21

Наличие двух собственных частот (5.21) обус­ ловлено вращением ротора: первый корень соот­ ветствует прямой прецессии, второй - обратной.

Явление прямой прецессии обсуждалось выше в связи с анализом поступательных движений ро­ тора (см. рис. 5.5, б). При прямой прецессии на­ правление прецессии, то есть вращения изогнутой оси вала, совпадает с направлением вращения вала. При обратной прецессии направление прецессии и направление вращения вала противоположны друг другу. Если частота прецессии по величине совпадает с частотой вращения, прецессия назы­ вается синхронной, в противном случае - несинх­ ронной.

При со = 0 из (5.21) получается собственная ча­

стота угловых колебаний невращающегося ротора /?0=Vs77.

Зависимость собственных частот от частоты вращения для различных соотношений моментов инерции диска показана на рис. 5.7. Она отражает влияние гироскопического эффекта, который по­ является при поворотах оси вращающегося диска. При прямой прецессии он приводит к повышению собственных частот (три верхних кривых на рис. 5.7), а при обратной - к снижению (две ниж­ них кривых на рис. 5.7).

Критические частоты вращения соответству­ ют случаям совпадения частоты вращения с од­ ной из собственных частот прецессии ротора. Под­ ставив значения © = Рх или © = Р2 в равенство (5.21), получим выражения для критических час­ тот вращения, соответствующих прямой и обрат­ ной прецессии ротора:

<P,=OCos(a>'-x)l

ф. =OSin(a><-x)J

где Ф - амплитуда.

Для определения амплитуды решение в форме (5.23) необходимо подставить в уравнения (5.16), откуда получается (см. [5]):

( / - / g ) l V

Ф =

(5.24)

^ - ( / - / 0)(О2] 2+(Я(о)2

Отсюда видно, что неуравновешенность диска, связанная с его перекосом, играет роль внешней периодической нагрузки. Интенсивность этой на­ грузки зависит от разности диаметрального и по­ лярного моментов инерции диска (/ - /0), и при ра­ венстве всех моментов инерции диска (/ = / 0) колебания в системе возбуждаться не будут.

Анализ выражений (5.22) и (5.24) показывает, что угловая амплитуда Ф достигает максимума вблизи частоты вращения равной:

® = < P = A/V (/ - / O)>

представляющей собой критическую частоту пря­ мой прецессии. Как и при поступательных пере­ мещениях, за критической частотой происходит самоцентрирование ротора, то есть угол наклона касательной к изогнутой оси вала стремится к ве­ личине начального перекоса диска (Ф-»Г).

Из (5.22) и (5.24) видно, что при I < /0 крити­ ческие частоты прямой прецессии в системе отсут-

Значения критических частот показаны на рис. 5.7, как точки пересечения прямойр = © с кри­ выми, характеризующими собственные частоты.

Вынужденные угловые колебания возникают в форме прямой синхронной прецессии и могут быть представлены в форме:

Рис. 5.7. Собственные частоты и критические режимы

ротора

ствуют. В частности, для сплошного диска с ради­ усом R и толщиной h моменты инерции

I= M(R2+h2/3)/4, /0 = MR2/2 ,

икритические режимы при прямой прецессии воз­ можны только для толстых дисков с h>R>^3.

Для изотропных (осесимметричных) систем, то есть систем, у которых в плоскости, перпендикуляр­ ной оси вращения ротора, характеристики жесткос­ ти не зависят от направления, обратная прецессия не возбуждается собственной неуравновешеннос­ тью ротора. Возбуждение таких колебаний возмож­ но лишь в случае наличия анизотропии жесткос­ ти, либо когда на ротор, вращающийся с частотой со, действует нагрузка, вращающаяся с частотой со в противоположную сторону.

5.4.Динамика одномассового несимметричного ротора

Рассматриваемое в настоящем разделе движе­ ние несимметричного одномассового ротора пред­ ставляет собой обобщение двух рассмотренных выше случаев поступательного и углового движе­ ния ротора.

Рассмотрим ротор с невесомым валом, диск ко­ торого расположен не в середине межопорного пролета, а находится ближе к одной из опор (см. рис. 5.8). Ротор вращается с круговой частотой со. Диск имеет эксцентриситет е и перекос Г. Дефор­ мация вала под действием нагрузок приводит к то­ му, что сечения вала получают перемещения иуи иг в направлении осей Оу и Oz и повороты (ру и cpz, вокруг этих осей. Эти четыре параметра опреде­ ляют положение диска.

На диск действуют сила упругости вала, при­ ложенная в геометрическом центре, сила инерции массы диска, приложенная в центре масс, гирос­ копический момент. Силы сопротивления для про­ стоты учитывать не будем.

Деформации вала под действием внешних сил удобно выражать через упругие податливости, ко­ торые в сопротивлении материалов определяются как перемещения и углы поворота сечений при действии единичных сил и моментов. Для рассмат­ риваемого случая в сопротивлении материалов определены: а,, - прогиб в точке крепления диска от единичной силы, приложенной в той же точке, а 12 - поворот сечения крепления диска от единич­ ной силы, приложенной в том же сечении, - поворот сечения крепления диска от ого момента, приложенного в том же сечении. Они выражаются через размеры, момент инерции сечения и модуль упругости вала:

5.4. Динамика одномассового несимметричного ротора

Уравнения колебаний одномассового несиммет­ ричного ротора под действием неуравновешенно­ сти при отсутствии сил демпфирования приведем без вывода (см.[5]):

тиу +Сиу + Щ 2 = тсо2ecos p t

Если неуравновешенность в роторе (эксцентри­ ситет массы и перекос диска) отсутствует, полу­ чим уравнения свободных колебаний:

тйу +cuy +N<pz = 0

I<pz - I 0eo<pv+Nuy +s<pz = 0

(5.27)

m u,+cuz + Ntpy =0

I<py - I Qa><p +Nu,+s<py = 0

Ищем решение в виде:

иу =Uу cos pt

(р, =Ф, cos pt (5.28) uz -U ,sin p t

4y =<S>ysxapt

Подставляя (5.28) в (5.27) получаем:

Рис. 5.8. Несимметричный ротор

Глава 5. Динамика роторов. Вибрация ГТД

(С-тр2) Uy+ЫФ. = 0

( 5 - V ) Ф .-1<ррФу +NU. =0

(5.29)

(С-тр2) и : -ЫФу = О *

(5.30)

Система (5.30) представляет однородную сис­ тему линейных алгебраических уравнений отно­ сительно неизвестных амплитуд поступательных и угловых перемещений ротора. Такая система может иметь отличное от нуля решение лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю. Раскры­ вая определитель, получим частотное уравнение:

[(С - mp2)(S - Ip2) - N2+ IQ(op(C - mp2)]x

(5.31)

x[(C - mp2)(S - Ip2) - N2- /0cop(C - mp2)] = 0

откуда получим два уравнения для определения собственных частот колебаний

CS - CIp2 - Smp2+ mlp4- N 2+ CI0cop - ml0cop3 = ol

CS - CIp2 - Smp2+ mlp4 - N 2 - CI0cop+ mI0cop3 = Oj

(5.32)

Эти уравнения различаются между собой только знаками перед членами, содержащими час­ тоту вращения со и анализ можно ограничить од­ ним из них, например первым, полагая, что часто­ та вращения может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Из (5.32) могут быть получены четыре собственных частоты, которые зависят от частоты вращения ротора. Это является следствием гироскопического эффекта, поскольку колебательные перемещения ротора сопровожда­ ются пространственным изменением направления оси вращения диска.

На рис. 5.9 показана зависимость собственных частот несимметричного ротора от частоты враще­ ния. Невращающийся ротор имеет две собствен­ ных частоты, они совпадают с собственными час­ тотами изгибных колебаний вала с диском. Им соответствуют две собственные формы колебаний, показанные на рис. 5.10.

Рис. 5.9. Собственные частоты и критические режимы несимметричного ротора

Рис. 5.10. Собственные формы колебаний несимметричного ротора: а - первая форма; б - вторая форма

Вращающийся ротор имеет четыре собственные частоты, две из которых соответствуют прямой пре­ цессии (р>0), две - обратной (р<0). При прямой пре­ цессии собственные частоты возрастают с ростом частоты вращения благодаря гироскопическому эф­ фекту, при обратной - абсолютные величины соб­ ственных частот уменьшаются. Критические режи­ мы имеют место при совпадении частоты вращения со с собственной частотой колебаний р ротора. Для прямой синхронной прецессии следует положить со =р и уравнение (5.31) примет вид:

(С -т р2)[5 -(1 -1 0)р 2]-1Р = 0. (5.33)

При I >/0, это уравнение имеет два положитель­ ных корня, которые определяют две критические частоты вращения при прямой прецессии. При