книги / Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 4 Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок

каждой из деталей ротора, а также начальный и ко­ нечный моменты каждого из режимов полетного цикла (взлет, номинал, крейсерский, малый газ и т.д.). Проведение расчетного анализа НДС дета­ лей роторов по полетному циклу позволяет опре­ делить режим работы двигателя, на котором имеет место максимальная напряженность в той или иной зоне каждого диска и уточнить оценку статичес­ кой прочности диска. Кроме того, такой расчет по­ зволяет определить изменение во времени напря­ жений и деформаций, количество и длительность стационарных (по НДС) режимов и размахи дефор­ маций на переходных режимах. Это может служить основой для уточненной оценки циклического ре­ сурса по изложенной в разд. 3.6 методике.

Таким образом, описанная в разд. 3.10 оптими­ зация дисков является лишь частью процесса оп­ тимального проектирования. Термин «оптималь­ ный» здесь выходит за рамки классической математической постановки задачи поиска опти­ мума. Оптимальное проектирование понимается как процесс рационального выбора формы и раз­ меров, удовлетворяющих многообразным, в том числе и неформализуемым критериям.

При проведении упрощенных расчетов напря­ жений в диске в плоской осесимметричной поста­ новке или в осесимметричной постановке методом конечных элементов проводится оптимизация фор­ мы поперечного сечения диска с определением его основных размеров. По результатам осесимметрич­ ных расчетов НДС ротора с учетом взаимодействия деталей друг с другом выбираются зоны оптималь­ ного расположения конструктивных элементов, ко­ торые могут стать концентраторами напряжений: перемычек крепления, отверстий, выступов соеди­ нительных узлов, галтелей и т.д. На базе уточняю­ щих трехмерных расчетов проводится оптимиза­ ция формы и размеров объемных конструктивных элементов диска, являющихся концентраторами напряжений. На этом этапе необходимо: по возмож­ ности снизить уровень номинальных напряжений в зоне концентратора; исключить взаимное влия­ ние концентраторов, размещая их на удалении друг от друга; подбирать такую форму самого концент­ ратора, которая имеет наименьший из возможных уровень концентрации напряжений.

Конт рольные вопросы

Контрольные вопросы

1.Перечислите нагрузки, действующие на диск; поясните их природу, характер изменения на раз­ личных режимах работы двигателя.

2.Поясните основные допущения, лежащие в ос­ нове модели плоского осесимметричного напря­ женного состояния диска.

3.Какие граничные условия используются при рас­ чете напряженного состояния диска по модели плоского осесимметричного напряженного состо­ яния?

4.Поясните порядок расчета напряжений в диске методом конечных разностей.

5.Поясните применение принципа суперпозиции при расчете напряженного состояния дисков.

6.Проанализируйте распределения напряжений

вдиске постоянной толщины.

7.Какие факторы и как влияют на напряжения

вдиске постоянной толщины?

8.От каких характеристик материала зависят на­ пряжения в диске?

9.Почему считается, что форма диска постоянной толщины нерациональна?

10.В каких зонах диска возникают пластические деформации, как их появление отражается на ра­ ботоспособности диска?

11.Поясните сущность метода переменных пара­ метров упругости при расчете пластических дефор­ маций в диске.

12.В чем состоит явление автофретирования дис­ ков?

13.Какие критерии используются при оценке проч­ ности дисков?

14.Какие допущения лежат в основе расчета раз­ рушающей частоты вращения диска?

15.Поясните по диаграмме деформирования мате­ риала механизм циклической пластической дефор­ мации при знакопеременном цикле нагружения, покажите размах пластической деформации.

16.Как напряжения и деформации в пластической зоне определяются по гиперболе Нейбера?

17.Поясните схему представления сложного цик­ ла нагружения в виде совокупности простых под­ циклов.

18. В чем смысл гипотезы линейного суммирова­ ния повреждений? Как она используется при оцен­ ке циклического ресурса дисков?

19. В чем смысл концепции допустимых повреж­ дений при оценке циклического ресурса дисков? 20. Какие расчеты и эксперименты необходимо провести для оценки циклического ресурса дисков на основе концепции допустимых повреждений? 21. Поясните расчетную схему ротора барабанно­

го типа.

22. Поясните расчетную схему диска центробеж-

До 60% поломок лопаток ГТД имеют усталост­ ный характер и связаны с действием переменных напряжений при вибрациях. Поломка одной лопат­ ки обычно приводит к лавинообразному процессу повреждения или разрушения других, нарушению балансировки ротора, помпажу и другим серьез­ ным повреждениям двигателя. Для предупрежде­ ния вибрационных поломок при проектировании и доводке двигателя исследуются колебания лопа­ ток. Обеспечение вибрационной прочности лопа­ ток регламентируется «Нормами летной годности воздушных судов».

4.1.Свободные и вынужденные колебания лопаток. Собственные частоты и формы колебаний лопаток

Колебания лопатки в условиях работы на двига­ теле происходят под действием переменных газо­ динамических сил, обусловленных, главным обра­ зом, неравномерностью газового потока в проточной части. Эти силы изменяются во времени периоди­ чески, причем период равен времени одного обо­ рота ротора.

Под действием периодической газодинамичес­ кой нагрузки лопатка совершает вынужденные ко­ лебания. Изменение во времени перемещения U(x,y,z,t) некоторой точки с координатами х, у, z - периодическая функция времени, поэтому ее мож­ но представить в виде суммы гармонических (т.е. изменяющихся во времени по закону синуса или косинуса) составляющих (в математике это назы­ вается разложением в ряд Фурье):

U (x,y,z,t) = U0(x,y,z) +

1=1

где i - номер гармоники; U.(x,y,z) - амплитуда гармоники; pt - частота гармоники;

ф.- фаза гармоники;

U0(x,y,z) - средняя величина перемещения. Движение точки при колебаниях можно интер­

претировать в соответствии с представлением (4.1) как сумму движений, происходящих по гармони­ ческому закону.

Если лопатку вывести из положения равнове­ сия (например, ударом) и предоставить действию сил инерции и упругости, исключив внешние на­ грузки, она будет совершать свободные колебания относительно исходного положения. Пренебрегая потерями энергии, эти колебания можно рассматри­ вать как незатухающие, а перемещения U(x, у z, t) - как периодическую функцию времени. При свобод­ ных колебаниях, как и в случае вынужденных, пе­ ремещения представляют собой сумму гармоничес­ ких колебаний и могут быть представлены в виде ряда (4.1) с нулевым средним значением перемеще­ ния U0(x, у, z) = 0 (свободные колебания происхо­ дят вокруг положения равновесия).

Как показано в теории колебаний, и свободные,

ивынужденные колебания складываются из гар­ монических составляющих, имеющих одинаковый набор (спектр) частот р.. Эти частоты не зависят ни от способа возбуждения свободных колебаний, ни от внешних нагрузок при вынужденных коле­ баниях. Они зависят только от материала, формы

иразмеров самой лопатки и конструкции ее креп­ ления, и поэтому называются собственными.

Функции U.(x, у, z) в выражении (4.1) представ­ ляют собой распределение амплитуд соответству­ ющих гармонических составляющих. Их можно интерпретировать как изменение формы лопатки при гармонических колебаниях с собственными частотами р. в момент максимального отклонения от положения равновесия. В теории колебаний по­ казано, что при различных способах возбуждения колебаний каждая из этих функций остается неиз­ менной с точностью до постоянного множителя. Таким образом, характер распределения перемеще­ ний при гармонических колебаниях лопатки с лю­ бой из собственных частот не зависит от способа возбуждения колебаний, от него зависит лишь ам­ плитуда. Закон распределения перемещений, кото­ рый называют формой колебаний, как и собствен­ ная частота, зависит только от материала, формы

иразмеров лопатки и конструкции ее крепления. Как и собственные частоты, они являются фунда­ ментальным свойством лопатки, поэтому их так­ же называют собственными. Каждой собственной частоте колебаний лопатки соответствует своя соб­ ственная форма.

Очень важен в практическом отношении такой

вид колебаний, когда из всех гармонических со­ ставляющих одна имеет амплитуду, значительно

превышающую остальные. В этом случае в выра­ жении (4.1) амплитуды всех гармоник Ut(x, у, z), кроме одной, нужно приравнять нулю. Если пре­ небречь постоянной составляющей, то вместо сум­ мы получим одно слагаемое:

U( x ,y ,z ,t) = U ,(x,y,z)-sin (P ,t+((>,) (4.2)

Как видно из (4.2), все точки лопатки двигают­ ся синхронно по одному и тому же гармоническо­ му закону во времени, одновременно проходя по­ ложение равновесия и одновременно достигая максимального отклонения. При этом колебания происходят с одной из собственных частот и име­ ют соответствующую ей собственную форму:

Такие колебания представляют наибольший практический интерес, поскольку они имеют боль­ шие амплитуды. Это происходит потому, что энер­ гия колебаний не раскладывается на несколько сла­ гаемых, соответствующих слагаемым в (4.1), а концентрируется в одном из них. Именно такие ко­ лебания возникают при резонансе. Создавая в спе­ циальных экспериментах резонансные режимы колебаний можно наблюдать собственные формы

иопределять собственные частоты. Совокупность всех собственных форм колеба­

ний и соответствующих им частот называют соб­ ственным спектром лопатки, характеризующим ее вибрационные свойства. Как видно из (4.1), лопат­ ка, как и любая колебательная система, имеет, во­ обще говоря, бесконечное множество собственных форм и собственных частот колебаний.

Геометрическое место точек, остающихся не­ подвижными при гармонических колебаниях на-

Рис. 4.1. Собственные формы колебаний лопаток:

а, б, в - первая, вторая и третья изгибные; г , д -

первая и вторая крутильная; е - пластиночная

зывается узловой линией. Узловые линии разде­ ляют поверхность на области, где в каждый мо­ мент времени амплитуды вибрационных переме­ щений имеют противоположные знаки. Более высоким собственным частотам соответствуют формы колебаний с большим количеством узло­ вых линий.

При классификации форм колебаний лопаток (см. рис.4.1) опираются на представление одиноч­ ной лопатки в виде балки или пластинки и преиму­ щественный вид деформации при колебаниях по этой форме. Принято выделять изгибные, крутиль­ ные, пластиночные собственные формы. Изгибные формы колебаний (см. рис.4.1, а - в) характерны тем, что в лопатке возникают деформации, при которых перпендикулярные оси лопатки сечения не изменя­ ют своей формы, а лишь поворачиваются, остава­ ясь перпендикулярными к изогнутой оси лопатки. Изгиб происходит вокруг оси наименьшей жестко­ сти сечения. Узловые линии ориентированы пер­ пендикулярнопродольной оси лопатки. В зависи­ мости от числа узловых линий различают первую, вторую и т.д. изгибные формы.

Крутильные колебания лопатки совершаются относительно линии центров жесткости попереч­ ных сечений. Поперечные сечения поворачивают­ ся без искажения формы (см. рис.4.1, г, д). При пер­ вой крутильной форме все поперечные сечения лопатки поворачиваются в одну сторону от поло­ жения равновесия, имеется одна продольная узло­ вая линия и одна поперечная у корня. При второй крутильной форме верхняя и нижняя части лопат­ ки поворачиваются в противоположных направле­ ниях, поэтому кроме продольной узловой линии имеются две поперечные.

Между крутильными и изгибными формами ко­ лебаний существует связь, выражающаяся в том, что при изгибных колебаниях возникают дефор­ мации кручения и наоборот. Это происходит из-за несовпадения в общем случае центров масс сече­ ний с центрами жесткостей и приводит к возникно­ вению совместных изгибно-крутильных колебаний. Такие формы колебаний особенно характерны при близости собственных частот по изгибным и кру­ тильным формам.

Пластиночные формы колебаний характеризу­ ются тем, что форма поперечного сечения лопат­ ки при колебаниях искажается. Узловые линии располагаются параллельно оси лопатки (см. рис.4.1, ё).

Следует отметить, что описанная классификация форм колебаний условна, перечисленные формы колебаний реализуются в чистом виде только в прос­ тейших случаях. Чаще встречаются боле сложные формы колебаний, в которых можно выделить лишь преимущественный вид деформации.

В основе этих моделей лежит допущение о том, что напряженное состояние лопатки одноосное. В случае изгибных колебаний принимается по вни­ мание только нормальное напряжение в направле­ нии оси лопатки; оно считается распределенным по сечению лопатки по линейному закону, нейтраль­ ная линия при изгибе совпадает с осью наимень­ шей жесткости корневого сечения. В случае кру­ тильных колебаний аналогичные допущения принимаются относительно касательного напря­ жения. Расчет собственных частот по стержневой модели сводится к анализу уравнения в частных производных. В аналитическом виде удается опре­ делять собственные частоты и формы колебаний лопаток постоянного поперечного сечения без уче­ та закрутки профиля и изменения температуры по длине и сечению лопатки.

Для лопаток переменного по длине сечения наи­ более простым и, в то же время, достаточно точ­ ным методом определения низшей собственной частоты изгибных колебаний является энергетичес­ кий метод (метод Рэлея). В его основе лежит идея расчета частоты колебаний по заданной собствен­ ной форме; форма колебаний задается априорно, исходя из самых приближенных представлений, а собственная частота рассчитывается с использо­ ванием закона сохранения энергии.

Сначала рассмотрим применение метода Рэлея для расчета низшей собственной частоты изгибных колебаний невращающейся лопатки.

Если пренебречь потерями энергии, в любой мо­ мент времени сумма кинетической энергии К и по­ тенциальной энергии П колеблющейся лопатки согласно закону сохранения энергии есть величи­ на постоянная:

В положении равновесия потенциальная энер­ гия равна нулю, а кинетическая энергия достигает

максимума К . В положении максимального от-

J max

клонения от равновесия, наоборот, кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная - максималь­ на Пmax . Следовательно

Для определенности будем рассматривать ло­ патку как консольно закрепленный стержень дли­ ной L (см. рис.4.4) с плотностью материала р, мо­ дулем упругости Е, изменяющимися по длине площадью сечения F(x) и моментом инерции 1(х). Рассматриваем гармонические колебания с круго­ вой собственной частотой р. Перемещения произ­ вольной точки оси лопатки с координатой х задаем в виде произведения гармонической функции вре­

Рис. 4.4. К расчету собственной частоты колебаний невра­

щающейся лопатки

мени на функцию у п(х), которая представляет со­ бой распределение амплитуд колебаний по коор­ динате, то есть форму колебаний:

Форму колебанийу0(х) будем считать известной. Для элемента лопатки dx (см. рис.4.4) макси­

мальная кинетическая энергия равна:

= ^ p 2pF (x)y2(x)dx

Для всей лопатки максимальная кинетическая энергия определяется интегрированием

Потенциальная энергия лопатки в момент мак­ симального отклонения от положения равновесия определяется известным из сопротивления мате­ риалов соотношением для потенциальной энергии изогнутого стержня:

где М(х) - изгибающий момент, соответствующий прогибу у 0(х), который согласно уравне­ нию изогнутой оси стержня равен:

Подставляя (4.9) в (4.8) и получившееся выра­ жение для потенциальной энергии вместе с (4.7) в уравнение (4.5), находим круговую собственную частоту:

По аналогии с (4.10) методом Рэлея может быть получено соотношение для первой собственной частоты крутильных колебаний [13]:

где G - модуль сдвига,

cp(x) - приближенная форма крутильных коле­ баний.

Форма колебаний в методе Рэлея задается ап­ риорно, она лишь должна удовлетворять гранич­ ным условиям. Для изгибных колебаний, напри­ мер, это отсутствие перемещений и поворота сечения в заделке (корневом сечении):

Получающиеся методом Рэлея приближенные значения собственных частот всегда выше точных и тем ближе к ним, чем ближе заданная приближен­ но собственная форма к действительной. Практика расчетов показывает, что соотношение (4.10) дает достаточно точные результаты, если форму коле­ баний принимать совпадающей с функцией про­ гибов от равномерно распределенной статической нагрузки. При применении метода Рэлея можно с достаточной для практических расчетов точнос­ тью получать только частоты колебаний по первой изгибной и первой крутильной формам. Для более высоких собственных частот формы колебаний более сложны, и априорно задать их с достаточной точностью трудно.

Для стержня постоянного по длине сечения из теории колебаний известны соотношения для рас­ чета собственных частот изгибных и крутильных колебаний. Приведем их без вывода (см., напри­ мер, [20]).

"1 v р ',„

иполярный момент инерции сечения.

Всоотношениях (4.13) а. и р| - коэффициенты, зависящие от номера собственной формы и Для изгибных колебаний стержня постоянного сечения

сконсольным креплением а=3,515; а 2=22,033;

03=61,701.

Соотношения (4.13) можно использовать для расчета собственных частот изгибных и крутиль­ ных колебаний лопаток постоянного по длине се­ чения. Соотношения (4.10) и (4.11) для лопаток переменного сечения можно привести к виду (4.13), считая геометрические характеристики от­ носящимися к корневому сечению. Коэффициен­ ты а в этом случае имеют другие значения, зави­ сящие от закона изменения размеров сечения по длине лопатки.

Теперь рассмотрим расчет собственных частот изгибных колебаний вращающейся с круговой ча­ стотой о лопатки. В этом случае колебания совер­ шаются в поле центробежных сил, что приводит к изменению собственных чатот, которые принято называть динамическими.

На рис.4.5 показана схема нагружения колеблю­ щейся лопатки. Центробежная сила dP , действу­ ющая на элемент dx, при отклонении лопатки от положения равновесия вызывает появление изги­ бающего момента, стремящегося вернуть ее в по­ ложение равновесия. Это эквивалентно повыше­ нию изгибной жесткости лопатки и ведет к тому, что динамические собственные частоты оказыва­ ются выше соответствующих статических. Разли­ чие тем больше, чем выше частота вращения рото­ ра и больше центробежные силы.

Для количественной оценки этого эффекта рас­ смотрим низшую собственную частоту изгибных колебаний вращающейся лопатки. Воспользуемся описанным выше для невращающейся лопатки приближенным методом Рэлея.

Как и в случае невращающейся лопатки пере­ мещения произвольной точки оси лопатки с коор­ динатой JCзадаем в виде произведения гармоничес­ кой функции времени на форму колебаний y0(.r). Закон сохранения энергии приводит к равенству максимальных значений кинетической и потенци-

Рис. 4.5. К расчету собственной частоты колебаний вращающейся лопатки

альной энергии (4.5). Однако в случае вращающей­ ся лопатки потенциальная энергия состоит из двух составляющих: энергии упругой деформации Птах (4.8) и работы центробежных сил W, которая дол­ жна быть совершена при переходе лопатки из по­ ложения равновесия в положение максимального отклонения:

Центробежная сила dP 9действующая на эле­ мент лопатки dx, совершает при отклонении лопат­ ки от положения равновесия работу на перемеще­ нии е (см. рис.4.5). Ввиду малости угла 8 будем считать, что сила dP и ее проекция на ось х равны (проекцию также будем обозначать dPif). Работой проекции силы dPtf на ось у пренебрежем ввиду малости угла 8.

Перемещение е, исходя из геометрических со­ ображений, можно приближенно выразить через производную прогиба, определяемого формой ко­ лебаний:

ЛУо(х)

dx

Тогда

Ч-.-НРЙ

О 0L

(4.15)

* (R + x )-F (x )d x

Выражения для Ктах и Птах имеют тот же вид, что и для невращающейся лопатки (4.7), (4.8). Под­ ставляя их вместе с (4.15) в (4.14) получаем соот­ ношение для динамической собственной частоты:

Р =

сорR F(x)(l+x/R)dx

+

| pF(x)yl(x)dx

Это выражение отличается от полученного выше для невращающейся лопатки (4.10) наличием до­ полнительного слагаемого в числителе. Обозначая динамическую собственную круговую частоту Рд, а статическую, соответствующую соотношению (4.10), рс получаем:

(4Л7)

или для статической и динамической частот

я = - » ь

\ F ( x ) y l ( x ) d x

Из соотношения (4.18) видно, что с увеличени­ ем частоты вращения ротора собственная частота изгибных колебаний возрастает. Коэффициент В, отвечающий за этот эффект, зависит от формы ко­ лебаний, относительного удлинения лопатки, ее