книги / Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 4 Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок

I < /0 - только одна критическая частота, соответ­ ствующая прямой синхронной прецессии.

Для случая обратной синхронной прецессии (со = -р). Частотное уравнение принимает форму:

При обратной прецессии всегда есть два по­ ложительных корня, которые определяют две кри­ тические частоты вращения.

Таким образом, несимметричный ротор с од­ ним диском может иметь до четырех критических режимов, соответствующих двум формам колеба­ ний при прямой и обратной прецессии.

5.5. Динамика многодискового ротора

Модель одномассового ротора, рассмотрен­ ная выше, пригодна, главным образом, для того, чтобы понять основные закономерности динами­ ки роторов. Реальные роторы газотурбинных дви­ гателей обычно имеют несколько рабочих колес. В случае ротора, имеющего п дисков, геометричес­ кое положение каждого из них определяется зна­ чениями прогиба и угла поворота, причем каждый из них имеет две проекции на оси координат. По­ ведение такого ротора описывается системой 4п дифференциальных уравнений, подобной системе (5.25). Частотное уравнение, аналогичное уравне­ нию (5.31), будет уравнением степени 4п относи­ тельно частоты р. Это уравнение имеет 2п корней для невращающегося ротора, которым соответству­ ют 2п собственных частот и форм изгибных коле­ баний ротора. Для вращающегося ротора они пре­ вращаются в 4п собственных частот для прямой и обратной прецессий. Пример диаграммы корней частотного уравнения двухдискового ротора при­ веден на рис. 5.11. При прямой и обратной пре­ цессиях ротор может иметь до 4п критических ре­ жимов.

Методы расчета собственных частот и форм ко­ лебаний многомассовых систем изложены в подразд. 1.21 .Наибольший практический интерес при проектировании ГТД представляет низшая кри­ тическая частота вращения ротора, совпадающая с низшей собственной частотой его изгибных ко­ лебаний.

Для ее определения могут быть использованы приближенные методы, в частности энергетичес­ кий метод, изложенный в главе 3 применительно к задаче расчета собственных частот колебаний ло­ паток. Применительно к задаче определения низ­ шей критической частоты вращения ротора энер­ гетический метод сводится к следующему.

Ротор рассматривается как п масс дисков т.9зак­ репленных на невесомом валу. Считается, что все

5.5. Динамика многодискового ротора

диски совершают при колебаниях поступательное движение по одному и тому же гармоническому за­ кону во времени с искомой частотойр и амплитуда­ ми и: ucos(pt + ср). Максимальная скорость /-го диска в момент наибольшего отклонения от поло­ жения равновесия составляет и.р, а максимальная кинетическая энергия ротора:

Потенциальную энергию деформации, соответ­ ствующей перемещениям и., можно определить че­ рез работу сил Р., которые нужно приложить к дис­ кам, чтобы создать эти перемещения:

Приравнивая в соответствии с законом сохра­ нения энергии (5.35) и (5.36) получаем:

В качестве приближенной формы колебаний можно принять прогибы вала w в точках крепле­ ния дисков от веса дисков, то есть P=g т., их нуж­ но определить из решения соответствующей зада­ чи сопротивления материалов; тогда из (5.37) получим:

/=1 /=1

Рис. 5.11. Собственные частоты и критические режимы

двухдискового ротора

Глава 5. Динамика роторов. Вибрация ГТД

с соответствующей собственной частотой

®Kp = P k = 4 C klM k

Интенсивность колебаний вблизи со =ркоп­ ределяется не всей неуравновешенностью е(х) ро­ тора, а коэффициентом Ек ее разложения по соб­ ственным формам.

Если неуравновешенность ортогональна соб­ ственной форме

/

J pF(x)e(x) ■Un (x)dx= 0 (5.49)

о

эта форма возбуждаться не будет, даже если ротор имеет относительно большую неуравновешенность. На рис 5.13 показаны некоторые варианты неурав­ новешенности ротора и их влияние на возбуждение колебаний по различным формам. На рис 5.13 по­ казаны некоторые варианты неуравновешенности ротора и их влияние на возбуждение колебаний по различным формам. Так, неуравновешенности, по­ казанные на рис. 5.13,аи5.13,б ортогональны вто­ рой форме колебаний, и уровень колебаний здесь будет очень низким (теоретически равным нулю); колебания по первой и третьей формам при этом будут существенными. На рис. 5.13, в неуравнове­ шенность ортогональна первой и третьей формам, и ротор откликнется на возбуждение только по вто­ рой форме. На рис. 5.13, г неуравновешенность вы­ зовет колебания по всем трем низшим формам ко­ лебаний.

Уровень колебаний на различных критических частотах определяется не только величиной и рас­ пределением неуравновешенности, но также и дем­ пфированием колебаний. Опора ротора с одним и тем же коэффициентом сопротивления демпфе­ ра будет по-разному работать на критических час­ тотах, соответствующих различным формам коле­ баний. Величина демпфирования колебаний зависит от коэффициента Кп в (5.47) разложения функции к(х) по собственным формам.

На рис. 5.14 приведен пример вынужденных колебаний ротора с упруго-демпферной правой опорой по двум различным собственным формам при одинаковых значениях е(х) и к(х). При первой форме колебаний (кривая 1) ротор имеет значитель­ ные перемещения в упруго-демпферной опоре, вследствие чего коэффициент^ в (5.47) принима­ ет большое значение, и колебания хорошо демп­ фируются. Напротив, при колебаниях по второй форме (кривая 2) перемещения в упруго-демпфер­ ной опоре малы, демпфер практически не работа­ ет, значение коэффициента Ккоказывается низким и амплитуда колебаний при второй критической

частоте достигает больших величин вследствие не­ достатка демпфирования.

Таким образом, особенность роторов с распре­ деленными параметрами состоит в том, что они об­ ладают бесконечным количеством собственных частот и форм колебаний и соответствующих кри­ тических частот вращения. Определять весь спектр критических частот нет необходимости. Для прак­ тических целей достаточно найти несколько низ­ ших критических частот, попадающих в диапазон рабочих частот вращения ротора.

5.7. Особенности динамики роторов с анизотропией жесткости вала или опор

Анизотропия жесткости вала - различие жест­ кости в направлении главных осей поперечного сечения. Примерами могут служить валы со сня­ тыми лысками, канавками, а также валы с эллип­ тичностью, получившейся в процессе изготовле­ ния. Такая анизотропия называется подвижной, т.к. она вращается вместе с валом.

Анизотропия жесткости опор проявляется в раз­ личии жесткости опор в двух перпендикулярных направлениях в неподвижной системе координат, ее называют неподвижной. Она может быть связа­ на с неодинаковой в разных направлениях жестко­ стью элементов силовой схемы статора двигателя, в которых расположены опоры ротора.

Наличие анизотропии, даже незначительной, создает эффекты, существенно, иногда-качествен­ но, изменяющие закономерности динамики рото­ ров.

Рассмотрим симметричный относительно опор одномассовый невесомый ротор (см. рис.5.1). Ро­ тор имеет две одинаковые упругие опоры с ани­ зотропной жесткостью С0хФ С0 ; следовательно же­ сткость всей системы с Ф сх. Уравнения движения аналогичны (5.8), при отсутствии демпфирования они имеют вид:

mu v +суиу =mco2esin(ot)

На рис. 5.15, а показана зависимость амплиту­ ды колебаний ротора от частоты вращения.

Рис. 5.16. Статический прогиб ротора с подвижной анизо­ тропией под действием силы тяжести

ческих прогибов при вращении ротора с валом эл­ липтического сечения. Вследствие зависимости жесткости от угла поворота относительно непод­ вижных координат t и вектора силы тяжести, про­ гиб вала за один оборот ротора изменяется два раза. Это соответствует динамической нагрузке, имею­ щей частоту, в два раза превышающую частоту вращения ротора. Движение ротора в этом случае представляет собой прямую несинхронную пре­ цессию.

5.8. Вынужденные колебания и критические частоты вращения роторов

До сих пор обсуждались ситуации, когда вынуж­ денные колебания роторов на критических режи­ мах возникали вследствие неуравновешенности. Это - основная, но не единственная причина коле­ баний роторов. Вынужденные колебания могут возникать под действием любых внешних перио­ дических сил или вследствие колебаний опор (это так называемое кинематическое возбуждение).

Периодические силы, действующие на ротор, как и в случае лопаток (см. разд. 4.8), могут быть разложены на гармонические составляющие. Ча­ стоты некоторых из этих составляющих кратны частоте вращения ротора ксо (где к -номер гармо­ ники).

Источником таких возбуждающих сил может быть окружная неравномерность газового потока в проточной части, которая инициирует динами­ ческое воздействие на лопатки, передаваемое че­ рез диски на вал. Окружная неравномерность по­ тока может быть связана с наличием «затеняющих» элементов, конструкцией камеры сгорания, овализацией корпуса, зубчатыми передачами и т.д.

Другой источник возбуждения колебаний рото­ ра - подшипники качения в его опорах. Причиной может быть овальность внутреннего кольца под­ шипника, неуравновешенность сепаратора, а так­ же дефекты на внутреннем или наружном кольцах

Рис. 5.17. Несовершенство соединений роторов

и периодическое изменение жесткости при враще­ нии тел качения вместе с сепаратором. Перемен­ ные нагрузки имеют частоту приблизительно в два раза ниже частоты вращения ротора (к = 0,5) или высокие частоты, кратные количеству тел качения.

Кинематическое возбуждение колебаний ротора может быть связано с колебаниями летательного аппарата, передающимися через подвеску двигате­ ля на опоры ротора. Обычно это - низкочастотные колебания.

Источниками возбуждения колебаний могут быть вибрации винта, редукторов и трансмиссией в турбовинтовых и турбовальных двигателях, если ротор двигателя непосредственно соединен с ними. Номера гармоник в этом случае обычно нецелые, равны отношению частот вращения роторов.

Еще одна причина возбуждения колебаний - не­ совершенства в соединениях роторов. Характерные несовершенства во фланцевых соединениях: нару­ шение центровки посадочной поверхности флан­ ца (радиальное биение), неперпендикулярность торцевых контактных поверхностей осям враще­ ния (торцевое биение), поперечное и угловое сме­ щения соединяемых валов в месте соединения (см. рис. 5.17). При принудительном центрировании со­ единения вал изгибается, возникают дополнитель­ ные нагрузки: изгибающий момент Мизги попереч­ ная сила Q. Эти нагрузки и изогнутая ось ротора неподвижны относительно статора. Под их действи­ ем, как и при действии силы тяжести, в изотроп­ ных роторах колебания возникать не будут, а в ани­ зотропных возникнут колебания с частотой, в два раза превышающей частоту вращения (£=0,5).

Резонанс, проявляющийся как критический ре­ жим вращения ротора, наступает при совпадении частоты одной из гармонических составляющих вынуждающей силы с одной из собственных час­ тот колебаний ротора/?,. Учитывая, что ротор пред­ ставляет собой колебательную систему с бесконечным числом степеней свободы, условие, из которого определяются критические частоты вра­ щения ротора, имеет вид: