книги / Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 4 Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок

3.2. Расчет напряжений в диске в плоской оссесимметричной постановке

Рассмотрим простейшую модель плоского осе­ симметричного напряженного состояния диска. В основе этой модели лежат следующие допуще­ ния:

-в каждой точке диска действуют только ради­ альные и окружные напряжения c Rи а^ осталь­ ные компоненты тензора напряжений малы по сравнению с ними (см. рис. 3.3), т.е. имеет место плоское напряженное состояние;

-реальный диск заменяется телом вращения

споперечным сечением, симметричным относи­ тельно плоскости вращения (см. рис. 3.4, а), его толщина - функция радиуса Ь(г)\

-наружная поверхность диска считается цилин­ дрической, проходящей по впадинам замковых па­ зов (ее радиус - Rf); действие отброшенных высту-

Рис. 3.3. Напряжения в диске

пов диска и лопаток заменяем равномерно распре­ деленной по наружной поверхности радиальной нагрузкой а ЛЛ;

-диск считается неравномерно нагретым и на­ груженным только центробежными силами лопа­ ток и масс самого диска;

-температура диска и искомые напряжения счи­ таются неизменными по окружности, равномерно распределенными по толщине и зависящими толь­ ко от радиуса г;

-считается, что напряжения в диске не превы­ шают предела пропорциональности материала; это допущение позволяет воспользоваться принципом суперпозиции, т.е. считать суммарные напряжения

вдиске от всех нагрузок суммой напряжений от каждой из них в отдельности.

Принятые допущения не позволяют описать де­ формацию изгиба диска и локальные особенности напряженного состояния вблизи пазов под лопат­ ки, фланцев, отверстий, галтелей, местных утол­ щений и т.д. Эти трехмерные эффекты, как и про­ явления пластичности и ползучести, рассмотрены ниже.

Рассмотрим произвольный объемный элемент диска ЛЯСО (см. рис. 3.4, б), ограниченный цилин­ дрическими поверхностями радиусов г и r+dr и ме­ ридиональными плоскостями с углом d<p между собой. К выделенному элементу приложена цент­ робежная сила его массы dPaи поверхностные силы dQ, dQ' и dT, заменяющие действие на элемент от­ брошенной части диска. Радиальные силы dQ и dQ', приложенные соответственно к внутренней и наружной цилиндрическим поверхностям элемен­ та - равнодействующие напряжений GR и Or+ doR. Окружные силы dT- равнодействующие окружных

напряжений они одинаковы на обеих боковых поверхностях элемента в силу принятого допуще-

ния об окружной симметрии напряженно-дефор­ мированного состояния.

Элементарная центробежная сила, действующая на выделенный элемент, равна

где р - плотность материала диска; dm - масса выделенного элемента.

Для перечисленных выше сил, действующих на выделенный элемент, получим:

dQ' = (оR+ doQ(b + db)(r +dr)dtp ~

(3.3)

~(oRb r + oRrdb + brdoR+oRbdr)dip,

Сумма проекций всех сил на окружное направ­ ление тождественно равна нулю, а сумма проек­ ций сил на радиальное направление дает:

Полагая dip/2 настолько малым, что

sin dip/2~ dip/2,

и подставляя выражения для элементарных сил (3.1...3.4) в (3.5), получим после сокращения на dip и деления на brdr искомое уравнение равнове­ сия в виде:

Ь dr

Это уравнение содержит две неизвестные вели­ чины oRи ог для определения которых необходи­ мо еще одно уравнение.

Рассмотрим деформации выделенного элемен­ та (см. рис. 3.3, в). Перемещение произвольной точки диска в силу симметрии происходит в ра­ диальном направлении, а его величина зависит только от радиальной координаты этой точки. При деформации элемента ABCD его граница AD сме­ щается в радиальном направлении на величину и(г), а граница ВС на величину u+du/drdr. Угло­ вой размер dip не изменяется.

Радиальная деформация есть относительное уд­ линение элемента в радиальном направлении:

du

Абсолютное удлинение элемента в окружном направлении выражается через радиальное пере­ мещение и как 2к(г+и)-2кг = 27Ш, а окружная де­ формация элемента составляет:

_ 2п(г+и)-2пг _ и

2кг г

Выразив перемещение и из (3.8) и подставив его в (3.7), получим соотношение:

Оно выражает основное свойство сплошной среды: для того, чтобы объект, сплошной до дефор­ мации, оставался таковым и после деформации, компоненты деформации должны находиться в оп­ ределенной зависимости между собой, называемой условием совместности деформаций.

В рамках принятого выше допущения о линей­ ной упругости материала диска связь между напря­ жениями и деформациями выражается обобщенным законом Гука, который для плоского напряженного состояния имеет вид:

ег^^г-МвлЭ+а*’ (ЗЛ0)

где Е - модуль упругости материала; |1 - коэффициент Пуассона;

а - коэффициент линейного расширения;

/- температура.

В правой части уравнений (3.10) первое слагае­ мое выражает упругую деформацию под действи­ ем внешних сил, а второе - температурную состав­ ляющую деформаций.

Подставляя выражения (3.10) в уравнение со­ вместности деформаций (3.9), получим уравнение совместности деформаций, записанное в напряже­ ниях:

Л^•(стг -ц с т л)+ а?

откуда после преобразований для случая £=const:

d a T

И Г - и dr

(3.11)

+ £ а — =0 dr

Уравнения (3.6) и (3.11) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных урав­ нений первого порядка с двумя неизвестными c R и а г

Для решения системы дифференциальных уравнений необходимо знание граничных усло­ вий. В рассматриваемом случае они представля­ ют собой известные значения напряжений на на­ ружной и внутренней цилиндрических поверхно­ стях диска:

(ЗЛ2)

На рис. 3.5 показаны варианты граничных ус­ ловий. На наружном контуре диска напряжения aRb заменяют центробежные силы рабочих лопаток и замковых выступов диска и могут быть опреде­ лены по формуле:

которое вытекает из равенства нулю радиального перемещения в центре диска и симметрии нагру­ жения в центре диска.

Уравнения (3.6) и (3.11) вместе с граничными ус­ ловиями (3.12) или (3.14) представляют полную математическую формулировку задачи, решение которой дает напряженное состояние в любой точ­ ке диска.

Аналитическое решение сформулированной выше задачи удается получить лишь для диска по­ стоянной толщины, а также для случаев, когда тол­ щина диска изменяется по радиусу по линейному или гиперболическому закону. В практических расчетах приходится прибегать к численным ме­ тодам. Рассмотрим один из вариантов метода ко­ нечных разностей, широко используемого в рас­ четах дисков.

Меридиональное сечение диска разобьем на п участков кольцевыми сечениями. Для каждого /-го сечения известны радиус г., толщина диска Ь., тем­ пература г. Необходимо найти напряжения в этих сечениях, которые обозначим c Ri и с гг Производ­ ные в уравнениях (3.6) и (3.11) заменим конечны­ ми разностями:

где Pt i и Р вшдш- центробежные силы лопатки и вы­

радиусе Rb.

В частном случае отсутствия рабочих лопаток или других внешних воздействий на наружном кон­ туре диска oRb= 0.

Граничные условия на внутренней поверхнос­ ти г =Raопределяются условиями его закрепления. Если диск свободно посажен на вал или его цент­ ральное отверстие свободно, то c Ra= 0. Если диск посажен на вал с натягом, и этот натяг не исчезает на рабочих режимах, на внутренней поверхности диска действует давление cRa= -#. Это давление и соответствующий ему натяг находят из условия совместности деформаций вала и диска. Отметим, что посадка диска с натягом приводит к увеличе­ нию напряжений на внутренней поверхности, ко­ торое и без того бывает значительным. Поэтому такой способ соединения вала с диском использу­ ется редко.

Для диска без центрального отверстия вместо второго из граничных условий (3.12) выступает условие:

_ Ьм -Ь,

Подставляя (3.15) в уравнения (3.6) и (3.11), вы­ разим напряжения в каждом последующем сече­ нии через их значения в предыдущем сечении:

° км =<* R,+(>',+\~П) - Ч * п - 0 -

+° ь - Е аЬа—к

Алгоритм расчета напряжений состоит из сле­ дующих этапов:

1) на внутреннем контуре диска задаемся вели­ чинами напряжений (а^)1и (а^)1, причем первым из них задаемся в соответствии с граничными усло­ виями на внутренней поверхности, а вторым - про­ извольно. Для сплошного диска задаем (а^)1= (стТаУ; для ускорения сходимости при назначении началь­ ного значения (с Та следует ориентироваться на результаты расчета аналогичных дисков;

2)переходя последовательно от внутреннего контура к следующим сечениям, определяем (Gr) ]

и(вгу из уравнений (3.16). В результате получаем на наружном контуре значения напряжений в пер­ вом приближении (oRh)]и (а^)1;

3)из граничных условий на наружном контуре известна истинная величина GRb. По разнице пер­ вого приближения (aRbY и заданного GRb определя­ ем поправку, которую надо внести в значение (аГо)' первого приближения, чтобы получить (оТ() 2вто­ рого приближения, далее повторяем пункты 2 и 3.

Процедура повторяется до тех пор, пока разни­ ца полученных в очередном приближении радиаль­ ных напряжений на наружной поверхности с гра­ ничными условиями не станет меньше заданной погрешности.

В конструкциях дисков часто встречаются зоны резкого изменения толщины: переход развитой сту­ пицы к полотну и переход полотна к ободу, в мес­ тах крепления дефлекторов и лабиринтов и т.д. (см. рис. 3.6). Резкое изменение толщины диска приво­ дит к скачкообразному изменению напряжений. Рассмотрим последовательность определения на­ пряжений в таких зонах.

Пусть напряжения G R] и а п на радиусе Л, в час­ ти диска с толщиной 6, известны и необходимо определить величины с Л|* и G t * на том же радиусе Rp но в части диска с толщиной Ь*. Из условия равновесия радиальных усилий в сечении 1-1 сле­ дует 6,*аЛ1Ф= оЛ1Ьх, откуда:

* _

VRi-ViH -j'— (3.17)

Окружное напряжение <тл * в сечении 1-1 определяется из условия равенства окружной деформа­ ции поверхности стыка ел = ел Фдля частей диска с толщинами Ьхи Ь*. Представляя деформации че­ рез напряжения из закона Гука (3.10), получим:

h

3.3. Общие закономерности напряженного состояния дисков

В рамках принятого допущения о линейно-уп­ ругом поведении материала суммарные напряжения в диске можно рассматривать как сумму напряже­ ний, определенных отдельно от каждой из нагру­ зок: центробежных сил масс диска, контурной на­ грузки и нагрева. Некоторые закономерности напряженного состояния дисков при действии центробежных сил и перепада температур меж­ ду ободом и ступицей видны непосредственно из системы уравнений (3.2), (3.11) и граничных ус­ ловий.

Центробежные силы лопаток и масс диска про­ порциональны квадрату частоты вращения, а нап­ ряжения, в силу линейности уравнений и гранич­ ных условий, пропорциональны нагрузкам. Отсюда следует, что, если частоту вращения диска увели­ чить в к раз, то напряжения от центробежных сил вырастут в к2раз.

Если модуль упругости материала одинаков во всех точках диска, его величина фигурирует в ма­ тематической модели только в качестве коэффици­ ента перед производной температуры по радиусу в (3.11). Следовательно, в равномерно нагретом дис­ ке напряжения не зависят от модуля упругости.

Температура в уравнениях напряженного состо­ яния диска представлена только в виде производ­ ной по радиусу. Отсюда следует, что в равномерно нагретом диске температурные напряжения отсут­ ствуют. При изменении температуры диска на одну и ту же величину по всем радиусам напряжения вдиске не изменятся. При возрастании температу­ ры диска по всем радиусам в к раз их градиент

итемпературные напряжения увеличиваются тоже

вА: раз.

Рассмотрим напряжения в диске постоянной толщины. Для этого случая уравнения напряжен­ ного состояния имеют аналитическое решение. Для диска с отверстием [3]:

J.3. Общие закономерности напряженного состояния дисков

где Q(R) = ~1\RГa - t ( R ) d R

^Ra

Всоотношениях (3.19) первое слагаемое выра­

жает напряжения от нагрузки на внешнем контуре от центробежных сил лопаток, второе - от нагруз­ ки на внутреннем контуре, третье - от центробеж­ ных сил собственно диска, четвертое - температур­ ные напряжения.

Если температура от ступицы к ободу изменяет­ ся по степенному закону с показателем степени п:

Для сплошного диска [3]:

=+ 4 ^ P « > 2fe 2 - 4 ) +

1 R

где Q(R)= ±r\Ra-t(R)dR

R~ D

На рис. 3.7 показан характер изменения по ра­ диусу напряжений от центробежных сил oRifи а Г(/, температурных напряжений aRt и оТ1и суммарных c R1 и о ^ в диске постоянной толщины без цент­ рального отверстия и с отверстием. В качестве об-

щих закономерностей напряженного состояния дисков постоянной толщины можно выделить бо­ лее высокий уровень окружных напряжений по сравнению с радиальными и большая напряжен­ ность ступицы по сравнению с ободом.

Тангенциальные и окружные напряжения от центробежных сил всегда растягивающие. В отли­ чие от них, окружные температурные напряжения при типичном для стационарного режима поля тем­ ператур имеют положительный знак на ступице и отрицательный на ободе. Наличие на ободе сжи­ мающих тангенциальных напряжений о Т1объясня­ ется тем, что более горячие волокна обода диска стремятся расшириться, но более «холодная» сту­ пица препятствует этому и вызывает сжатие обо­ да. Обратное воздействие обода на ступицу вызы­ вает появление растягивающих с Т1 в ступице. В дисках турбин и последних ступеней компресоров высокого давления окружные температурные напряжения достигают 50% от суммарных напря­ жений.

Так называемый обратный градиент темпера­ туры, когда ступица диска горячее обода, возника­

ет на режимах остановки двигателя. При этом рас­ пределение тангенциальных температурных на­ пряжений имеет противоположный характер: сжа­ тие в области ступицы и растяжение в ободе.

В дисках постоянной толщины с центральным отверстием окружные напряжения в ступице зна­ чительно выше, чем в таких же дисках без отвер­ стия. Наличие даже самого малого центрального отверстия приводит к падению на контуре отвер­ стия радиальных напряжений до нуля и увеличе­ нию окружных напряжений почти вдвое по срав­ нению со сплошным диском. По конструктивным соображениям диски часто выполняют с централь­ ным отверстием, а снижения напряжений добива­ ются увеличением толщины ступицы.

Диск постоянного сечения нагружен неравно­ мерно: суммарные напряжения в периферийной ча­ сти меньше, чем в ступице. В этом смысле его фор­ ма нерациональна. Ненагруженный, «лишний» материал не только неоправданно увеличивает мас­ су диска, но и нагружает ступицу дополнительны­ ми центробежными силами. Поэтому диски обыч­ но имеют меридиональное сечение, сужающееся

к ободу. Ниже будет показано, что в принципе мож­ но спроектировать диск, имеющий одинаковые ста­ тические напряжения по всему сечению. Такие дис­ ки иногда называют «равнопрочными», хотя точнее было бы называть их «равнонапряженными». Дело в том, что равные напряжения не означают одина­ ковые значения показателей прочности. Реальные диски обычно не удовлетворяют полностью усло­ виям равенства показателей прочности по объему, однако при проектировании отдельных участков следует к этому стремиться.

Распределение напряжений в реальных дисках переменной толщины может быть достаточно слож­ ным. На рис. 3.8 приведен пример поля напряже­ ний в реальном промежуточном диске турбины вы­ сокого давления. Видно, что, несмотря на утолщение ступицы, суммарные окружные напряжения на внут­ ренней поверхности выше, чем в ободе. При пере­ паде температур между ободом и ступицей в 300 градусов температурные напряжения в ступице со­ ставляют около 20% от суммарных, в ободе - боль­ ше половины. Радиальные напряжения в средней части полотна примерно в два раза меньше окруж­ ных. Максимальные суммарные напряжения - на внутренней поверхности.

3.4. Пластические деформации в дисках. Автофретирование дисков

Приведенные выше основные уравнения для определения напряжений в дисках были получены в предположении упругого поведения материала диска, когда максимальные напряжения в диске не

превышают предела пропорциональности. Опыт доводки и эксплуатации двигателей показывает, что появление пластических деформаций в ступице само по себе не означает его разрушения, а лишь ведет к перераспределению напряжений. Более того, допуская более высокий, чем предел пропор­ циональности, уровень напряжений в диске, мож­ но уменьшить его вес. Важно, как будет показано ниже, чтобы пластическая деформация не приво­ дила к потере несущей способности диска, то есть не охватывала полностью его меридиональное се­ чение. В большинстве дисков современных турбин высокого давления материал испытывает пласти­ ческие деформации.

Для анализа напряженно-деформированного состояния диска с учетом пластичности материала используется метод переменных параметров упру­ гости, описанный в разд. 1.9. Напомним, что этот метод сводит решение задачи о пластическом по­ ведении конструкции к последовательности более простых задач, в которых материал считается ли­ нейно упругим. При расчете дисков метод перемен­ ных параметров упругости часто применяется вме­ сте с методом конечных разностей (см. разд. 3.2). Расчет требует наличия достоверных эксперимен­ тальных данных о диаграмме растяжения матери­ ала а - £ для рабочих температур. Результатом рас­ чета являются кривые распределения радиальных и окружных напряжений по радиусу диска.

На рис. 3.9 приведен пример распределения на­ пряжений в диске турбины высокого давления. Показаны суммарные радиальные и окружные на­ пряжения, полученные как в предположении уп­ ругого поведения материала, так и с учетом плас-