книги / Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 4 Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок

На рис.4.7 показаны первые три собственные формы колебаний лопатки, приведенной на рис. 4.6. Первая форма колебаний - изгибная с од­ ной узловой линий, приходящейся на замок. Вто­ рая форма также изгибная, имеет нулевые осевые перемещения еще и на бандажной полке. Третья форма - крутильная, узловая линия проходит вдоль всего пера и ножки.

Расчет собственных частот колебаний лопатки, приведенной на рис.4.6, с использованием стерж­ невой модели дает значение первой изгибной час­ тоты колебаний 1 0 7 2 Гц, с использованием 3 D - K O - нечноэлементной модели (без учета контакта

вбандажной полке) - 1005 Гц. Такое расхождение

взначении первой изгибной частоты колебаний (~6%) можно считать вполне приемлемым. Часто­ та колебаний по второй изгибной форме отличает­ ся уже на - 2 5 % , частоты колебаний более высоких форм могут отличаться в несколько раз. Таким об­ разом, проведение анализа частотных характерис­ тик лопаток по стержневой модели следует огра­ ничивать анализом первой изгибной частоты колебаний.

Метод конечных элементов позволяет наряду

скартиной деформации детально проанализиро­ вать характер распределения напряжений при ко­ лебаниях лопатки по той или иной собственной форме. На рис.4.7 видно, что при всех трех фор­ мах колебаний наиболее нагруженными являются входная и выходная кромки профильной части. При колебаниях по первой изгибной форме в рассмат­ риваемой лопатке наибольшие напряжения возни­ кают на входной кромке со стороны корыта вблизи корневого сечения. При колебаниях по второй из­ гибной форме - в средней части на выходной кром­ ке и на спинке. При колебаниях по крутильной фор­ ме наиболее напряженные зоны - входная кромка со стороны корыта в прикорневом сечении и вы­ ходная кромка со стороны корыта вблизи полки. Эта информация необходима при дальнейшем экспери­ ментальном подтверждении усталостной прочнос­ ти лопатки для определения мест установки тензорезисторов для измерения вибронапряжений.

4.4. Влияние конструктивных и эксплуатационных факторов

на собственные частоты колебаний лопатки

Конструктивными факторами, влияющими на собственные частоты колебаний лопатки, являют­ ся ее форма и размеры, а также свойства материа­ ла. Для анализа влияния этих факторов на собствен­ ные частоты колебаний лопатки по изгибным и крутильным формам рассмотрим сначала соот­ ношения (4.13).

Влияние материала лопатки на собственные ча­ стоты колебаний определяется квадратным корнем из отношения модуля упругости к плотности ма­ териала. Эта величина для нержавеющих жаро­ прочных сталей, жаропрочных сплавов на никеле­ вой основе, алюминиевых и титановых сплавов при комнатной температуре лежит в пределах 4950...5070 м/сек. Таким образом, различие в соб­ ственных частотах лопаток из указанных материа­ лов при одинаковых прочих параметрах уклады­ вается менее чем в 3%. Следовательно, изменение материала практически не приводит к изменению собственных частот. Существенное изменение соб­ ственных частот (почти двукратное снижение) про­ исходит лишь в случае, когда лопатка изготавлива­ ется из стеклоили углепластика, Заметим, что речь идет о собственных частотах, а не о прочностных характеристиках материала и демпфировании ко­ лебаний.

Из геометрических факторов, определяющих собственные частоты колебаний, выделим длину пера лопатки L, и основные размеры поперечных се­ чений пера - хорду Ъи толщину с профиля. Наибо­ лее очевидно влияние длины лопатки. Собственные частоты изгибных и крутильных колебаний, как сле­ дует из (4.13), при прочих равных условиях обрат­ но пропорциональны квадрату длины лопатки.

Влияние формы и размеров корневого сечения лопатки на собственные частоты изгибных коле­ баний в соответствии с (4.13) определяется отно­ шением момента инерции 10 к площади F0 этого сечения. Площадь сечения можно в первом при­ ближении считать пропорциональной толщине профиля с, а момент инерции - пропорциональным третьей степени толщины. Тогда из (4.13) следует, что собственные частоты изгибных колебаний при­ ближенно пропорциональны толщине профиля кор­ невого сечения. Для крутильных колебаний, как следует из (4.13), определяющим собственные ча­ стоты геометрическим параметром корневого се­ чения является отношение момента инерции при кручении к полярному моменту инерции 7^/7 . Это отношение приближенно пропорционально (с/Ь)2у следовательно собственные частоты крутильных колебаний приближенно пропорциональны отно­ шению толщины профиля к его хорде.

Влияние на собственные частоты изгибных ко­ лебаний характера изменения профиля по длине лопатки отражено в (4.13) коэффициентами а и р;. С уменьшением отношения площади периферий­ ного сечения лопатки к корневому ее жесткость увеличивается, а собственные частоты возрастают. Так, в частности, для лопатки с двукратным умень­ шением площади сечения низшая собственная ча­ стота изгибных колебаний возрастает приблизи­ тельно на 20%.

Рис. 4.8. Зависимость собственных частот изгибных коле­ баний от частоты вращения ротора

Рис. 4.9. Влияние жесткости крепления лопатки в диске на собственную частоту колебаний

Из эксплуатационных факторов наиболее суще­ ственное влияние на собственные частоты колеба­ ний рабочих лопаток оказывают рабочая темпера­ тура и частота вращения ротора. С ростом темпе­ ратуры падает модуль упругости материала. Как видно из (4.13) собственные частоты уменьшают­ ся в соответствии с соотношением:

где р20и pt - значения собственной частоты при комнатной температуре 20°С и рабочей температуре /;

£20и Е(- значения модуля упругости при комнатной температуре 20°С и рабочей температуре t.

Влияние частоты вращения ротора связано с дей­ ствием центробежных сил. При повышении часто­

ты вращения собственные частоты изгибных ко­ лебаний возрастают за счет условного повышения изгибной жесткости пера лопатки. Этот эффект описывается соотношением (4.18).

С повышением частоты вращения ротора по­ вышается температура газа в проточной части дви­ гателя и увеличивается температура лопаток. Это приводит к падению собственной частоты из-за снижения модуля упругости материала в соответ­ ствии с (4.20). Характер изменения собственных частот изгибных колебаний с увеличением часто­ ты вращения ротора показан на рис.4.8. Пунктир­ ными линиями показана зависимость собственной частоты от частоты вращения с учетом совместно­ го действия обоих эффектов. Наиболее характерно такое изменение собственных частот в случае «го­ рячих» лопаток турбин и последних ступеней комп­ рессоров. Для «холодных» лопаток первых ступе­ ней компрессора характерно изменение собственных частот, показанное сплошными линиями.

При низких частотах вращения жесткость креп­ ления лопатки в диске снижена из-за неплотного прилегания по контактным поверхностям замка. По мере увеличения частоты вращения жесткость креп­ ления повышается благодаря увеличению центро­ бежных сил и собственная частота возрастает. Сни­ жение собственной частоты наблюдается при низких частотах вращения ротора, ниже полови­ ны максимального режима (см. рис.4.9).

4.5. Нестационарные газодинамические силы, действующие на лопатку

Колебания лопаток возбуждаются внешними, главным образом, газодинамическими силами, из­ меняющимися во времени с частотами порядка сотен и тысяч герц. Понимание причин появления этих сил, умение оценить их параметры на стадии проектирования позволяют исключить вибрацион­ ные поломки лопаток, упростить эксперименталь­ ную доводку двигателя, повысить его надежность.

Основным источником переменных газодинамическмх сил, возбуждающих колебания лопаток, яв­ ляется окружная неравномерность потока в проточ­ ной части двигателя. Она связана со следующими факторами: неравномерностью на входе в двига­ тель; влиянием элементов конструкции, находящих­ ся в проточной части; влиянием перепуска и отбо­ ра воздуха из компрессора; неравномерностью па­ раметров на выходе из камеры сгорания; окружной неравномерностью радиальных зазоров. Кроме того, колебания лопаток могут возникнуть в резуль­ тате так называемого кинематического возбуждения вследствие колебаний роторов, шестерен и др., а также в результате «вращающегося срыва» пото-

Рис. 4.10. Изменение полного давления по окружности

проточной части при обтекании затеняющих

элементов

ка в компрессоре. Рассмотрим отдельно каждый из этих факторов.

Неподвижные элементы конструкции, находя­ щиеся в проточной части, так называемые «зате­ няющие» элементы - лопатки статора, стойки, жа­ ровые трубы и др. Механизм возникновения переменных газодинамических сил в этом случае следующий. Затеняющие элементы вызывают по­ явление зон пониженного полного давления (см. рис. 4.10). Рабочая лопатка, вращаясь в проточной части и проходя последовательно зоны повышен­ ного и пониженного давления, испытывает дей­ ствие переменной газодинамической нагрузки, из­ меняющейся несколько раз за один оборот лопатки. Именно эта нагрузка, повторяясь от оборота к обо­ роту, возбуждает колебания лопатки. Возмущения от затеняющих элементов распространяются вниз по потоку и действуют на лопатки ближайших трех­ четырех ступеней, расположенных за источником возмущений. Кроме того, в дозвуковом потоке воз­ мущения возникают и выше по потоку, создавая переменные нагрузки на лопатки предыдущих сту­ пеней.

Поток воздуха на входе в двигатель может быть неравномерным при несимметричной форме кана­ ла воздухозаборником, при подводе воздуха по двум каналам. Эта неравномерность обуславлива­

ет появление переменных сил, возбуждающих ко­ лебания лопатки. Неравномерность также может быть связана с влиянием фюзеляжа, крыла и дру­ гих элементов самолетной конструкции, а также наличием касательной составляющей скорости воз­ духа на входе в двигатель, возникающей при боко­ вом ветре или движении самолета со скольжением на крыло. Вследствие этого один и тот же двига­ тель на разных самолетах или в разных условиях эксплуатации может иметь различия в переменных газодинамических силах.

Перепуск и отбор воздуха из компрессора вы­ зывают увеличение скорости в зонах отбора и из­ менение газодинамической силы при прохождении лопаток через эти зоны.

Неравномерность газового потока на выходе из камеры сгорания обусловлена конечным числом форсунок. В зонах повышенной температуры изме­ няется давление и скорость газа. Кроме того, воз­ можно существование некоторой неравномерности в работе форсунок: различие в расходе топлива и его распылении. В этом случае появляются до­ полнительные переменные силы.

Окружная неравномерность радиального зазора также является причиной неравномерности пото­ ка. Она является следствием погрешностей изготов­ ления корпуса или его деформации («овализации») при работе. В этом случае во время вращения рабо­ чей лопатки изменяется радиальный зазор между ней и корпусом, скорость движения газа в зазоре и действующая на лопатку газодинамическая на­ грузка.

Колебания дисков, валов роторов, шестерен мо­ гут приводить к кинематическому возбуждению ко­ лебаний рабочих лопаток, когда лопатки нагружа­ ются через хвостовик переменными силами инер­ ции, величина которых зависит от массы лопатки, частоты и амплитуды колебаний диска. В двухвальных двигателях частоты таких колебаний необяза­ тельно кратны частоте вращения ротора.

Специфическим механизмом возбуждения ко­ лебаний лопаток компрессора является вращаю­ щийся срыв. Напомним механизм его развития (см. рис. 4.11). Вначале из-за локального наруше­ ния однородности набегающего на колесо потока происходит превышение критического угла атаки и возникает срыв потока на спинке одной или не­ скольких из лопаток. Расход воздуха через соот­ ветствующие межлопаточные каналы уменьшает­ ся. На рис. 4.11 срыв потока сначала возник в межлопаточном канале 1. Это приводит к изме­ нению направления набегающего потока на сосед­ них лопатках: на лопатках со стороны спинки угол атаки увеличивается и теперь уже на них возника­ ет срыв (канал 2). Угол атаки на исходных лопат­ ках уменьшается и срыв на них прекращается (ка-

Зона

Рис. 4.11. Вращающийся срыв потока с лопаток осевого компрессора

нал 4). Зона срыва, таким образом, перемещается относительно лопаток в направлении, противопо­ ложном вращению, а относительно статора враща­ ется в ту же сторону, что и ротор, но приблизи­ тельно в два раза медленнее. Одновременно может существовать несколько зон срыва. Лопатки, пери­ одически попадая в зону срыва, испытывают дей­ ствие переменных сил, возбуждающих колебания. Колебания, связанные с вращающимся срывом, имеют нерегулярный характер из-за неустойчиво­ сти количества и размеров зон срыва; это затруд­ няет их выявление и устранение при доводке дви­ гателя.

4.6. Автоколебания лопаток

Автоколебания - специфический вид вынужден­ ных колебаний лопаток. Характерной особенностью автоколебаний является то, что они происходят при отсутствии каких либо пульсаций набегающего на лопатки потока, которые можно было бы связать с рассмотренными выше внешними источниками возбуждения колебаний. Обычно автоколебаниям подвержены лопатки компрессоров. Автоколебания очень опасны из-за резкого возрастания амплитуды вибронапряжений, поэтому при проектировании лопаток их предотвращению уделяется особое вни­ мание.

Автоколебания представляют собой самовозбуждающиеся незатухающие колебания, поддер­ живающиеся за счет периодического подвода энер­ гии из набегающего потока, который при этом может быть вполне равномерным.

С энергетической точки зрения сущность ав­ токолебаний состоит в следующем. При колеба­ ниях лопатки в равномерном набегающем потоке вследствие этих колебаний возникает и действует на лопатку дополнительная переменная газодина­ мическая сила. При обычных затухающих коле­

баниях она оказывает сопротивление колебаниям лопатки и обеспечивает их затухание. При авто­ колебаниях пополнение энергии колебаний лопат­ ки происходит за счет работы, совершаемой этой переменной газодинамической силой. Сила, воз­ никающая в результате колебаний, раскачивает ло­ патку. Ее не следует путать с переменной газоди­ намической силой, действующей на лопатку в неравномерном потоке.

Рассмотрим механизм возникновения автоколе­ баний по первой изгибной форме (см. рис. 4.12.). Для простоты будем считать, что колеблется отдельный профиль, совершающий плоскопараллельное движе­ ние в направлении перпендикулярном хорде. В недеформированном состоянии на лопатку, движущу­ юся со скоростью w, набегает равномерный поток с абсолютной скоростью с, относительной скорос­ тью w, углом атаки /, создающий силу Р, действую­ щую в окружном направлении в сторону спинки.

Пусть профиль лопатки в процессе колебаний движется в направлении спинки со скоростью V (см. рис.4.12, а). При этом окружная скорость ло­ патки уменьшается на величину Aw = - V, а угол ата­ ки - на величину А/. При докритических углах ата­ ки (/ < iKp) это приводит к уменьшению силы Р, стремящейся изогнуть лопатку, то есть появляется дополнительная сила, обусловленная деформаци­ ей лопатки, направленная в сторону корыта и стре­ мящаяся вернуть лопатку в положение равновесия (см. рис.4.12, в). При этом амплитуда колебаний снизится. В полуцикле движения лопатки в сторо­ ну корыта (см. рис.4.12, б) окружная скорость ло­ патки увеличивается на величину Aw = V, что при­ водит к увеличению силы Р то есть появлению дополнительной силы, направленной в сторону спинки и стремящейся вернуть лопатку в положе­ ние равновесия. Таким образом, при работе лопат­ ки на докритических углах атаки дополнительная газодинамическая сила, возникающая вследствие изгибных колебаний лопатки, стремится эти коле­ бания заглушить.

На закритических углах атаки (/ > iKp) при дви­ жении лопатки в сторону спинки и уменьшении угла атаки сила Р увеличивается (см. рис. 4.12, в)

истремится еще больше увеличить прогиб лопат­ ки. То же происходит в полуцикле движения ло­ патки в сторону корыта: дополнительная аэроди­ намическая сила направлена в сторону корыта

иувеличивает амплитуду колебаний. При работе на закритических углах атаки даже незначитель­ ное отклонение лопатки от положения равновесия вызывает появление сил, увеличивающих ампли­ туду колебаний. Такие колебания - вынужденные, вынуждающая сила возникает вследствие самих ко­ лебания. Вынуждающая сила совершает работу, по­ полняющую и увеличивающую энергию колебаний,

колебания являются самоподдерживающимися (ав­ токолебания). Их частота совпадает с собственной частотой колебаний лопатки по соответствующей форме. Возникнув, колебания будут быстро нарас­ тать и могут привести к поломке лопатки.

Рассмотрим работу, которую совершает аэроди­ намическая сила при изгибных колебаниях лопат­ ки. Пусть при колебаниях лопатки ее сечение пе­ ремещается по оси у со скоростью:

Изменение угла атаки А/ при колебаниях как видно из рис 4.12 можно выразить приближенно как:

Дополнительную аэродинамическую силу АР можно выразить через изменение угла атаки:

Работу этой силы за один период колебаний Т=2п/р определим интегрированием по времени:

= _dPV^_ros2pt dt = _dPVo_n (4 24)

di w * di pw

Как видно из (4.24) и рис. 4.12 на докритических углах атаки производная dP/di положительна, работа оказывается отрицательной и уменьшает

механическую энергию колебаний лопатки, а при закритических углах атаки - положительной, то есть увеличивает энергию колебаний.

Автоколебания, возникающие по описанному механизму, называют срывным флаттером. Он мо­ жет возникнуть при малых расходах воздуха через ступень компрессора, когда осевая составляющая скорости мала, а угол атаки / велик и может превы­ сить критический. Для исключения срывных авто­ колебаний необходимо исключить закритическое обтекание лопаток на всех режимах работы двига­ теля. Это обеспечивается противопомпажными средствами механизации компрессора.

Другие виды автоколебаний более сложны для изучения, но все их объединяет принципиальная особенность автоколебаний - периодический под­ вод энергии из набегающего потока вследствие самих колебаний. Изгибно-крутильный флаттер может возникнуть в случае сильно закрученных лопаток при сближении собственных частот ко­ лебаний по изгибной и крутильной формам. Для его исключения форму и размеры профильной части выбирают так, чтобы эти собственные час­ тоты на рабочих режимах различались не менее, чем на 15%.

Решетчатый флаттер возникает вследствие вза­ имодействия колеблющихся лопаток в рабочем ко­ лесе. Этот вид автоколебаний наиболее опасен, так как может возникнуть при докритических углах атаки. Для того, чтобы исключить решетчатый флаттер, подбирают соседние лопатки в рабочем колесе так, чтобы их собственные частоты отлича­ лись друг от друга. Такой способ называется дина­ мической расстройкой.

Экспериментальная проверка возможности ав­ токолебательных режимов проводится в ходе из­ мерения вибронапряжений в лопатках. Автоколе­ бания проявляются в виде резкого возрастания колебаний лопатки с частотой некратной частоте вращения ротора. В случае обнаружения автоко­ лебаний приходится проводить большой объем

работ по изменению конструкции лопаток. Поэто­ му особое значение придается расчетному анали­ зу автоколебаний на стадии проектирования.

Математическое моделирование автоколебаний предполагает решение связанной задачи аэроупру­ гости, то есть совместный анализ уравнений, опи­ сывающих движение воздуха, обтекающего лопат­ ку (или лопаточную решетку) и уравнений колеба­ ний лопатки. При этом принципиально важно, что граничные условия для газодинамических уравне­ ний задаются на движущихся границах - поверх­ ностях колеблющихся лопаток, а для уравнений, описывающих колебания, нагрузки на этих поверх­ ностях определяются из решения аэродинамической задачи. В работе [16] изложена методика математи­ ческого моделирования нестационарных явлений флаттера на основе численного решения уравнений Навье-Стокса для области с подвижными граница­ ми. Численное моделирование позволяет опреде­ лить распределение параметров потока в межлопа­ точных каналах при колебаниях лопаток в колесе по тем или иным собственным формам, рассчитать работу аэродинамических сил и на этой основе оце­ нить устойчивость к автоколебаниям. Несмотря на высокую трудоемкость, численное моделирование позволяет на стадии проектирования проверить воз­ можность автоколебаний лопаток и принять меры к их исключению.

4.7. Демпфирование колебаний лопаток

где A', A.+Jи А.+к- амплитуды колебаний в двух со­ седних циклах и через к циклов:

Как показано в разд. 1.19, логарифмический дек­ ремент пропорционален доле энергии, потерянной колебательной системой за один период колебаний. Чем больше значение 8, тем больше потери энер­ гии, тем быстрее затухают свободные колебания.

При вынужденных колебаниях демпфирование наиболее ярко проявляется на резонансных режи­ мах. Теоретически бесконечное возрастание амп­ литуды колебаний на резонансных режимах бла­ годаря демпфированию становится ограниченным. С увеличением логарифмического декремента ко­ лебаний амплитуда на резонансном режиме пада­ ет приблизительно обратно пропорционально 8, на нерезонансных режимах снижение амплитуды меньше (см. рис. 1.41). Переменные напряжения в лопатке при резонансных колебаниях также об­ ратно пропорциональны логарифмическому декре­ менту колебаний.

Принято выделять три причины (механизма) демпфирования колебаний лопаток: внутреннее трение в материале, сопротивление воздуха и кон­ струкционное демпфирование, связанное с трени­ ем на поверхностях сопряженных с лопаткой дета­ лей. Логарифмический декремент колебаний (4.26) отражает суммарное действие этих механизмов:

Демпфирование (от немецкого dampfen - умень­ шать, заглушать) колебаний лопаток происходит вследствие потерь механической энергии, превра­ щения ее в тепло (диссипации). Общие закономер­ ности проявления демпфирования в колебательных системах описаны в разд. 1.19. Здесь рассмотрим это явление применительно к колебаниям лопаток.

При свободных колебаниях демпфирование вы­ ражается в постепенном от цикла к циклу сниже­ нии амплитуды и последующем полном затухании колебаний. Если лопатка совершает свободные за­ тухающие колебания с одной из собственных час­ тот р, изменение во времени перемещения некото­ рой произвольной точки с координатами х, у, z происходит по закону затухающей синусоиды, как и для одномассовой системы (см. рис. 1.40):

U{x,у, z, t) = U0(х,у, z) ехр(-5//7) sin(pt+ <р) (4.25)

где Т=2п/р - период колебаний, 8 - логарифмический декремент,

характеризующий степень демпфи­ рования колебаний:

где ЪКР8^ и 6^ - составляющие декремента коле­ баний, обусловленный соответ­ ственно внутренним трением, аэродинамическим и конструкци­ онным демпфированием.

Внутреннее трение в материале обусловлено рассеянием энергии при пластическом деформи­ ровании. При однократном нагружении потери энергии вследствие пластической деформации мо­ гут быть незначительны, однако при циклическом нагружении они становятся заметными. Даже при напряжениях меньших предела упругости, когда макроскопические пластические деформации от­ сутствуют, пластические деформации возникают в микроскопических объемах и обеспечивают дис­ сипацию энергии. Эффект внутреннего трения про­ является, в частности, в нагреве колеблющейся детали.

Вклад внутреннего трения в демпфирование ко­ лебаний обычно незначителен. Логарифмический декремент, обусловленный внутренним трением, зависит от структуры материала, температуры и отношения размаха переменных напряжений

к пределу текучести. В типичных для колебаний лопаток условиях величина логарифмического дек­ ремента для сталей, алюминиевых и титановых сплавов составляет 0,002...0,008 (см., например, [5]). Значительно более высокие значения декре­ мента колебаний характерны для стеклопластиков -д о 0,12...0,13.

Аэродинамическое демпфирование возникает вследствие того, что при колебаниях лопатки на нее действует дополнительная переменная газодинами­ ческая сила, которая изменяется с частотой колеба­ ний, но в противофазе с ними. Механизм ее возник­ новения был пояснен выше при анализе причин автоколебаний лопаток. Напомним, что с энергети­ ческой точки зрения эта сила совершает отрицатель­ ную работу и тем самым уменьшает механическую энергию колебаний лопатки.

На величину аэродинамического демпфирова­ ния влияют форма лопатки, форма колебаний, плот­ ность и скорость потока газа. Чем выше амплиту­ да колебаний, тем больше аэродинамическое демпфирование. Поэтому для длинных и гибких компрессорных лопаток характерно значительно большее аэродинамическое демпфирование, чем для коротких и жестких. По этой же причине при первой изгибной форме колебаний аэродинамичес­ кое демпфирование выше, чем при более высоких формах. Значение логарифмического декремента 8, для компрессорных лопаток может составлять 0,005...0,09 [5].

Конструкционное демпфирование возникает вследствие потерь энергии на трение на поверхно­ стях контакта лопатки с сопряженными деталями: в замковых соединениях лопатки с диском, на кон­ тактных поверхностях антивибрационных (бан­ дажных) полок. Потери на трение возникают при взаимном смещении этих поверхностей при коле­ баниях и тем больше, чем больше поверхность тре­ ния и сила трения, пропорциональная контактно­ му давлению и коэффициенту трения.

Демпфирование в соединении лопатки с диском зависит от конструкции замка и центробежной силы, действующей на лопатку. На рис. 4.13 пока­ зана зависимость декремента колебаний от часто­ ты вращения ротора для замков типа «ласточкин хвост» (2), елочного (1) и шарнирного (3). Демп­ фирование в замках елочного типа и типа «ласточ­ кин хвост» невелико (Ъ= 0,002...0,01). Это связа­ но, главным образом, с тем, что мала поверхность контакта между лопаткой и пазом диска. По мере увеличения частоты вращения ротора центробежная сила прижимает лопатку к диску и площадь контак­ та, по которой сохраняется взаимное смещение при колебаниях, уменьшается. Принято считать, что при достижении 50...70% максимальной частоты враще­ ния конструкционное демпфирование в таких зам-

4.7. Демпфирование колебаний лопаток

Рис. 4.13. Зависимость конструкционного демпфирования в замках различного типа от частоты вращения ротора

ках практически исчезает. С увеличением темпера­ туры конструкционное демпфирование в замках этих типов уменьшается за счет уменьшения зазо­ ров. В замках елочного типа повышение конструк­ ционного демпфирования возможно за счет увели­ чения зазора по первому зубу замка («раззазоривание»). Это, однако, может привести к повышенному износу по поверхности первого зуба, недопустимо­ му в двигателях большого ресурса.

При колебаниях лопатки с замком шарнирного типа происходит вращательное движение хвосто­ вика относительно реборды диска. Сила трения оп­ ределяется осевой составляющей газодинамичес­ ких сил и с увеличением частоты вращения ротора растет. Поверхность контакта (боковая поверхность хвостовика) велика по сравнению с замками дру­ гих типов. Поэтому рассеяние энергии колебаний в замке шарнирного типа наиболее высокое.

Антивибрационные и бандажные полки в лопат­ ках не только изменяют собственные частоты, но обеспечивают дополнительное конструкционное демпфирование за счет трения по контактным по­ верхностям (см. рис. 4.14). Связанный с этим дек­ ремент колебаний может составлять до 0,05 в за­ висимости от формы колебаний и величины вибронапряжений [5]. Сила трения обеспечивает­ ся натягом по контактным поверхностям, который создается за счет закрутки лопаток при сборке. На рабочих режимах за счет удлинения лопаток при действии центробежных сил и нагрева натяг дол­ жен уменьшиться, однако вследствие крутильной деформации от действия центробежных сил этот эффект компенсируется и натяг даже несколько уве­ личивается с увеличением частоты вращения. При длительной наработке вследствие ползучести мате­ риала возможно необратимое удлинение лопаток.

лением вставок изменяются массовые и жесткостные характеристики колебательной системы, а зна­ чит и собственные частоты колебаний.

4.8. Вынужденные колебания лопаток. Резонансная диаграмма

Вынужденные колебания лопаток происходят под действием переменных во времени усилий, обусловленных, главным образом, окружной нерав­ номерностью газового потока. Переменная нагруз­ ка #(т), действующая на лопатку, изменяется во времени периодически; периодичность связана с вращением ротора, а период равен времени од­ ного его полного оборота. Периодическая функция времени q{t) может быть представлена в виде бес­ конечной суммы гармонических составляющих (см. раздел 1.20), частоты которых кратны частоте вращения ротора:

Представление нагрузки в виде суммы гармо­ ник имеет ясную физическую интерпретацию, ко­ торая дает широкие возможности для анализа при­ чин возбуждения колебаний лопаток. Каждую из переменных нагрузок, рассмотренных в предыду­ щем разделе (от «затеняющих» элементов, перепус­ ков, неравномерности радиального зазора и т.д.), можно упрощенно представить гармонической функцией времени с частотой, кратной частоте вра­ щения ротора. Тем самым, каждое из слагаемых (4.28) можно связать с тем или иным фактором, оп­ ределяющим неоднородность потока в проточной части. Поскольку все эти факторы присутствуют одновременно, лопатка испытывает их суммарное воздействие.

Очень важным является то обстоятельство, что частоты гармонических составляющих возмуща­ ющей силы кратны частоте вращения ротора и за­ ранее известны. Номер гармоники к показывает сколько раз за один оборот ротора лопатка испы­ тывает изменения соответствующей гармоничес­ кой составляющей нагрузки. С другой стороны, номер гармоники равен количеству «затеняющих» элементов, клапанов перепуска и т.д.

Как известно, в случае простейшей колебатель­ ной системы с одной степенью свободы, при со­ впадении частоты возмущающей гармонической силы с собственной частотой колебаний системы

4.8. Вынужденные колебания лопаток. Резонансная диаграмма

наступает резонанс. Лопатка, как было показано выше, имеет, вообще говоря, бесконечное число собственных частот и форм колебаний. Нагрузка, действующая на нее, в представлении (4.28) состо­ ит из бесконечной суммы гармоник. Условием ре­ зонанса в этом случае является совпадение часто­ ты любой из гармоник нагрузки кп (где п - частота вращения ротора) с любой из динамических соб­ ственных частотf :

(4.29)

/, к = 1, 2, ... оо

Учитывая, что собственные частоты f зависят от частоты вращения л, условие (4.29) представляет собой совокупность независимых уравнений отно­ сительно резонансной частоты вращения.

Существует множество значений л, удовлетво­ ряющих условию (4.29) при различных значениях / и к, то есть частот вращения ротора, при которых возможно выполнение условий резонанса при раз­ личных формах колебаний и при различных гар­ мониках возбуждающих сил. Из (4.29) и с учетом соотношения (4.18) для f можно получить фор­ мулу для расчета резонансных частот вращения ро­ тора лрез, соответствующих различным гармоникам к и различным собственным формам i

i, к —1, 2 ,... оо

где_/\ - i-я собственная статическая частота колебаний лопатки.

Подставляя в это соотношение значения соб­ ственных частот и номера гармоник к, можно най­ ти множество резонансных частот вращения ро­ тора.

Решение уравнения (4.29) удобно представить графически в виде так называемой резонансной диаграммы (диаграммы Кемпбелла). Пример такой диаграммы для лопатки компрессора приведен на рис. 4.16. Лучи, выходящие из начала координат, представляют собой левую часть уравнения (4.29) для разных номеров гармоник к, эти номера указа­ ны на лучах. Горизонтальные линии - собственные частоты для различных форм колебаний, соответ­ ствующие правой части (4.29). Формы колебаний приведены на рис.4.16 рядом с соответствующи­ ми кривыми; на них пунктиром показаны узловые линии. Все точки пересечения горизонтальных линий и лучей - решения уравнения (4.29), а соот­ ветствующие этим точкам значения п - резонанс­ ные частоты вращения ротора.