книги / Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 4 Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок

висит главным образом от размаха деформации и рабочей температуры.

Физический механизм накопления повреждений

иразрушения при МЦУ, как и при многоцикловой усталости, связан с концентрацией микродефектов при деформации, их объединением, образованием

иразвитием макротрещины, однако, при развитых пластических деформациях в условиях МЦУ эти процессы идут более интенсивно.

Способность материала сопротивляться МЦУ оценивают с помощью зависимости числа циклов нагружения до разрушения N?от размаха деформа­ ции Ае (см. рис. 1.27), которую обычно получают путем испытания стандартных образцов при посто­ янном размахе деформации. С увеличением Ае ресурс Np резко уменьшается. При повышенных температурах, когда подвижность микродефектов увеличивается, исчерпание ресурса идет быстрее.

Наиболее распространенной эмпирической за­ висимостью, описывающей кривые МЦУ, при од-

Рис. 1.27. Зависимость числа циклов до разрушения от раз­ маха деформации при разных температурах Т <Т,

ноосном напряженно-деформированном состоя­ нии, является уравнение Коффина:

где т и С - характеристики материала, определя­ емые экспериментально.

Использование уравнения (1.64) требует прове­ дения большого объема экспериментов при различ­ ных параметрах цикла и температурах. Для низко­ температурной МЦУ при отсутствии ползучести для оценки т и С можно применять соотношения:

где £, - истинная деформация при разрушении, получаемая из статических испытаний.

Если размах деформаций мал и ползучесть от­ сутствует, хорошее приближение к эксперимен­ тальным результатам дает уравнение Мэнсона [1], связывающее долговечность с размахом полной де­ формации в цикле:

где с в - предел прочности материала.

Отсюда видно, что большей способностью со­ противляться МЦУ обладают пластичные матери­ алы, имеющие большую деформацию при разры­ ве £в.

При неодноосном напряженном состоянии в со­ отношениях Коффина и Мэнсона вместо размаха деформации используют ее интенсивность.

Часто, в частности в деталях авиационных дви­ гателей, процесс малоциклового разрушения свя­ зан с циклическим изменением температуры. При стеснении теплового расширения, например из-за значительных градиентов температур, в детали могут появиться циклические пластические дефор­ мации, порождающие процесс накопления повреж­ дений. Такие процессы называют термической ус­ талостью. Все изложенное выше в отношении малоцикловой деформации, по крайней мере каче­ ственно, справедливо в отношении термической ус­ талости.

В то же время, термическая усталость имеет особенности, связанные с тепловым воздействием. Имеются экспериментальные данные, которые по­ казывают, что при одинаковом размахе деформа­ ции долговечность в случае циклического измене­ ния температуры заметно меньш е, чем при механическом нагружении с постоянной темпера­ турой. В числе причин такого различия называют различие механизмов разрушения на микроскопи­

ческом уровне, локализацию микроскопических разрушений при неравномерном нагреве в случае термоусталости. Вследствие этого при применении результатов испытаний на МЦУ для прогноза тер­ моусталости необходима осторожность.

Более подробно вопросы малоцикловой устало­ сти и термоусталости изложены в специальной ли­ тературе (см., например [3]).

1.15. Накопление повреждений при нестационарном нагружении

Рассмотренные выше модели ползучести и ус­ талости описывают процессы, происходящие при стационарном нагружении, т.е. при неизменной во времени статической нагрузке (при ползучести) или постоянной амплитуде цикла (при цикличес­ ком нагружении). В этих случаях они пригодны для непосредственной оценки прочности и долговеч­ ности деталей и конструкций.

Реальные элементы конструкций обычно работа­ ют при переменных во времени режимах нагруже­ ния. Это может быть связано с изменением режимов работы и условий эксплуатации конструкций. Так, например, условия нагружения деталей авиационных двигателей могут изменяться с изменением тяги дви­ гателя, высоты и скорости полета самолета. Прибли­ зительно 2...4 % своего ресурса авиационный дви­ гатель работает на наиболее тяжелом взлетном режиме, 20.. .30 % - на номинальном, остальное вре­ мя - на менее нагруженных режимах.

Пусть эксплуатационное нагружение состоит из к режимов, на каждом из которых параметры на­ гружения можно считать постоянными (см. рис. 1.28). Обозначим эти параметры на некотором /-м режиме: статическое напряжение - о., ампли­ туду циклического напряжения - ош, температуру - Т., длительность режима - /., число циклов на­ гружения на этом режиме - N ..

Будем рассматривать накопление повреждений в материале в процессе нагружения как процесс,

протекающий во времени. Накопление поврежде­ ний по механизмам ползучести, многоцикловой и малоцикловой усталости будем далее рассматри­ вать независимо друг от друга, не учитывая их вза­ имодействие.

Введем понятие повреждения материала по ме­ ханизму ползучести в течение некоторого време­ ни, как пропорциональную долю времени до раз­ рушения при этом нагружении. Повреждение Пс. на /-м режиме определятся как отношение:

где tp.- время до разрушения при нагружении

с постоянным напряжением а. при темпе­ ратуре Г., определяемое соотношением (1.53).

В соответствии с представлением (1.66), матери­ ал до нагружения не имеет повреждения, в момент разрушения Пс= 1. В процессе работы поврежде­ ние постепенно возрастает от нуля до единицы. Для оценки повреждения при работе на нескольких режимах используют гипотезу линейного сумми­ рования Пальмгрена-Майнера: суммарное повреж­ дение за к режимов равно сумме повреждений на каждом режиме:

Разрушение по механизму ползучести в соответ­ ствии с гипотезой линейного суммирования насту­ пает при условии:

(1.68)

V

где ЛГ - число циклов до разрушения при нагру­ жении с постоянным напряжением ош при температуре Г, определяемое для малоцикловой усталости соотношением (1.65), а для многоцикловой - (1.56).

Суммарное повреждение за к режимов:

Разрушение по механизмам малоцикловой или многоцикловой усталости наступает при условии:

Соотношения (1.68) и (1.71) могут непосред­ ственно использоваться для оценки ресурса рабо­ ты элементов конструкций.

Два режима считаются эквивалентными по опас­ ности разрушения, если они имеют одинаковые зна­ чения повреждений. Аналогично, можно ввести понятие эквивалентного режима для последова­ тельности из к режимов.

Для разрушения по механизму ползучести экви­ валентный по повреждению режим характеризует­ ся длительностью /экв и постоянным напряжением оэкв. Величина создаваемого на эквивалентном ре­ жиме повреждения Я кв по определению равна по­ вреждению на к режимах нестационарного нагру­ жения:

где n - запас по долговечности на /-м режиме (1.54). Гипотеза линейного суммирования - простей­ шая модель накопления повреждений, она не учи­ тывает порядок приложения нагрузок (историю нагружения). Поэтому в предсказании долговечно­ сти возможны ошибки, для исключения которых необходимо проведение экспериментов по ее про­ верке для конкретных материалов и режимов на­ гружения. Более сложные модели накопления по­ вреждений описаны в специальной литературе

(см., например [11]).

Понятие повреждения материала вследствие циклического нагружения (многоили малоцикло­ вого) в течение некоторого числа циклов введем как пропорциональную долю числа циклов до разру­ шения при этом нагружении. Повреждение Пр на /-м режиме определятся отношением:

п с ж в = И п а ш и

/1Р экв /=11pi

Подставляя в левую часть время до разрушения из (1.53) получаем:

откуда

/\1/т

Н т

\1экв 1=1 1 pi у

Подставляя сюда / ?<из (1.54) и принимая, что константы материала на этих режимах одинаковы,

Глава 1. Основы анализа точностной надежности двигателей

получаем соотношения для расчета эквивалентно­ го напряжения:

или для длительности эквивалентного режима

/ чш

(1.73)

Va 3K*y

Аналогичные соотношения могут быть получе­ ны для механизмов малоцикловой усталости:

чt ? N 3Ke '

(1.74)

кг Ае,

/=1 ЧД еэквУ

где Ае и Аеэкв -размахи пластических деформаций на /-м режиме эксплуатационного цикла и на эквивалентном режиме;

N. и N - соответствующие числа циклов нагружения.

Эквивалентные режимы нагружения использу­ ют, в частности, для сокращения времени длитель­ ных испытаний по оценке ресурса деталей авиа­ ционных двигателей - увеличивают нагрузку или

(и) температуру в испытательном цикле по срав­ нению с эксплуатационными.

1.16.Закономерности развития трещин

вэлементах конструкций

Классические методы расчета на прочность конструкций основываются на предположении, что в материале в течение всего времени работы отсутствуют макроскопические дефекты. Боль­ шинство практических задач обеспечения проч­ ности успешно решаются в рамках таких пред­ ставлений. К проблемам, для решения которых такой подход недостаточен, относится обеспече­ ние безопасности конструкции при наличии де­ фектов, эксплуатационной живучести.

Дефекты в материале могут возникнуть как в процессе эксплуатации, так и при производстве детали. В первом случае дефекты возникают вслед­ ствие развития процессов накопления поврежде­ ний или возникновения случайных нештатных си­

туаций (например, попадания посторонних предме­ тов в газовоздушный тракт авиационного двигате­ ля). Во втором случае производственные дефекты могут быть пропущены при технологическом конт­ роле изделия; в деталях из гранулируемых сплавов (например в дисках турбин) существование опре­ деленной концентрации дефектов технологически неизбежно.

Для решения этого класса задач необходимо рассматривать разрушение как процесс, развива­ ющийся во времени. Заключительной стадией раз­ рушения является рост макроскопической трещи­ ны вне зависимости от того, по какой причине она появилась: при изготовлении детали или при ее эксплуатации. Эта стадия заканчивается собствен­ но разрушением - разделением тела на части. Про­ должительность ее зависит от характера измене­ ния во времени действующих нагрузок, структуры материала, температуры, размеров исходных де­ фектов. В частности, при циклическом нагружении детали стадия развития трещины часто составляет значительную долю общего времени жизни дета­ ли и определяет ее живучесть. Процессы развития трещин изучает механика разрушения.

Исследованию процессов роста трещин посвя­ щено множество работ, обзор которых имеется, например, в [27].

В рамках механики разрушения на настоящем этапе ее развития удается с большей или меньшей точностью решать широкий круг практических вопросов: как долго развивается трещина от неко­ торого начального размера до полного разрушения детали; каковы безопасные с точки зрения живу­ чести начальные размеры трещины при известных эксплуатационных нагрузках; как часто следует проверять наличие трещин и какова должна быть разрешающая способность метода диагностики: какой материал обеспечивает наилучшее сопротив­ ление развитию трещины в конкретных условиях; как спроектировать деталь, чтобы обеспечить ее живучесть при возникновении трещины.

Механика разрушения рассматривает не возник­ новение, а развитие трещин не вдаваясь в в конк­ ретный физический механизм разрушения. Одно из ее основных исходных положений состоит в том, что в материале имеется одна или несколько мак­ роскопических трещин; при этом понятие разру­ шения трактуется как процесс их развития. Мак­ роскопическая трещина, являющаяся предметом изучения механики разрушения, имеет размеры, многократно превышающие характерный размер структурных элементов материала. Это позволяет использовать при решении задач разрушения ап­ парат механики сплошных сред.

Анализ прочности и долговечности детали с тре­ щиной при циклическом нагружении в рамках ли-

нейной механики разрушения состоит из следую­ щих этапов: определение формы, размера и место­ положения наиболее опасных исходных трещино­ подобных дефектов; определение напряженно-де­ формированного состояния детали с детальным анализом поля напряжений вблизи трещин и оп­ ределением коэффициентов интенсивности напря­ жений; экспериментальное определение законо­ мерностей роста трещины в материале в конкрет­ ных условиях работы и выбор описывающей их модели; определение критического размера трещи­ ны, при котором механизм усталостного роста тре­ щины сменяется механизмом статического долома; определение долговечности на основе анализа выбранной модели роста трещины.

В соответствии с представлениями линейной механики разрушения механическое состояние локальной зоны предразрушения вблизи фронта трещины описывается коэффициентом интенсив­ ности напряжений (КИН), который является харак­ теристикой поля напряжений в этой зоне. При этом материал считается линейно упругой сплошной средой, а трещина моделируется математическим разрезом с нулевым радиусом закругления в вер­ шине. Принято выделять три типа трещин (см. рис. 1.29): I - трещины нормального отрыва, II - трещины сдвига и III - трещины среза. В реальных конструкциях наиболее распространены трещины нормального отрыва.

Для каждого из этих типов трещин в теории упругости найдены поля напряжений, имеющие особенность (особенностью называют асимптоти­ ческое стремление функции к бесконечности вбли­ зи некоторой точки) у вершины.

Рассмотрим сквозную трещину нормального от­ рыва длинной 2а в бесконечной пластине, нагру­ женной растягивающим напряжением а (см. рис. 1.30). Поле напряжений в точке, расположен­ ной на расстоянии г от вершины трещины опреде­ лено в теории упругости аналитически:

(1.75)

Все компоненты напряжения пропорциональны внешнему напряжению с и обратно пропорцио­ нальны квадратному корню из размера трещины, они стремятся к бесконечности в вершине трещи­ ны (при г—>0). Зависимость Gv от г при 0 = 0 пока­ зана на рис. 1.30.

Таким образом, поскольку радиус в вершине трещины нулевой, для оценки напряженного со­ стояния невозможно воспользоваться коэффициен­ том концентрации напряжений: он всегда стремит­ ся к бесконечности. Для того, чтобы обойти эту неопределенность, в механике разрушения для оценки напряженного состояния в вершине трещи­ ны используют коэффициент интенсивности (а не концентрации) напряжений. Он вводится следую­ щим образом. В обобщенном виде уравнения (1.75) для бесконечной пластинки с трещиной можно за­ писать так:

(1.76)

где

Глава L Основы анализа точностной надежности двигателей

Коэффициент Kj называется коэффициентом интенсивности напряжений (КИН), индекс/опре­ деляет схему нормального отрыва (см. рис. 1.29).

КИН зависит от внешней нагрузки и размера трещины. Для тел и трещин более сложной фор­ мы, чем рассмотренная выше бесконечная пластин­ ка, в выражение для КИН вводится поправочный коэффициент формы Y (так называемая /Г-тариров- ка), отражающий влияние формы тела и трещины и, вообще говоря, зависящий от ее размера:

Расчет КИН представляет специфическую про­ странственную задачу теории упругости. Если ко­ эффициент интенсивности напряжений найден, поле напряжений вблизи вершины трещины опре­ делено полностью.

При статическом нагружении тела с трещиной критерием разрушения считают не достижение в вер­ шине трещины предела прочности, а достижение критического значения коэффициентом интенсив­ ности напряжений. Дело в том, что для любой от­ личной от нуля внешней нагрузки сг, как видно из (1.76), напряжения в вершине трещины бесконеч­ ны; критерий разрушения по пределу прочности в рамках принятых допущений не информативен, поскольку выполняется при любой нагрузке.

Критическое значение КИН определяется из специальных экспериментов, которые проводятся на образцах с трещиной. Для трещин нормально­ го отрыва критическое значение КИН обозначает­ ся К1с, а условие разрушения записывается как:

процесс, развивающийся во времени. Поведение трещины в этом случае характеризуют скоростью

еероста da/dN ( где N - число циклов). Многочисленные экспериментальные данные

показывают, что скорость роста трещины (СРТ) при многоцикловой усталости зависит от размаха КИН АК. Эта зависимость, представленная в логарифми­ ческих координатах - кинетическая диаграмма ус­ талостного разрушения - имеет обычно вид, пока­ занный на рис. 1.31. На ней принято выделять три характерных участка. Средний участок - прямоли­ нейный - наиболее изученный, он соответствует ско­ ростям роста трещин порядка 10‘5... 10‘9м/цикл. Ле­ вый криволинейный участок низких скоростей, асимптотически устремляющихся к нулю, называ­ ют припороговым, а асимптотическое значение размаха КИН AKth- пороговым КИН. Правый кри­ волинейный участок соответствует быстрому рос­ ту трещины при критическом размахе КИН АК/с.

В литературных источниках приведено несколь­ ко десятков зависимостей, аналитически описы­ вающих кинетическую диаграмму усталостного разрушения. Они различаются уровнем сложнос­ ти, количеством параметров, возможностью описа­ ния поведения тех или иных материалов и учета влияния внешних факторов. Наиболее часто исполь­ зуется уравнение Париса, описывающее средний участок диаграммы СРТ-КИН линейной (в лога­ рифмических координатах) функцией с двумя параметрами:

где С и п - характеристики циклической трещиностойкости материала (наряду с AKth

При циклическом нагружении в механике раз­ рушения используются другие критерии. Рост тре­ щины при нагружении переменным во времени напряжением с амплитудой а представляет собой

Рис. 1.31. Кинетическая диаграмма усталостного разруше­

ния (/) и модель Париса (2)

и АК/с), определяемые из специальных экспериментов.

С и п зависят от материала, его термообработ­ ки, а также асимметрии цикла нагружения и рабо­ чей температуры.

Подставляя в (1.80) выражение для расчета КИН, получаем уравнение роста трещины:

Существование порогового размаха КИН AKth (см. рис. 1.31) означает возможность существова­ ния неразвивающихся трещин. Максимальный раз­ мер такой трещины athпри амплитуде напряжения

аили пороговое значение амплитуды напряжений

а/Апри заданном размере трещины а могут быть определены из соотношений:

Уравнение дифференциальное, начальное условие для него - размер исходной трещины:

Характер изменения во времени (по числу цик­ лов нагружения) длины трещины при различных амплитудах переменных напряжений (а 7>а,) при­ веден на рис. 1.32. Размер трещины постепенно уве­ личивается, начиная со значения а0. При прибли­ жении числа циклов к некоторому значению Nf скорость роста трещины резко возрастает и при N = ^процесс разрушения завершается поломкой.

Интегрируя уравнение (1.81) методом разделе­ ния переменных можно определить ресурс работы детали, как число циклов при росте трещины от начального размера а0до критического размера ае, получаемого из (1.79):

Учитывая, что параметр п значительно больше единицы, долговечность детали с трещиной резко уменьшается с увеличением напряжений.

Рис. 1.32. Изменение по времени размера трещины

Описанный подход может использоваться для оценки живучести, под которой понимается сохра­ нение работоспособности конструкции при появ­ лении дефектов. Количественными оценками жи­ вучести могут быть как остаточный ресурс N ., так и пороговый размет трещины ath. Характеристики циклической трещиностойкости материала С, п, AKfhи АК/с, а значит и характеристики живучести Nf и ath, зависят от материала детали, термообра­ ботки и технологических факторов. При разработ­ ке конструкции и технологии детали должны быть выбраны так, чтобы обеспечить живучесть. При­ мер реализации текого подхода к обеспечению жи­ вучести лопаток компрессоров авиационных дви­ гателей приведен в [31].

В силу влияния многочисленных случайных фак­ торов, в реальных условиях возможно рассеяние кривых роста трещины a(N) и рассеяние времени до разрушения (кривые 1 на рис. 1.33). Остаточный ресурс Nf , вообще говоря, является величиной слу­ чайной, его рассеяние характеризуется некоторым законом распределения (кривая 2).

Знание зависимости размера трещины от нара­ ботки детали (числа циклов N) дает методическую основу для выбора периодичности и средств диаг­ ностики трещин при эксплуатации деталей. Веро­ ятность обнаружения трещины заданного разме­ ра, как величина случайная, также характеризуется

Рис. 1.33. К выбору периодичности осмотров при эксплуа­

тационной диагностике трещин

некоторым законом распределения (см. рис. 1.33, кривая 3). Выбор периода Т между диагностичес­ кими осмотрами детали в условиях эксплуатации должен обеспечивать заданную вероятность обна­ ружения трещины до разрушения.

Ограниченность методов механики разрушения в исследовании долговечности элементов конст­ рукций с трещинами состоит в необходимости про­ ведения специальных достаточно сложных экспе­ риментов по определению характеристик трещиностойкости материалов, в чувствительности этих характеристик к условиям нагружения и техноло­ гическим факторам. Следует назвать также отсут­ ствие достаточно достоверных и универсальных моделей для коротких (менее 0,5... 1 мм) трещин, представляющих значительных практический ин­ терес. Кроме того, механика разрушения не изуча­ ет процесс зарождения трещин. Тем не менее, не­ которые результаты, получаемые в рамках описан­ ного выше подхода, могут быть полезны при анализе поломок, выборе материалов, методов эк­ сплуатационной диагностики.

1.17.Свободные колебания системы

содной степенью свободы

Колебания элементов авиационных двигателей часто являются причиной их поломок. Одна из важ­ нейших задач конструктора - исключить опасные колебания. В настоящем разделе изложены основ­ ные положения теории колебаний упругих систем, необходимые при последующем изучении колеба­ ний элементов авиационных двигателей.

Напомним, что системами с одной степенью сво­ боды в механике называют системы, движение ко­ торых описывается одним параметром - обобщен­ ным перемещением. Классическим примером такой системы является сосредоточенная масса m - груз, закрепленный в точке А на невесомом стержне (см. рис. 1.34). Движение системы полностью опреде­ ляется вертикальным перемещением груза у.

Движение груза описывается одним уравнени­ ем относительно неизвестного перемещения^/):

Далее для простоты пренебрегаем силой тяжес­ ти. Рассмотрим свободные колебания, которые про­ исходят при отсутствии внешних сил, включая силу сопротивления, вследствие, например, отклонения системы от положения равновесия в начальный мо­ мент. В этом случае F - сила упругости стержня, пропорциональная перемещению y(t) и направлен­

где с - коэффициент жесткости; а - податливость стержня.

Податливость а представляет собой перемеще­ ние груза под действием единичной силы в точке А (см. рис. 1.34), с - силу, необходимую для созда­ ния единичного перемещения. Эти параметры си­ стемы определяются методами сопротивления ма­ териалов, например, с помощью интеграла Мора. Для изображенной на рис. 1.34 системы, например,

где Е - модуль упругости материала; / - момент инерции поперечного сечения

стержня.

Подставляя (1.86) в (1.87) получаем дифферен­ циальное уравнение свободных колебаний груза:

где

Решение этого линейного обыкновенного диф­ ференциального уравнения с постоянными коэф­ фициентами представляет собой гармонические колебания (см. рис. 1.35), что легко проверяется подстановкой решения (1.90) в уравнение (1.88):

Рис. 1.34. Свободные колебания груза, закрепленного на

стержне

Рис. 1.35. Изменение во времени перемещения груза при

свободных колебаниях

где у 0и ср - амплитуда и сдвиг фазы, зависящие от начальных условий - отклонения и ско­ рости в момент времени t = 0.

Период колебаний

Число колебаний в единицу времени (техничес­ кая частота, измеряемая в герцах):

Частота колебаний, как видно из (1.89), (1.92) тем больше, чем меньше масса груза и упругая податливость системы.

1.18.Вынужденные колебания системы

содной степенью свободы

Рассмотрим теперь ситуацию (см. рис. 1.36), когда на груз действует внешняя возбуждающая сила F(t). По-прежнему пренебрегаем силами со­ противления и тяжести. Уравнение движения гру­ за (1.88) становится неоднородным:

Рассмотрим важный частный случай, когда вне­ шняя сила изменяется во времени по гармоничес­ кому закону:

Рис. 1.36. Вынужденные колебания груза, закрепленного на стержне

Решение неоднородного линейного дифферен­ циального уравнения (1.93) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (1.88)- свободных колебаний (1.90), и частного ре­ шения неоднородного уравнения - вынужденных гармонических колебаний с частотой Q, :

Амплитуда вынужденных колебаний должна удовлетворять уравнению (1.94) и получается под­ становкой в него решения (1.95):

FQO-

Рассмотрим практически важный случай, когда свободные колебания отсутствуют. При частоте вынуждающей силы Q., близкой к нулю, амплиту­ да колебаний равна статическому перемещению груза Fnос (см. рис. 1.37). По мере приближения ча­ стоты вынуждающей частоты к собственной час­ тоте системы р амплитуда возрастает, и при их со­ впадении возникает резонанс, когда амплитуда колебаний стремится к бесконечности. В реальной системе из-за потерь энергии амплитуда колебаний при резонансе конечна, однако резонансные коле­ бания могут представлять серьезную опасность.

При частоте вынуждающей силы, существенно превышающей собственную частоту, перемещение практически отсутствует, т.е. система не реагиру­ ет на действие вынуждающей силы. Это явление используется для виброизоляции колеблющихся объектов. Их устанавливают на упругие опоры низкой жесткости, обеспечивающие низкую соб­ ственную частоту колебаний системы.

Рассмотрим теперь случай, когда наряду с вы­ нужденными колебаниями груз участвует в свобод­ ных колебаниях. Решение уравнения (1.94) имеет вид:

y ( t) = C, cos p t + С2 sin p t +

Константы С, и С2 определяются из начальных условий. Пусть в начальный момент t = О переме­ щение и скорость груза равны нулю: у(0) = 0 и у (0)= 0. Тогда

(1.98)

Практический интерес представляет случай, ког­ да частота вынуждающей силы отличается от соб­ ственной частоты на малую величину 0,-р. В этом случае (1.98) можно преобразовать следующим образом:

Рис. 1.39. Возрастание амплитуды колебаний на резонанс­ ном режиме

Последнее выражение можно рассматривать как колебания с частотой вынуждающей силы Q, ампли­ туда которых изменяется по гармоническому закону со значительно более низкой, чем Q частотой 0,-р. Такие колебания называются биениями. Их ампли­ туда, как видно из (1.99). тем больше, чем меньше разница А = 0,-р (см. рис. 1.38).

При приближении к условиям резонанса Ci-р- 0 (1.99) можно преобразовать, принимая

Из последнего соотношения видно, что при воз­ никновении резонансного режима амплитуда ко­ лебаний не возрастает мгновенно (см. рис. 1.39). Даже при отсутствии потерь энергии бесконечная амплитуда за конечное время не может быть дос­ тигнута. Это обстоятельство часто используется, если по условиям работы машины резонансный режим неизбежен как «проходной». Если сделать переход через резонанс достаточно быстрым, ре­ зонансные колебания не успеют развиться до опас­ ных амплитуд.