книги / Расчет крепи капитальных горных выработок

называется м а т р и ц е й из пь строк и п столбцов. Частными случаями прямоугольной матрицы являются матрица-строка (т = 1 ), матрица-столбец (п = 1 ) и квадратная матрица n-го порядка (т = = п). Диагональ квадратной матрицы, на которой располагаются элементы а*/ при i = 7, называется главной диагональю. Квадрат­

ная матрица га-го порядка называется единичной матрицей, если все элементы ее главной диагонали равны единице, а все элементы вне этой диагонали равны нулю. О п р е д е л и т е л е м квадратной матрицы тг-го порядка называется ч и с л о , представляющее собой составленную по определенному закону алгебраическую сумму п\

произведений, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Например, определителем 3-го порядка называется число

Вычисление определителей более высокого порядка производится с использованием м и н о р о в . Бели в матрице я-го порядка вы­ черкнуть строку i и столбец 7, то определитель, порожденный остав­

шейся матрицей (п—1 )-го порядка, называется минором элемента :

Определитель Ап равен сумме произведений всех элементов любой

строки или столбца на их алгебраические дополнения:

1 ) определитель не изменится, если его строки сделать столбцами, а столбцы — строками;

2) при перестановке двух строк определителя он меняет знак; 3) общий множитель элементов строки можно вынести за знак

определителя; 4) если в определителе имеются две одинаковые строки или

элементы одной строки пропорциональны элементам другой, то опре­ делитель равен нулю;

5) если к одной строке определителя прибавить другую, умно­ женную на любое число, то определитель не изменится.

21

элементы которой Сц представляют собой алгебраическую сумму произведений элементов i-строки матрицы Л и / — столбца мат­ рицы В:

Из определения следует, что количество столбцов в первом сомножителе — матрице А — должно быть равно количеству строк второго сомножителя —■матрицы В. Матрица С содержит т строк, как в первом сомножителе, и к столбцов, как во втором. Из определе­

Роль единицы в умножении квадратных матриц играет единич­ ная матрица Е , которая в противоположность общему правилу перестановочна с любой матрицей А данного порядка:

^1 п ^ оп А пп

составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы

222

Произведение матрицы А на обратную матрицу дает единичную матрицу

Если известно произведение двух матриц С и один из сомножите­ лей А

то неизвестный сомножитель может быть найден путем умножения матрицы С на обратную матрицу А~1ш.

Матрица А т, строки которой являются столбцами исходной матрицы А , а столбцы — строками, называется т р а н с п о н и ­ р о в а н н о й (по отношению к исходной матрице А):

Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц в обратном порядке:

Вывод основных уравнений метода начальных параметров

При расчете крепь моделируется стержневой системой, причем криволинейное очертание заменяется ломаным (ломаная линия впи­ сывается в кривую, рис. 106). Как показал еще С. П. Тимошенко, такое допущение справед­ ливо (погрешность не пре­ вышает 10 %), если выпол­

няется условие

Д1 - Д о < — :з~Л° ,(31.13)

Это условие удовлетво­ ряется практически для всех применяемых конст­ рукций крепи.

Распределенная нагруз­ ка на крепь, действующая в плоскости стержня, за­

223

меняется сосредоточенной, приложенной в узлах расчетной схемы. Пусть заданы начальные параметры — статические (силовые)

и кинематические факторы: М 0, N 0, Q0, и 0, ср0 в точке 0, а также

нормальные и касательные усилия Рп, Тп (первая расчетная схема),

которые заданы проекциями Х п, Y n на оси х , у (рис. 106). Смещения поперечных сечений ломаного бруса определяются известным диф­ ференциальным уравнением изогнутой оси

Й2ц _ М

Кроме того, на смещения оказывает влияние осевое сжатие прямо­ линейных элементов, определяемое зависимостью

Nth

(31.16)

EiFi

На участке 1у внутренние силовые факторы составляют:

Подставляя значение М г в уравнение (31.15), интегрируя его в пределах 1г и имея в виду, что постоянные интегрирования представляют собой начальные кинематические факторы, получим следующие выражения для смещений конца первого отрезка ломаной (узел 1):

Проекции перемещений конца первого отрезка на осях х и у (см. рис. 106) с учетом продольного сжатия этого отрезка (31.16) составляют:

224

Выразим далее нормальные и перерезывающие силы' через их проекции на осях х и у (см. рис. 106)

N 0= Y 0sin аА+ Х 0cos ах;

Подставляя эти значения в формулы (31.18) и (31.20), оконча­ тельно получим следующие выражения для перемещений в узле 1:

Коэффициенты влияния начальных параметров, входящие в эти выражения, определяются по формулам:

Выражения для внутренних силовых факторов в узле 1 получим

Выражения (31.23) и (31.25) могут быть использованы для получе­ ния силовых и кинематических факторов в узле 2, при этом необхо­ димо только заменить индексы: вместо 0 взять i, а вместо 1 взять £

Начальными для второго отрезка факторами являются величины U г, 9 ii Х 1У Y i и M i, вычисленные по формулам (31.23) и (31.25).

Таким образом, полученные выражения являются рекурентными.

225:

Выражения (31.23) и. (31.25) можно представить в матричной форме. Введем следующие обозначения:

где матрица коэффициентов влияния начальных параметров имеет следующий вид:

Матрица-столбец кинематических и силовых факторов на кон­ це отрезка 12 получается следующим образом:

Р2= А2РХ+ А 2Рi = А2А ХР0 + А2АхР0 + А2Рг=

226

Если, наконец, внешняя нагрузка приложена в произвольных узлах U то матричная формула, определяющая расчетные параметры на конце участка 1п, принимает следующий вид:

Учет отпора пород. Если при расчете крепи принята вторая или третья расчетная схема, то в узлах полигонального очертания крени предусматриваются упругие опоры, ориентированные но каса-

Рпс. 107. Схема к расчету крепи при наличии упругих опор

тельной или по нормали к крепи. Реакции опор (рис. 107) опре­ деляются по формуле

R t = —К1Хва) (У, cos у/ — Ut sin у*-) (i => 0, 1, . . ., /г), (31.32)

где

К?-'> = К « ’в)Ь

Ъ— ширина рассматриваемого кольца крепи (вдоль выработки). Влияние реакций отпора породы на статическую работу лома­

ного стержня учитывается в матрице коэффициентов влияния пара­ метров аналогично учету внутренних сил. Коэффициенты при состав­ ляющих реакции породы в нулевом узле (рис. 107)

K„y = и йКйsin Yo cos Yo — ^o^o cos2Y0-

227

Т а б л и ц а 33

Группируя члены при начальных параметрах перемещений и

получим следующую матрицу коэффициентов влияния начальных параметров:

Матричную формулу для определения расчетных параметров конца первого участка ломаной с учетом отпора породы (см. рис. 107)

Для определения расчетных параметров в узле 1 с учетом реакции и нагрузки Р г необходимо выполнить предельный переход, который осуществляется при введении матрицы скачка:

228

Здесь С2 — матрица, учитывающая скачок реакций отпора в узле 1, которая получается из матрицы К 2 при подстановке значения 2а = 1 :

Общая матричная формула для определения расчетных парамет­ ров с учетом реакций опор и внешней нагрузки, приложенной в узлах 7 расчетной схемы, получается на основании выражения (31.31)

при замене матриц A t на К ь и учете скачка сил и реакций в узле п:

Ниже изложена рабочая методика расчета крепи капитальных горных выработок (обделок тоннелей) замкнутых (рис. 108) и не­ замкнутых (рис. 109), симметричных относительно вертикальной оси, по первой, второй и третьей расчетным схемам (см. рис. § 30). При построении расчетной схемы необходимо руководствоваться следующим.

Криволинейное очертание крепи заменяется полигональным (вписанная ломаная линия). Прямолинейные элементы стыкуются

229

Рис. 108. Схема к расчету замкнутой крепи:

а — вторая расчетная схема; б — третья расчетная схема

Xtf УггЦг

ф

Рис. 109. Схема к расчету незамкнутой крепи:

а — вторая расчетная схема; б — третья расчетная схема