книги / Расчет крепи капитальных горных выработок

Условия полного контакта. Пусть слои Sc и Si+1 спаяны по кон­ такту Lh тогда должно выполняться условие непрерывности пере­ мещений:

Представим перемещения в виде тригонометрических рядов (18.42) т при этом условия (19.2) будут иметь вид:

Воспользуемся далее выражениями для перемещений одиночного кольца (18.45) — (18.53), введя в них соответствующие индексы для слоев S t и SU1. Подставляя эти выражения в условия (19.3), полу­ чим следующие уравнения:

101

Условия контакта, без трения. Если слои S£ и S i+1 могут сво­ бодно, без трения, скользить один по другому, условия на контакте А будут следующие:

Подставим в эти условия выражения для радиальных перемеще­ ний одиночного кольца (18.51) и (18.53), изменим индексы примени­ тельно к слоям S £ и Si+1. После преобразований получим следующее уравнение:

M p 1' = c}+1 [к (cf** + 1) - A2 (c& - 1 ) + 2 ^ +1,cf+1];

N P = xP JT 'k [& (cf* + 1 ) + g P (cf H-1)] = xP -B pcf;

F P = %Pcp* [A2 (cf*- 1 ) 4 - к (c f + 1 ) + 2gp).

Коэффициенты передачи нагрузок, приложенных к наружному контуру кольца

Рассмотрим случай, когда внутренний контур составного кольца свободен от напряжений, а на контуре Ьп заданы нагрузки р ш и дт , представленные рядами Фурье. Зависимость коэффициентов разложения рядов, определяющую напряжения на контактах Li

иLi+li можно представить в виде:

рР = р Р 1>К р ;

ЧР == С1 Р Х)Fq\\h) + Р р иК $ (/()■

162

Коэффициенты К[г) (&> определяют передачу усилий от наружных слоев к внутренним, и поэтому в дальнейшем будем называть их

коэффициентами передачи нагрузок.

На основании выражений (19.10) нетрудно получить зависимость между коэффициентами разложения, характеризующими условия на контактах Li_1 и Li+X:

P<oi"1)= p (0i+1,/a i‘1,^ i);

+ ^ i+1) \ K % W ' q<*>+к & Ъ Ч 'т Ъ

q!t 11 = 9^’+1) [Kqq {l)Kqq (k) + KqpfaKpq (),)] -j-

Подставив выражения (19.10) и (19.11) в уравнения (19.4) и (19.5), определим коэффициенты передачи нагрузок при к — 0 и к = 1:

При к ^ 2 коэффициенты передачи нагрузок при полном контакте между слоями определяются из системы уравнений:

Если на контакте Lt имеется возможность свободного проскаль­ зывания слоев без трения, то коэффициенты передачи нагрузок

163

ниями, позволяющими вычислить последовательно все значения коэффициентов передачи нагрузок для тг-слойного кольца, начиная с контакта L lt причем на контуре L Q значения К[°* ^ = 0. Зная коэффициенты передачи нагрузок, нетрудно определить компоненты напряжений на контактах слоев по формулам (19.19). Вычисления производятся в обратном порядке, начиная с контакта Ln_ v

Коэффициенты передачи нагрузок, приложенных к внутреннему контуру кольца

Рассмотрим случай, когда внешний контур Ln составного кольца свободен от напряжений, а на внутреннем — L 0 заданы напряжения р {0), дш у представленные рядами Фурье. Зависимость между ко­ эффициентами разложения нагрузок в ряды (19.1) на контурах Lt

ив этом случае можно представить в виде:

№ = q ^ K ^ + p ^ K ^ W

Коэффициенты К* '^определяют передачу усилий от внутренних слоев к наружным. На основании выражений (19.16) на контакте ^i+i имеем:

+ p t 1} Ю % к ^ \у > ' + к*ч}% к * „ % п

Подставляя выражения (19.16) и (19:17) в уравнения (19.4)— (19.6), найдем коэффициенты передачи нагрузок при полном контакте слоев:

164

( к ^ 2).

При возможности свободного проскальзывания слоев на контакте имеем:

Коэффициент передачи равномерных нагрузок и в этом случае ха­ рактеризуется выражением (19.18).

Выражения (19.18) — (19.21) также являются рекурентными, по­ зволяющими вычислить последовательно все значения коэффициен­ тов передачи нагрузок, начиная с контакта Ln, 1? причем на контуре Ьп значения K*™\k) = 0.

Напряжения на контактах слоев определяются по формулам (19.16) в обратном порядке, начиная с контакта Ь г.

Другие случаи расчета кольца

В случае одновременного задания нагрузок на внутреннем L Q и наружном Ln контурах составного кольца определение напряжений на контактах слоев производится в изложенном выше порядке от­ дельно для каждой из нагрузок, после чего напряжения на одно­ именных контактах суммируются:

Р<0 =р(0 <р<»>, д(«)) + р<£>(р<п>, </<">);

(19.22)

q(‘) = gV)(pW, g « » ) _ ?(0 (р(п)' ffCn>).

165

В случае, когда граничные условия на контуре Ln заданы в переме­ щениях:

и^г) = 2 w*n) cos fc0;

/v‘=0

(19.23)

00

v<-nl = 2 i4w sin кВ,

A - l

задача легко сводится к изложенному выше решению с помощью следующих соотношений:

то переход к напряжениям осуществляется с помощью следующих соотношений:

В заключение рассмотрим случай предварительного напряжения слоев составного кольца. Пусть цо контакту Li сборка колец произ­ водится с начальным напряжением вследствие того, что внешний радиус слоя S( и внутренний радиус слоя S i+1 несколько не соответ­ ствуют друг другу, а именно

166

Тогда в составном кольце возникнут предварительные напряжения, которые можно определить из уравнений (19.24) и (19.27):

Коэффициенты передачи нагрузок определяются из рекурентных соотношений (19.12) и (19.18).

Изложенный метод расчета позволяет определять напряженно-де­ формированное состояние составных колец при различных комбина­ циях граничных условий и двух видах контактов между слоями.

Г л а в а V

РАСЧЕТ МОНОЛИТНОЙ И СБОРНОЙ КРЕПИ ВЫРАБОТОК КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ

•§ 20. ВЫБОР И ОБОСНОВАНИЕ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ

Из гл. III следует, что на современном третьем этапе развития теории расчета крепи существуют два метода расчета. По первому методу крепь рассматривается отдельно от массива пород, действие которого заменяется силами, распределенными по поверхности крепи и определяемыми на основании экспериментальных исследований (чаще натурных, реже лабораторных) или аналитических исследова­ ний взаимодействия крепи с соответствующей средой.'Второй метод предполагает совместный расчет крепи и массива пород, которые представлены в одной расчетной схеме взаимодействия пород и крепи.

Первый метод является в настоящее время более распространен­ ным, чем второй. Все экспериментальные исследования нагрузок на крепь в натурных условиях предполагают возможность исполь­ зования их результатов в качестве исходных данных для расчета крепи. В то же время следует признать, что серьезного обоснования метода расчета крепи по известным нагрузкам не существует.

Сторонники второго метода расчета крепи (расчета взаимодей­ ствия) в качестве основного аргумента выдвигают существование зависимости нагрузок на крепь от ее толщины и принципиальной невозможности по этой причине оперировать «известными» нагрузка­ ми, хотя бы и полученными экспериментально, для определения толщины крепи, так как если толщина крепи окажется другой, чем в эксперименте, то изменится и нагрузка на нее. Аргумент серьезный, однако он безусловно справедлив лишь в двух из шести рассмотрен­ ных в гл. II механических моделей взаимодействия пород и крепи, а именно в упругой и упруговязкой моделях.

Для жесткопластической модели характерна независимость на­ грузок от механических характеристик (а стало быть, и от толщины) крепи. Что касается упруго- и вязкопластических моделей, то рас­ смотрим влияние толщины крепи на примере упругопластической неоднородной модели.

168

Зависимость нагрузок на крепь от ее толщины

Рассмотрим случай образования вокруг вертикальной выработки круглого сечения зоны разрушения пород, при этом воспользуемся решением Ю. М. Либермана [107] (см. § 9).

Пусть при толщине крепи, характеризуемой величиной cv нам известна нагрузка на крепь р 1. Необходимо определить нагрузку на крепь толщиной еи при прочих равных условиях.

Из выражений (9.1) и (9.2) нетрудно установить, что

Подставляя указанные выражения в уравнение (20.1), после преобразований получим

стических деформаций и разрушения (нелинейная задача) влияние толщины крепи на величину действующих нагрузок незначительно. Неизмеримо большее влияние оказывает технологическая схема воз­

нагрузки на крепь, определенные экспериментально или расчетным путем, как не зависящие от толщины крепи.

Степень неравномерности нагрузок. Для оценки влияния тол­ щины крепи на степень неравномерности нагрузок воспользуемся

169

упругой моделью взаимодействия крепи и пород (см. § 6). Согласно выражениям (6.10), коэффициент неравномерности нагрузок

Введем обозначение с = 1 + т. Подставдяя его в выражение (20.3) и пренебрегая значениями т в третьей и выше степени, после преобразований получим следующее приближенное соотношение для коэффициентов неравномерности для двух толщин крепи:

где

^ (ВГ-Н + р)

«и ~ (B n + i + tfVtSn 9

(20.4)

Е ( С2+1

зок даже несколько возросла, но далеко не в той пропорции, в какой изменилась толщина.

Учитывая, что степень неравномерности нагрузок характери­ зуется влиянием многих закономерно и случайно проявляющихся факторов (способ проходки, технология возведения крепи и др.), для практических расчетов можно принимать коэффициент неравно­ мерности по данным натурных измерений независимо от толщины крепи.

Таким образом, метод расчета крепи отдельно от массива пород, действие которого заменяется нагрузками, получаемыми из анализа их взаимодействия, можно считать вполне обоснованным. По сравне­ нию с методом расчета взаимодействия пород и крепи, этот метод имеет ряд преимуществ, а именно позволяет использовать в расчетах данные натурных замеров нагрузок на крепь, дает возможность учи­ тывать фактическую неравномерность распределения нагрузок при образовании вокруг выработки зоны пластических деформаций или разрушения.

т