книги / Расчет крепи капитальных горных выработок

Из полученной 10. М. Либерманом зависимости можно составить следующее выражение для нагрузки на крепь:

Выражение для смещений поверхности выработки имеет следущий вид (если угол внутреннего трения в зоне разрушения и упругой области одинаков):

10. М. Либерман отмечает, что при условии пластического потен­ циала получается сильная зависимость смещения пород от реакции крепи, которая на практике не наблюдается. Поэтому, принимая во внимание равную обоснованность обоих вариантов зависимости (9.2), он рекомендует отдать предпочтение условию несжимаемости.

Решение 10. М. Либермана обобщено М. Т. Алимжановым на слу­ чай, когда порода в зоне разрушения обладает некоторым сцепле­ нием К г <С К, где К — сцепление в нетронутом массиве [4]. В этом случае справедливы выражения:

Смещения получены при условии пластического потенциала. Аналогичная модель исследована Д. В. Хоббсом [220], который

воспользовался эмпирическим условием пластичности в зоне разру­

Ь = 0,61).

Зависимость (9,4) получена в результате испытания разрушенных образцов пород, заключенных в резиновую оболочку, в условиях объемного сжатия.

Во всех рассмотренных решениях на границе между зоной раз­ рушения и упругим массивом наблюдается скачок нормальных

(И

ния пересекается с огибающей для нетронутого массива. Г. Л. Фисенко отмечает, что в ряде случаев ломаную огибающую можно с не­ большой погрешностью заменить прямолинейной. В этом случае расчетные формулы соответствуют упругопластической однородной модели, в частности — зависимости (8.3), но при этом физический смысл входящих величин несколько иной.

При определении смещений пород предлагается учитывать объем­ ное расширение их в зоне разрушения.

Рассматриваемая упругопластическая модель, учитывающая неоднородность массива, которая вызывается деформациями и раз­ рушением пород вокруг выработки, связана с упругой или с одно­ родной упругопластической моделями, с одной стороны, и с жестко­ пластической моделью — с другой.

Критерии замены упругой или упругопластической модели рас­ сматриваемой моделью соответствуют критериям первого (для хруп­ ких пород) или второго предельного состояния (см. гл. I).

При значительных смещениях пород и развития зоны разрушения создаются условия для явлений вывалообразования, соответству­ ющих жесткопластической модели взаимодействия пород и крепи. На это обстоятельство обратил внимание Ю. М. Либерман, который полагал, что давление на крепь не может быть меньше веса пород в зоне разрушения. На основании указанного условия им получено нелинейное уравнение

(9.8)

корень которого определяет минимальную нагрузку на крепь. Применительно к вертикальным выработкам условием, ограни­

чивающим применение рассматриваемой модели, является образова­ ние сползающего объема. Следовательно, минимальная нагрузка на крепь определяется формулой (7.19), а максимальное смещение пород — следующим выражением, получение которого не вызывает затруднений:

“ я - - k Ф № + Т ) [ * < Р - ^ Г 1 О - т ) ] “ <»•*»

§ 10. ВЯЗКОУПРУГАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОРОД И КРЕПИ

Под вязкими понимаются в общем случае такие модели, в которых важную роль во взаимодействии пород с крепью выработок играет время. В этом их основное и существенное отличие от ранее рас­ смотренных моделей. Для характеристики подобных процессов часто применяются такие понятия, как р е о л о г и я и п о л з у ч е с т ь . Следует сразу же отметить, что единой терминологии пока еще не установлено и в указанные понятия подчас вкладывается разный

03

смысл. Условимся под реологией понимать н а у к у об изменении во времени напряженно-деформированного состояния тел (как жидких, так и твердых), а под ползучестью — я в л е н и е измене­ ния во времени надряжений и деформаций тел.

В указанном смысле вязкие модели взаимодействия пород и крепи можно назвать реологическими *. В реологической модели взаимо­ действия массив пород моделируется средой, обладающей ползу­ честью, крепь же может быть жесткой, упругой или также обладать свойством ползучести (в зависимости от реального объекта). В каче­ стве реологических моделей массива пород может быть использован обширный арсенал сред, являющихся предметом изучения теории наследственной ползучести, теории упрочнения, теории течения и теории старения.

Как инженерная дисциплина теория ползучести сформировалась лишь в пятидесятые годы нынешнего века, а теория ползучести горных пород — еще позже. Предлагаемые сейчас практические методы расчета не всегда имеют достаточное теоретическое обоснова­ ние. Поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь двух групп моделей взаимодействия пород с крепыо выработок, в которых массив представлен вязкоупругой средой (теория наследственной ползу­ чести) и вязкопластической средой. Эти модели имеют в настоящее время наибольшее практическое применение.

Как и рассмотренные ранее модели, реологические модели вза­ имодействия крепи с массивом пород не являются универсальными. Они применяются при анализе влияния технологической схемы сооружения выработок на развитие начальной стадии процесса нагружения крепи, при анализе таких процессов деформирования и взаимодействия пород и крепи, которые продолжаются в течение всего срока службы выработок, и т. п. При затухающих во времени процессах взаимодействия пород и крепи капитальных выработок и тоннелей, срок службы которых весьма продолжителен, расчет может производиться на конечную стадию взаимодействия (без учета фактора времени).

При выборе механической модели взаимодействия пород и крепи должно удовлетворяться очевидное требование соответствия модели физической природе процессов в исследуемом объекте.

Теория наследственной ползучести горных пород

Эта теория основывается на математическом аппарате (раздел теории интегральных уравнений), разработанном Л. Больцманом (1878 г.) и развитом в дальнейшем В. Вольтерра (1913—1931 гг.)

* Не следует путать со структурными реологическими моделями, которые представляют собой схематическое изображение взаимного расположения вяз-; ких, упругих л других элементов и являются наглядной иллюстрацией уравне­ ния состояния данной конкретной среды (модели Максвелла, Фойгта, Шведова, Бингама [209, 216]).

U

для описания явлений линейной ползучести. Впоследствии Ю. Н. Работнов показал, что задачу теории линейной наследственной ползучести можно формально рассматривать как задачу теории упругости, в которой вместо упругих постоянных необходимо при­ менить временные интегральные операторы с ядром ползу­ чести [65, 142]. Указанное положение, названное Ю. Н. Работновым принципом Вольтерра, позволяет решать задачи механики горных пород, в которых граничные условия и объемные силы могут при­ ниматься не зависящими от времени.

Уравнение состояния среды в теории линейной наследственной ползучести представляется интегральным уравнением Больцмана— Вольтерра:

где L (£, т) — ядро ползучести (наследственности).

При постоянном напряжении это уравнение можно представить

t

где L* = JL (tf, т) dx — интегральный оператор типа Вольтерра;

—о

Е— временной оператор.

Закон наследственной ползучести для объемного напряженного состояния получается из обобщенного закона Гука заменой упругих констант временными операторами. Временные операторы состоят из двух членов — упругой постоянной и интегрального оператора с ядром ползучести.

Получение интегральных операторов и особенно их функций при произвольном ядре ползучести связано с серьезными математи­ ческими трудностями. Ю. Н. Работновым [142] предложена в каче­ стве ядра ползучести экспоненциальная функция дробного порядка

Свойство экспоненциальной функции дробного порядка, определя­ емое теоремой умножения,

Э*а (*)3* (у) = э « ---- (* + V) (10.4)

позволяет упростить преобразование интегральных операторов, которые определяются по таблицам дробно-экспоиенциальной функции [143]. Однако для числовых расчетов с использованием ЭВМ таблицами воспользоваться нельзя. В этом случае применяется аппроксимация М. И. Розовского [145]:

65

где

^ = (1_а)1-а; р= 8Г (1 — а).

Возможность применения теории наследственной ползучести к ре­ шению задач механики горных пород впервые экспериментально обосновал Ж. С. Ержанов [65]. Он показал, что деформирование ряда горных пород до определенного уровня нагружения соответ­ ствует закону линейной наследственной ползучести с ядром в виде степенной функции (Абелево ядро):

которое является частным случаем дробно-экспоненциальной функ­ ции (10.3). Используются и другие ядра [39, 196].

Ж. С. Ержановым и его последователями решен ряд практически важных задач взаимодействия крепи с массивом горных пород, в которых учитываются технология сооружения выработки (разрыв во времени между обнажением пород и введением крепи в ра­

ющаяся в анизотропии свойств массива при различной ориентировке

ствия пород и крепи близка упругой. Отличие заключается в том, что упруговязкая модель учитывает так называемое «последействие», т. е. деформирование пород во времени после снятия или приложения нагрузки. В задачах линейной ползучести при незакрепленных выработках поля напряжений в упруговязкой и упругой средах точно совпадают. При наличии жесткой крепи напряжения в упруго­ вязкой среде релаксируют во времени. Указанные особенности опре­ деляют условия применимости упруговязких моделей взаимодей­ ствия пород и крепи к реальным объектам.

При решении задач теории ползучести горных пород важное значение имеет отмеченный выше (см. § 6) принцип И. В. Родина,

согласно которому поле напряжений в массиве вокруг выработки делится условно на «природное» и «снимаемое». Ползучесть горных пород проявляется только под действием снимаемого поля напря­ жений.

Функции ползучести и их применение для практических расчетов *

Сложность решения задач механики горных пород методами теории наследственной ползучести заключается, с одной стороны, в сложности решения аналогичных задач для упругой модели, и

сдругой — главным образом в расшифровке операторных выражений

*Обоснование функций ползучести выполнено при участии А. М. Линь-

кова.

66

согласно принципу Вольтерра. Между тем при постоянных напря­ жениях на границе рассматриваемой области расшифровку времен­ ных операторов можно существенно упростить, если воспользоваться вместо интегральных операторов функциями ползучести (или рела­ ксации) Ф.

В качестве примера рассмотрим функцию ползучести при исполь­ зовании Абелева ядра (10.6). Из выражения (10.2), подставляя ядро ползучести в интегральный оператор, получим выражение для вре­ менной функции модуля деформации

Здесь и далее а и 6 — параметры ползучести. Далее, пользуясь

выводом об отсутствии объемного последействия, сделанным

из которого следует временная функция коэффициента поперечной деформации

Другие временные операторы, содержащие Е и |л, преобразуются, как обычные алгебраические выражения с использованием исходных временных функций Et и [it. Например, выражение для временной функции модуля сдвига получим, подставив в известную зависимость

выражения (10.7) и (10.9), тогда

Для сравнения приведем выражения для временных операторов рассмотренных величин, которые получены с использованием основ­ ных свойств «Э-операторов и аппроксимации (10 .5):

Ё ~ Е е х р [—к>6Г(1 —а)

67

Втабл. 18 сопоставлены временные функции (10.7), (10.9), (10.11),

атакже более сложная функция

с точными значениями временных операторов, вычисленными после их расшифровки по таблицам [143]. Сходимость является вполне удовлетворительной, тем более, что аппроксимация (10.5) дает зна­ чительно меньшую точность.

Заметим, кстати, что в работе [65] в формуле временного опера­

тора для М имеются опечатки, поэтому приведем ее в исправленном виде:

Предлагаемый математический аппарат распространяется и на иррациональные временные операторы, используемые при анализе анизотропной среды. Расшифровка иррациональных операторов встречает серьезные затруднения [77], поэтому при решении задач наследственной ползучести с учетом анизотропии пород вводятся иногда недостаточно обоснованные упрощения. Например, пред-

68

полагается, что ползучесть сказывается лишь на модуле деформации материала при сжатии его под углом 45° к плоскости изотропии. Остальные характеристики среды полагаются постоянными, не зависящими от времени. Но даже и в этом случае расшифровка интегральных операторов оказывается не простой. В работах [50, 75] расшифровка наиболее распространенного временного оператора приводится на шести страницах. Этот оператор имеет следующий вид:

пии и в направлении, перпендикулярном ей, и соответствующие им

коэффициенты поперечной деформации; ЕАЪ— временной оператор модуля деформации при сжатии под углом 45° к плоскости изо­ тропии.

Окончательное выражение иррациональной функции операторов

где i/А — некоторая функция упругих констант; х, Р — параметры ползучести.

До преобразования иррациональной функции (10.15) ее можно представить в виде:

69

работы [50]. Сравнение говорит в пользу функции (10.17), к тому же выражение (10.16) является приближенным и справедливо при (3^“а > 1 .

Для упрощения получения временных функций при ядре ползу-

70