книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf
2 2 2 |
ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
|
|
|
|
3142. |
Показать, |
что однородная функция k-то порядка |
и = x kF |
-j - ), где F - |
дифференцируемая функция, удовлетво |
ряет соотношению я |
+ У ^ + 2 g j = • |
|
3143. |
Проверить |
предложение задачи 3142 для функции |
3144. Дана дифференцируемая функция f ( x , у). Доказать, что если переменные лс, у заменить линейными однородными функциями от Х у У, то полученная функция F ( X t У) связана с
данной функцией соотношением + У$~ = + Y
Неявно и параметрически заданные функции
В задачах 3145-3155 цайти |
производную |
J j от функций, |
||||||
заданных неявно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3145. |
х3у - у 3х = а4. |
|
3146. |
хгуг - х * - у* =а*. |
||||
3147. |
хеу +уех - е ху = 0 . |
|
3148. |
(*2 + г,2)2- а 2(*2 - у 2)= 0 |
||||
3149. |
sin (ху) - еху - |
х2у =: 0. |
3150. |
л:1 + у® = а®. |
||||
3151. |
ху - In у = а . |
|
|
3152. |
a r c t g ^ - i = 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
® |
а |
а |
3153. |
ух2 = . |
3154. |
уех + еу = 0 . |
3155. |
у* = |
|||
3156. |
F(x, у) = F (у, х). |
Показать, что производная от у по |
||||||
х может быть выражена с помощью дроби, числитель которой получается из знаменателя перестановкой букв у и х.
3157. х2 + у2 - 4х -1 0 у + 4 = 0; найти |
J^- при х = 6, |
у = 2 |
и при х = 6, у = 8. Дать геометрическое |
истолкование |
полу |
ченных результатов. |
|
|
3158. х4у + ху4 - ах2у2 = а6; найти J^- при х = у = а.
3159. Доказать, что из х2у2 + х 2 + у2 - 1 = 0 следует
§ 4 . ДИФ Ф ЕРЕ Н ЦИ РО В А Н И Е Ф УН КЦИ Й
3160. Доказать, что из а + Ь(х + у) + сху = т (х -у)
dx |
_ |
dy |
|
|
|
|
|
|
a+2bx+cx |
|
а+2Ьу+суг |
|
|
|
|
|
|
3 1 6 1 . |
— + — + — = 1: |
4s. |
' |
= 9 |
|
|||
|
а2 |
b2 с2 |
’ |
dx |
dy |
' |
|
|
3162. |
x2 - 2y2 + z2 - 4* + 2z - |
5 = 0; |
-^- = ? |
4^- = ? |
||||
|
|
9 |
|
|
|
|
dx |
dy |
3163. |
z3 +3xyz = a3 ; |
^ |
= ? ^ |
= ? |
|
|
||
3164. |
ez - xyz = 0; |
= ? -g- = ? |
|
|
||||
2 2 3
следует
3165. Показать, что, какова бы ни была дифференцируемая
функция |
ср, из соотношения |
<p(cx-az,cy-bz) = 0 |
следует |
|||||
о|2- + б|2- = с . |
|
|
|
|
|
|
||
Эх |
Эу |
|
|
|
|
|
|
|
3166. |
^(дс, z/, г) = 0. |
Доказать, что |
|
|
||||
|
|
Эх |
Эу |
_ 1. Эу |
дг_ |
Эх |
1 |
|
|
|
Эу'Эх |
Эг |
Эх |
Эу |
|
|
|
3167. |
Найти полный дифференциал функции г, определяе |
|||||||
мый уравнением cos2 JC+ cos2 у + cos2 2 = 1. |
|
|
||||||
3168. |
Функция |
г |
задана |
параметрически: x = u + v, |
||||
у = u - v , |
z = uv. Выразить г как явную функцию от х и у. |
|||||||
3169. |
x = u + v, |
у - и2 +v2, |
z = и3 + и3 . Выразить |
г как |
||||
явную функцию от х и у. |
|
|
|
|
|
|||
3170. |
х —и cos v, |
у —и sin v, |
z = kv. Выразить z как явную |
|||||
функцию от х и у.
В задачах 3171-3175 выразить dz через х, у, г, dx и dy от функций, заданных параметрически.
3171. |
x = |
у = |
2 = uv. |
3172. |
х = Va (sin и + cos у) , |
у = 4а (cos и - sin ц), |
|
|
2 = 1 + sin(w -n). |
|
|
3173. |
x = u + v, |
у = u - v , |
z —u2v2. |
3174. |
x = wcosu, |
y - u s iny, z = u2. |
|
3175. |
x = v cos u - u cos и + sin и , у = u sin w -u sin u -cosu , |
||
2 = (н -ц )2 .
224 |
ГЛ . X. Ф У Н К Ц И И Н Е С КО Л Ь КИ Х ПЕРЕМ ЕН Н Ы Х |
|
||
3176. |
х = еиcos v , |
у = еиsin v , |
z = uv. Выразить |
dz через |
ы, v, dx и dy. |
|
|
|
|
3177. |
Соотношения |
u = f ( x , y ), |
v = F(x, у), где |
f и F - |
дифференцируемые функции x и у, определяют х и у как диф ференцируемые функции от а и у. Доказать, что
f Эи |
Эи |
ди ЭьЛ f Эх ду _ |
Эх Э|Л _ ^ |
^Эх |
Эу |
Эу ЭхJ ^ Эи ди |
dv ди) |
3178. и и v являются функциями х, у, 2, удовлетворяющими
соотношениям uv = 3 х -2 у + z, v2 = х2 + у2 + z2 . Показать, что
3179. |
Пусть |
у = f (x ,t) , |
F(x, у, t) = 0. Проверить, что |
|
|
, |
$LM.-iLdF |
|
|
dy _ |
Эх э< э< Эх |
|
|
dx |
&М.+М. ' |
3180. |
Пусть |
f(x,y,z) = 0, |
F (лг, у, 2) = 0. Проверить, что |
,Э /Э £ _ Э £ .Э /
ду _ |
Эх Эг |
Эх Эг |
4Х |
iii£_d£3/ ' |
|
|
Эу Эх |
Эу Эг |
§ 5. Повторное дифференцирование
3181. |
г = ха + ху2 - 5ху3 + у5 . Показать, что ^ § - = |
. |
|||||
|
|
|
|
|
дхду |
|
ду Эх |
3182. |
z = ху . Показать, что |
ЭхЭу |
= Jfe . |
|
|
|
|
|
|
|
ЭуЭх |
|
|
|
|
3183. |
2 = ex(cosy + xsinw). Показать, что |
ЭуЭх |
|||||
|
' |
' |
|
|
ЭхЭу |
||
3184. |
2 = arctg —. Показать, что |
Эу2 Эх |
ЭхЭу2 |
|
|
||
|
* |
|
|
|
|
||
В задачах 3185-3192 |
найти |
Эх1 |
°хду |
и |
от |
данных |
|
|
|
|
Эу2 |
|
|
||
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
3185. |
z = j - ^ e 2 + y2J. |
3186. |
г = 1п|* + Jx2 + y2j. |
||||
3187. г = arctg— |
3188. z = sin2(а* + by). |
226 |
ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
||
3208. |
v = х In (* + г) - г, |
где г2 = х 2 + у2; показать, что |
|
|
д2у |
, Э2v _ |
1 |
|
дх2 |
ду2 |
х+г' |
Э2и
3209. Найти выражение для второй производной —\ от Элг
функции уу заданной неявно уравнением f (xt у) = 0.
3210. у = <$(x-at) + ф(л: + а*). Показать, что |^|- = а2 |-|-,
каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции фи\|г.
3211. |
и = ф(*)+ \|/ (у)+ (х - y)tf(y). Проверить, что |
|
|
||||||||
(ф и \|/ - |
дважды дифференцируемые функции). |
|
|
||||||||
3212. |
г = рф|лс2 - y 2j. |
Проверить, что |
+ |
= |
(Ф “ |
||||||
дифференцируемая функция). |
|
|
|
|
|
|
|||||
3213. |
г = х(р(х + у) + уф (х + у). Показать, что |
|
|
||||||||
|
|
|
йх2 |
ЭхЭу |
эу2 |
|
|
|
|||
(ф и V - |
дважды дифференцируемые функции). |
|
|
||||||||
3214. |
и = -^[ф (ах + у)+ ф (ах - у)]. Показать, что |
|
|
||||||||
|
|
|
Э2ц _ а?_ |
д (-.2 |
Эи'] |
|
|
|
|||
|
|
|
Эх2 |
|
у2 |
|
|
дуУ |
|
|
|
3215. |
и - ^-[ф (х - |
у) + ф (х + у)]. Показать, что |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
х 2 д2и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ду2 |
|
|
|
|
3216. |
и = хеу + уех. Показать, что |
|
|
|
|
||||||
|
|
Э!и |
ifu |
= х |
д3и |
д3и |
|
|
|
||
|
|
дх3 |
ду3 |
|
дхду2 + У дх2 ду ’ |
|
|
||||
3217. |
и = ехуг. Показать, что |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
J ^ = |
_ |
Г7/ d“u |
, о |
ди , |
• |
|
|
||
|
|
|
VI/ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Эхдудг |
|
Х у дхЗу+ 2 х д^+ и - |
|
|
|||||
3218. |
в = In |
— . Показать, что |
|
|
|
|
|||||
|
i?“ + _ifu__ |
|
_ dfu _ o f j ___i_ |
|
|
||||||
Эх8 дх2ду ЭхЭу2 ду3 |
у3 х3 |
§ 5. ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ |
227 |
|
В задачах 3219-3224 найти дифференциалы второго порядка
от данных функций. |
|
|
|
3219. |
2 = ху2 - х2у . |
3220. |
z = In (х - у). |
3221. |
2 = —т~—гг. |
3222. |
z = xsin2y. |
|
2( х 2 + у 2 ) |
|
|
3223. |
г = еху. |
3224. и = хуг. |
|
3225. |
z = sin(2x + у). Найти d3z |
в точках (0, я), (--| |
|
3226. |
и = sin(x + у + z); |
d2u = ? |
|
3227. 4 - + 4 + 4 = i; |
^22 = ? |
|
|
|
|
a 2 t 2 c 2 |
|
|
|
3228. |
23 - 3xyz = a3 ; |
d 22 = ? |
|
|
3229. |
3x2y2 + 2z2xy - 2zx3 + 4zy3 - 4 |
= 0. Найти d2z в точке |
||
(2, 1, 2). |
|
|
|
|
|
Замена переменных |
|
||
3230. |
Преобразовать дифференциально! выражение |
|
||
|
* - 4 4 + 2х.3» % + у, |
|
||
полагая х = К |
|
|
|
|
3231. |
Преобразовать дифференциальное выражение |
|
||
|
х2у" - 4ху' + у, |
|
||
полагая х = е . |
|
|
|
|
3232. |
Преобразовать дифференциальное выражение |
|||
полагая д |
= sin t. |
|
|
|
3233. Преобразовать дифференциальное выражение |
+ у, |
|||
считая у независимой переменной, х - |
функцией от нее. |
|
||
3234. Преобразовать выражение у'у'" - 3у"2, принимая за |
||||
независимую переменную у. |
|
|
||
3235. |
Преобразовать |
выражение |
уу' - 2 (у2 + у 2] к |
новой |
функции v, полагая у = -J-.
в*
228 |
|
ГЛ. X. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ |
|
||||
3236. |
Преобразовать |
к полярным координатам |
уравнение |
||||
|
|
. Полярные координаты связаны с декартовыми фор |
|||||
мулами |
х = р cos ф, z/ = psincp. |
|
|
||||
3237. |
Выражение |
k = — -— — |
преобразовать к полярным |
||||
|
|
|
|
(ну2)2 |
|
|
|
координатам р, ф. |
|
|
|
|
|
||
3238. Функция z зависит от х, у. В выражении |
|
||||||
сделать |
замену независимых |
переменных с помощью |
формул |
||||
х = и cos v ; у = иsin v . |
|
|
|
|
|||
3239. |
Оператор Лапласа |
+ |
преобразовать к |
поляр- |
|||
|
|
|
|
|
дх , |
Э|Г |
|
ным координатам. |
|
|
|
|
|
||
3240. |
Выражение |
Эх2 |
+ |
+ кг |
преобразовать к полярным |
||
|
|
|
Э|Г |
|
|
||
координатам, считая, |
что |
г = о (р) |
зависит только от |
р и не |
|||
зависит от ф. |
|
|
|
|
|
||
3241. |
В выражении J -J + 2 |
+ j-f* независимые перемен |
|||||
ные х и у заменить переменными и и и, а функцию г |
- пере |
||||||
менной |
wy полагая, что эти переменные связаны соотношением |
||||||
. _ и+и |
’ |
У = 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Глава XI
ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких переменных
|
Формула Тейлора |
3242. |
f(x ,y )= x 3+2y3-x y ; разложить функцию f(x+ht y +k) |
по степеням h и k. |
|
3243. |
/(*, у) = х3 + у2 - бху - 39дс +18|/ + 4; найти прираще |
ние, которое получает функция при переходе независимых пе
ременных |
от значений х = 5, |
у = 6 к значениям х = 5 + h, |
|
у = 6 + k. |
|
|
|
3244. |
f (х, у) = |
- ух3 + |
- 2 х + З у -4 ; найти прира |
щение, которое получает функция' при переходе независимых переменных от значений х = 1, у = 2 к значениям х = 1 + h,
у = 2 + k. Ограничиваясь членами до второго порядка включи
тельно, вычислить /(1,02, 2,03). |
|
|
3245. |
/ (х, у, г) - Ах2 + By2+ C z2 + Dxy + Eyz + Fzx; |
разло |
жить f(x + h,y + k,z + l) по степеням h, k и /. |
|
|
3246. |
Разложить z = sin x sin у по степеням x - ^ и |
у - j . |
Найти члены первого и второго порядка и Rz (остаточный член второго порядка).
3247. Функцию z = ху разложить по степеням .г -1 , у - 1, найдя члены до третьего порядка включительно. Использовать результат для вычисления (без таблиц!) гх - 1Д1,02.
230 |
ГЛ. XI. ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
3248. |
/ (д:, у) = ех sin у ; разложить f(x + h ,y + k) по степе |
ням h и ft, ограничиваясь членами третьего порядка относи тельно h и k. Использовать результат для вычисления
zY= е0,1sin 0,49я.
3249. Найти несколько первых членов разложения функции
ех sin у в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0).
3250. Найти несколько первых членов разложения функции
ех ln(l + у) в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0).
В задачах 3251-3256 разложить в ряд Тейлора при х0 = О,
Уо = 0 данные функции. |
|
|
|
3251. |
z = -— -------. |
3252*. z = arct |
|
|
1-х-у+ху |
|
ь 1+ху |
3263. |
z = l n ( l - * ) l n ( l - y ) . |
3254. |
z = |
3265. |
z = sin|;t2 + i/2J. |
3256. |
z = ех cos у . |
3257. Найти несколько первых членов разложения по степе
ням х - 1 , у - 1 функции z, заданной неявно |
уравнением |
z3 + y z - ху2 - х3 = О и равной единице при х - 1 , |
у = 1. |
3258. Получить приближенную формулу ^J^ -«l - j |JC2 - y 2j |
|
для достаточно малых значений |х |, |у |. |
|
Экстремумы
В задачах 3259-3267 найти стационарные точки функций.
3259. |
z = 2х3 + ху2 + 5*2 + у2. 3260. z = е2х\х + у2 + 2yj. |
|||
3261. |
z = ху (а - х - у). |
3262. |
z = ^2ах - |
де2J ^2by - у2j . |
3263. |
z —sin х + sin у + cos {х + у') |
^0 < х < j |
, 0 < у < j j . |
|
3264. |
z = - “— Х+?У . |
3265. |
z = y-J1+ х + x<Jl+~у . |
|
|
yi+ж2+у2 |
|
|
|
3266. |
и = 2х2 + у2 + 2z - |
ху - x z . |
|
|
3267. |
и = 31n* + 21ny + 51nz + l n ( 2 2 - * - i / - z ) . |
|||