книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
1738. |
Ь й г - |
1739. |
|
dx |
|
1740.i. |
f |
|
|
'■h |
|
|
|
J x 2+l* |
|||
174i. |
J |
^ . |
1742. |
|
|
|
1743. f - e£xdx |
|
|
f |
+1 |
|
J e +1 |
|
1746. J |
J c |
|
1744‘ |
J |
^ * dx. |
1745. |
J ctg JCdx. |
tg 3* d*. |
|||
1747, Jctg(2* + l)dx. 1748. |
Г |
s[n-2\-d x. 1749. |
||||||
|
|
|
|
|
Г |
sin З: |
|
|
|
|
' |
|
|
J' l+cos1 2x |
|
J xlnx |
|
l 7 S 0 . j ^ T dx
1752. J e n * eos Ydx
1755. J e'3 .n d
1758.
V 4?f
1761.
V4-ar2
1764. f.£d* J *Vi*
1767. J -
Vl-x8
1770.
J'Q
'a +sin2a’
1773.
|
1751. | е- |
4 1 п ж ). |
|
|
||
1753. j a 3xdx. |
1754. |
ja~xdx. |
||||
1756. |
^ex xdx. |
|
1757. |
| e~x3x2dx. |
||
1759. |
f |
dx |
|
1760. |
f -<** . |
|
|
' Vl-25x2 |
|
|
J l+9x2 |
||
1762. |
Г |
dx |
|
1763. |
f |
dr |
|
12л:2+9 ' |
|
|
J Л -9х2 * |
||
1765. |
f |
xdx |
|
1766. |
fx 2dx |
|
|
|
|
|
|
J xe+4* |
|
1768. |
f |
exdx |
|
1769. |
f |
2xdx |
|
1e2x+4* |
|
|
|
|
|
1771. |
|
|
|
1772. |
J V + l f d s . |
|
1774. |
|
|
|
1775. |
J V H f* * - |
|
1777. |
f |
)+X~X^ |
dx- |
1778. |
f |
dx |
|
} |
^ f |
|
|
} (x+^ i f |
|
|
|
|
|
|
||
1779. f ^ |
e |
i d x . |
1780. f « & 2 2 £ £ .Л с. |
|
J |
Vl-x2 |
|
J |
Vl-9x2 |
В задачах 1781-1790 найти интегралы, выделив целую |
||||
часть подынтегральной дроби. |
|
|||
1781- J ^ |
4 d*- |
1782. |
\ ^ d x . |
1783. \ -£fcdx. |
1784. |
|
1785. |
J |
1786. |
132 |
ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
||
1787. |
dx. |
1788. |
j ^ d x . |
1789. \ -^ d x . |
1790. |
|
|
В задачах 1791-1807 найти интегралы, использовав прием разложения подынтегрального' выражения и прием выделения полного квадрата.
1791- 1 т & 7
1794. |
f |
dx |
|
J (a-x)(b-x |
|
1797. J |
—dx |
|
|
|
x2+3x-10’ |
1800. |
f (*a-l)2+4 |
|
1803.• / |
dx |
|
4x2+4x+5* |
||
1806. |
[ |
dx |
|
|
Ve+6x-9x2 |
1792. |
|
|
dx |
1793. |
_ d * _ |
|
I x(x+l)‘ |
I (x+l)(2x-3) ’ |
|||||
1795. |
[ ^ d x . |
1796. |
f -=-&----- |
|||
|
J |
x2- l |
|
J xa-7.x+10 |
||
1798. |
f - |
dx |
1799. |
f - ^ z |
||
|
J |
4xA |
-9 |
|
J 2-3xz |
|
1801. |
I |
|
|
dx |
1802. |
f — 4s— • |
|
x2+2x+3 |
|
J x-x2-2,5 |
|||
1804. |
J |
- |
|
- &- |
1805. |
f - .- * * — . |
|
|
^/l-(2*+3)2 |
|
J V4x-3-x2 |
||
1807. |
[ |
r dx |
|
|
||
|
|
|
J v2V2--66x. -9x2 ' |
|
||
В задачах 1808-1831 найти интегралы, использовав форму лы тригонометрии для преобразования подынтегрального вы ражения.
1808. |
f cos2 х dx. |
1809. |
J |
fsin fa d * . |
1810. |
f , dx . |
|||
|
J |
|
|
|
|
|
J 1-cos X |
||
1811. |
J 1-81ПХ |
1812. |
|
fb ssa id *. |
1813. |
[ ^ ^ - d x . |
|||
|
|
J 1+COSX |
|
J 1-31ПХ |
|||||
1814. |
f(tg2 x + tg4 x)dx. |
|
|
1815. [ |
coa2xdx . |
|
|||
1816. |
Jcosxsin 3xdx . |
|
|
1817. Jcos2xcos3xdx. |
|||||
1818. |
J |
sin 2л?sin 5л?dx. |
|
|
1819. J cos л? cos 2л?cos Зл?dx. |
||||
1820. |
J COBX |
1821. |
J |
cos* |
1822. |
J |
cosx |
||
1823. |
f cos3 x dx |
1824. |
f ^ & d a . |
1825. |
J |
cos X |
|||
|
J |
sin4X |
|
J |
Vcoea |
|
|||
1826. |
J |
COS8 Л? dx. |
1827. |
J |
|
tg4Л? dx. |
1828. |
J |
sin6 x dx. |
1829. |
J |
sin4 л? dx. |
1830. |
J tg8 x dx. |
1831. |
f - ^ - . |
|||
J sin x
|
|
|
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ |
|
|
133 |
|||||||||||||
§ 2. Основные методы интегрирования |
|||||||||||||||||||
|
|
Интегрирование |
по частям |
|
|
||||||||||||||
В задачах 1832-1868 найти интегралы. |
|
|
|
|
J |
|
|||||||||||||
1832. |
j |
x sin 2л:dx. |
1833. |
^ x cos xdx. |
1834. |
x e'xdx. |
|||||||||||||
1835. |
j x |
Zxdx. |
|
1836. |
J |
л:" In л:dx |
n( * |
|
- |
l |
) . |
||||||||
1837. |
J |
x arctg xdx. |
1838. |
|
J |
arc cos л:ckc. |
1839. |
J |
arctg 4x dx. |
||||||||||
1840. |
i^ m ^ -d x . |
|
1841. |
|
j x t g 2xdx. |
|
1842. |
J |
x cos2 x dx. |
||||||||||
|
J |
v*+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
arcsin-Jx d x |
|||
1843. |
j i f d x . |
|
|
1844. |
|
J |
|
V |
u |
|
1845. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
|
|
|
J\-x |
||||
1846. |
Jln(e2 + l)d*. |
™ |
|
|
- |
! p |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1848. |
f - ^ % . |
|
|
1849. j x 2 \n(l + x) dx. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
J |
1+X2V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1850. |
J |
x 2e~xdx. |
|
1851. |
J x8exdx. |
|
|
1852. |
j x 2axdx. |
||||||||||
1853. |
J |
л:3 sin x dx. |
1854. |
J * 2cos2xdx. |
|
1855. |
J In2 x dx. |
||||||||||||
1856. |
|
|
|
|
|
1857. |
j^j==-dx. |
|
1858. |
J(arcsinx)2^ . |
|||||||||
1859. J |
( |
a |
rxcf xt |
gdx. |
1860. J |
ex s |
i |
nx dx. |
|
|
|
|
|||||||
1861. J |
e |
|
3 * |
2( лs: -i nc |
o2x)dxs |
. |
1862. J |
eaxc |
o nxdxs . |
||||||||||
1863. J |
s |
i |
n |
l n |
x1864t f. xJ |
|
c. |
o |
s h |
|
^ |
1865*c t e. . |
|
||||||
1866*. J > |
|
/ +a x2dx2 . |
1867. J |
|
• 1868. J |
x2ex s i nx dx. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Замена |
переменной |
|
|
|
|
|||||||||
В задачах 1869-1904 найти интеграл. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1869. J |
1+^х+~1' (подстановка х +1 = г2). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1870. |
[ 4 ^ . |
1871. |
|
|
|
|
|
1872. |
f-4S = . |
||||||||||
J Vx-l |
J (x-2)3 |
J xVx+1 |
134 |
|
|
ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
|||||
1873- |
|
|
1874- t e - |
|
1875JД)^- |
|
|||||
1876- № |
dx- 1877- J i ^ = r |
1878- J |
v ^ |
r |
|
||||||
1879. |
|
|
(подстановка х = z6). |
|
|
|
|
|
|||
1880. |
|
|
1881. |
I4x+i[x ' |
1882.>•/ |
л |
<£r. |
|
|||
1883. J Y ’f X |
|
|
|||||||||
(подстановка ex +1 = г4). |
|
|
|
|
|||||||
1884. b £ r - |
l885- |
/ ^ |
d- |
|
|
|
|
||||
1886. |
J i/l + cos2JC sin 2 * COS 2 JCA C. |
|
|
|
|
|
|||||
1887 |
|
|
dx. |
1888.•J: |
x*dx |
|
1889.• f |
|
|
||
|
|
|
|
|
' |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
1890. |
|
|
(подстановка |
* = -!-, |
или |
x = a tg z, |
|
||||
x = ash 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1891. J |
|
(подстановка. x = a s in z ). |
|
|
|
||||||
|
Va -x* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1892. |
J |
— |
(подстановка |
z = -Ц |
или |
* = - £ - , |
или |
||||
|
x^x‘ -aA |
|
|
|
2 |
|
|
cos г |
|
||
J: = a ch z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1893. |
|
|
1894. |
i ^ - d x . |
|
1895. |
f , |
<*« |
■ |
||
|
|
|
|
|
J 1 |
|
|
|
J1P ^ f |
|
|
|
f Jfo-x2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1896. J |
}-d x . |
|
1897 |
I: V*2-9 |
|
|
|
||||
1898. |
f - j f e — |
|
1899. |
f - - |
<** |
|
|
|
|
||
|
J Xyl+X2 |
|
|
|
' J R 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1900. |
\ x 24 i - x 2dx. |
1901. |
f------ 4x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
J (х2+4^4х2+1 |
|
|
|
||
l®02*. I M |
f ■ |
1903*. |
|
|
1904*. f - № |
- . |
|||||
■''X“ *2 |
J * (l+*er) |
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ |
135 |
В задачах 1905-1909 найти интегралы, применив сначала замену переменной, а потом интегрирование по частям.
1905. |
J |
e ^ d x . |
|
1906. |
|
|
|
|||
1907. |
f |
- |
P |
S |
t a |
1908. |
хйarctgх dx. |
|||
|
i |
d |
* . 1+х2 |
|
||||||
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1909. |
f |
a; ; te* <**. |
|
|
|
|
|
|||
|
J x2(l+x2) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Разные |
задачи |
||||
В задачах 1910-2011 найти интегралы. |
||||||||||
1910. |
J |
(х +1 )\1х2 + 2х dx. |
|
1911. J |
1(+ e3x)j2e3xdx. |
|||||
1912. |
j^j=-dx. |
1913. |
J |
dx. |
|
1914. J V- el xexdx. |
||||
1915. |
J |
xcosx2dx. |
|
|
1916. |
J |
5dx. |
|||
|
|
^ -2 3x3 J * 3 < |
||||||||
1917. |
J 2xa-3x* |
dx. |
|
|
1918. |
|
|
|||
|
|
l+3x*-x° |
|
|
|
|
|
|
||
1919. |
J |
|
dx |
|
|
|
|
192°- |
|
|
ех(з+е~х |
|
|
|
|
|
|||||
1921. |
J |
2x+3 |
dx. |
|
|
1922. |
f |
,2l~1- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J V ^ 4 |
|
1923.. j ^ |
£ |
dx. |
|
|
1924. |
J |
|
|||
1925. |
f |
|
In xdx |
|
|
|
|
|
|
|
" J x (l-ln2xj |
|
|
|
|
|
|
||||
1927.J (arctgx -dx. |
|
|
|
|
|
|||||
1929. |
|
соs2xdx. |
|
|
|
|
|
|||
J |
cos^*t |
|
|
|
|
|
J |
(- ltg Sx) dx. |
||
1931. |
J |
>/tg3 x sec4 x dx. |
|
1932. |
||||||
|
|
|
|
|
|
J |
|
^ |
|
xdx |
1933. |
|
|
|
|
1934. |
|
1935. . J V2+4*’; |
|||
136 |
ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|||
1936. |
xdx |
1937. |
Г xJa + x dx. |
|
Vl+2x |
||||
|
|
|
||
1938. |
^Vsin* + cos * j d *. |
1939. |
j* amxbnxd x . |
|
1940.
1943.
1946.
1949.
dx |
1941. |
jГ |
dx |
|
|
|
>/б-2х+х2 |
|
' |
V9X2-6X+2 • 1942- J |
|||
(8x-ll)dx |
1944. |
jГ |
(x+2)dx |
|
1945. |
J |
V5+2x-x2 |
|
1xz+2x+2* |
|
|
||
(3x-l)dx |
1947. |
jГ |
(3x-l)dx |
1948. |
J |
|
4x2-4x+17* |
|
' |
Vx2+2x+2 |
|
|
|
2x+5 |
dx. |
|
io*n |
f |
3-4x wv |
|
^9X2+6X+2 |
|
|
’ |
J2X2-3X+1 |
|
|
dx
Vl2x-9x2-2
(x-3)dx
CO |
HM |
(x-2)dx
X2-7X+12
1951. |
(4-3x)dx |
1952. |
jf (2-5x)dx |
1953. J |
xdx |
|
|
5x2+6x+18* |
|
' V4X2+9X+1 |
|
л/Зх2-11х+2 |
|
|
4xdx |
|
|
|
1966,>. J |
a r xdxc t. g |
1954. |
Г 2x+3 |
1955. |
n |
dx- |
||
1957. |
| x s i nx c o xs |
dx. |
1958. J |
x2c |
o to*s dx. |
|
1959.
1962.
1965.
1968.
1971.
1974,
1977.
f e2xx3dx. |
1960. |
f |
dx. |
1961. |
dx. |
|||
J |
|
J |
COS™ X |
|
In sinX |
|
||
Г |
x2dx |
1963. |
[ cos2.31 dx. |
1964. |
f , |
. |
||
* (l+x4f |
|
J |
sin3x |
|
J 1-sin |
3x |
||
|
|
|
|
|
|
|||
J* |
sin2xdx |
1966. f - ^ - . |
1967. |
f ^ d x . |
||||
J 4-cos2 2x |
||||||||
J e +1 |
|
J ex+l |
|
|||||
| e'x*xdx. |
1969. |
f e2*2+'nxdx. 1970. |
[-U 2 |
dx. |
||||
|
|
|
J |
|
|
J v2+2; |
|
|
f^aresinxd x 1972 |
f |
sin x |
1973. (e^ si^ x d x . |
|||||
J |
d 1-v2 |
j |
|
J |
|
|
||
|
sin2 |
1975. |
|
|
1976. f - _ a ____ , |
|||
|
J 1+tgx |
J |
^3cos<p+sin<p |
|||||
1 Ш |
« ™ - /| |
|
|
|
|
|
||
1980. |
[ |
dx • 1981. J Xsex2 d x. |
1982. |
J e’ *2 * 6d * . |
1983. |
f - * 3d* |
. 1984. |
1985. f |
it*2-®2)6 |
' vl+2x2
138 ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2016. |
J х3-4хА |
2017. |
f ^ = 1 -d x. |
||
|
|
|
4х3-х |
||
2018. |
J |
Z2xdx |
2019. |
Г-т xdx, |
|
|
|
(2х-1) (4х2-16х+1б) |
|
J |
х4-З х2+2 |
|
|
|
|
|
|
2020. |
f l2f ~ 5)dx.., |
2021. |
f х3-2*4+Зх3- 9x2+b dx. |
||
|
J х4-5х2+6 |
|
J |
x6-5x3 +4x |
|
2) Знаменатель имеет только действительные корни; не которые корни - кратные.
2022. |
J |
x(x2+2x+lj |
|
2023. |
Г И ) 2^ - |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
2024 |
f |
*2d* |
♦ |
2025. |
f *3+1 dx |
|
||
|
1 |
о о |
J x3-x 2 |
|
||||
|
J X3+5X2+8X+4 |
|
|
|
|
|||
2026 |
f *3-6*2+lix-5 |
|
2027. |
f |
dx |
|
||
’ |
J |
(x-2)4 |
|
|
|
J x4-x2 * |
|
|
2028 |
f |
%2dx |
|
2029. |
f X?-6X2+9X+7 |
• |
||
|
J (X+2)2(X+4)2 |
|
|
|
J (x-2)3(x-5) |
|||
2030- |
|
|
|
2031. |
f |
xBdx |
|
|
|
|
|
|
|
J (x-l)2(x3- l ) ‘ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
2032 |
f |
[x2~2x+3)dx |
|
|
f |
(7*3-9)dx |
|
|
|
J (x-1) (*3-4*2+3x)' |
2033. |
J |
X4-5X3+6X2 * |
|
|||
2034. |
J |
Л х -г)3 |
|
2035. |
\?*2+\dx. |
|
||
|
|
|
|
] (x2-l)3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
3) Знаменатель имеет комплексные различные корни. |
||||||||
2039 |
f |
(2X2-3X-3 )dx |
|
2040. J |
(x, +l)dx |
|
||
|
(x-l) (х2-2х+б) |
|
x3-x 2+x-l" |
|
||||
2041. |
|
2042. J |
(x3+l)(*2« ) ' |
|
2043- / ( „ 1) |
^ ' |
||
2044. J |
|
|
|
|
||||
(зхг+х+3 )dx |
|
2045. |
fs!±2zf±4x±4d;c. |
|
||||
|
(x-l)3 (x3+l ) ' |
|
|
J X 4+2X 3+2X 2 |
|
|||
2046. J (t3-8 )dx |
|
2047*. |
f |
|
|
|
||
|
X 4+6X 2+8* |
|
|
J U r 4 |
|
|||
140 |
|
ГЛ. VI. НЕОПРВДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
||
2072, |
- Я |
dx. |
2073 |
fl+x dx. |
■1Гт |
|
’* J |
ViZZ |
|
2074. |
|
|
2075*.• |
J |
|
|
|
||
2) Дифференциальные биномы хта|\a + bxnj dx.
2076.
2078.
2080.
vj 2082.
2084.
2086.
2088.
\ - dx .
^Хт1х2+1
Гdx
J X
{ ^ d |
x |
|
J |
х2 |
* * |
|
|
N |
|
|
H 1 |
V 2077. |
JV ^ u *» j dx. |
|
2079. |
jx ^ (l + x ° f dx. |
|
2081. |
|
|
2083. |
|
|
J 2085. |
f |
dx |
|
J x fa + x 6 ' |
|
2087. |
f |
dx |
|
|
X1JVl+X4 |
2089. |
J >/l + ifxdx . |
|
Тригонометрические функции
В задачах 2090-2131 найти интегралы.
2090. |
Jsin3 x cos2 x dx. |
2091. |
||
2092. |
f |
dx |
. |
2093. |
|
J C0 8 X8in3X |
|
|
|
2094. |
Г |
dx |
|
2095. |
|
J |
cos3 x sin3 x |
|
|
2096. |
Г |
sinxdx |
|
2097. |
|
J (l-cosx)2* |
|
|
|
2098. |
J cos® л:dx. |
|
2099. |
|
2100. J tg6xdx. |
|
2101. |
||
J COS X
f^ d x .
J COS X
f dx
J sin4 xcos4 x
f cosxdx J (l-cosx)2
Jctg4xdx.
Г - & - . J tg8 x