книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf
|
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ |
|
101 |
1303. |
Показать, что точки перегиба линий |
у = |
лежат |
1304. |
Убедиться в том, что графики функций |
у = ±е~х и |
|
у = е~х sin х (кривая затухающих колебаний) |
имеют |
общие |
|
касательные в точках перегиба линии у = е~х sin х.
1305. При каких значениях а и Ь точка (l, 3) служит точ
кой перегиба линии у = ах3 + Ьх2?
1306. Выбрать а и р так, чтобы линия х2у + азе + Ру = 0
имела точку А (2; 2,5) точкой перегиба. Какие еще точки пере гиба будет она иметь?
1307. При каких значениях а график функции у = ех + ах8
имеет точки перегиба?
1308. Доказать, что абсцисса точки перегиба графика функ ции не может совпадать с точкой экстремума этой функции.
1309. Доказать, что у любой дважды дифференцируемой функции, между двумя точками экстремума лежит по крайней мере одна абсцисса точки перегиба графика функции.
1310. На примере функции у = х4 + 8х3 + 18х2 + 8 прове
рить, что между абсциссами точек перегиба графика функции может и не быть точек экстремума (ср. с предыдущей задачей).
1311. По графику функции (рис. 17) выяснить вид графиков ее первой и второй производных.
1312. То же сделать по графику функции (рис. 18).
У\
0 |
ТЬх |
Рис. 17 |
Рис. 18 |
102 |
|
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ |
|
|
||||||
у \ |
|
|
|
|
|
у\ |
|
Д у ' = /'(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а |
|
|
|
Ъ |
|
1 |
/ |
> |
|
0 |
1 |
/ |
N |
X |
1 |
х |
|\ |
/ |
j |
|
|
1 / |
|
|
1 |
0 |
*х |
||||
|
у |
|
|
|
|
а \ |
J |
Ъ |
||
|
|
|
Рис. 19 |
|
|
|
|
Рис. 20 |
|
|
1313. Выяснить вид графика функции по данному графику ее производной (рис. 19).
1314. Выяснить вид графика функции по данному графику ее производной (рис. 20).
1315. Линия задана параметрическими уравнениями дс = <р(*),
у = у (*). |
Убедиться в том, что значениям t, при которых вы |
|||
ражение |
ФУ ~у Ф |
меняет |
знак |
(штрихом обозначено диффе |
ренцирование по t), |
a |
* 0, |
соответствуют точки перегиба |
|
линии.
1316. Найти точки перегиба линии х = t2 , у = 3t + t3.
1317. Найти точки перегиба линии х = е*, у = sin t.
§ 4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений
Формулы Коши и правило Лопиталя
|
1318. Написать формулу Коши для функций |
/ (я) = sin * |
и |
|
(р(х) = In* на отрезке [a, b], 0 < а < Ь. |
|
|
||
|
1319. |
Написать формулу Коши для функций |
f (х ) = е2х |
и |
ф(х) = 1 + ех на отрезке [а, b]. |
|
|
||
|
1320. |
Проверить справедливость формулы Коши для функ |
||
ций |
f{x) = х г и ф (ас) = х 2 +1 на отрезке [1 ,2]. |
|
|
|
1321. |
Проверить справедливость формулы Коши для функ |
|||
ций |
/ ( х ) = sin * и ф(*) = х + cosх на отрезке [о , у ]. |
|
||
|
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |
103 |
|||||
1322. Доказать, что если на отрезке |
[a, b\ имеет место соот |
||||||
ношение |
| /'(*)М ф'(*)| и |
ф'(х) |
не обращается в нуль, то спра |
||||
ведливо |
также |
соотношение |
|д /(*)|> |Д ф (*)|, |
где |
A/(х ) = |
||
= f(x + A * )- f (x), |
Аф(х) = ф (х + А х)- ф (х), а х и |
х + Ах - про |
|||||
извольные точки отрезка [а, Ь]. |
|
|
|
|
|||
1323. |
Доказать, что на отрезке |х , |
(х > 0) приращение |
|||||
функции |
y = ln|l + x2j |
меньше |
приращения |
функции |
|||
у = arctg х , на отрезке |
х] - |
наоборот: Aarctgx < Ain (l + х2). |
|||||
Пользуясь последним соотношением, показать, что на отрезке
l] a rctgx -ln ^ l + x 2j> -2 --ln 2 .
В задачах 1324-1364 найти пределы.
1324. lim 1325. Иш
x —>a f x - 4 a .
1326. |
lim |
ex - l |
я |
|
|
|
x—>0 |
sinx ’ |
|
|
|
1328. |
lim |
x-arctgx |
|
||
|
x—>0 |
|
|
• |
|
1330. |
lim |
x -sin x |
* |
|
|
|
x-»0 |
x -tg x |
|
||
1332. |
lim |
xm-a m |
|
|
|
|
x—>a |
x n-a n |
|
|
|
1334. |
lim |
*'2-i |
|
|
|
|
x—>0 |
cosx-1 |
|
|
|
1336. |
lim |
|
|
|
|
|
x->0 |
|
|
|
|
1338. |
lim |
ex -e~ x -2 x |
|
||
|
x —>0 |
x -sin x |
|
||
|
|
|
|
|
|
1340. |
lim |
ex £ |
£ ~ x |
i |
|
e |
e |
2 x |
1 |
||
|
x —>0 |
co sx+^~l |
|
||
х-»0 х
1327. |
lim |
J |
-cos ах |
|
д —>0 |
|
-cos рх |
1329. |
Иш |
|
-1 |
|
х->0 |
Vsinftx |
|
1331. |
цт |
S z* 4 * f* . |
|
|
X— |
|
l n^l +i j |
1333. |
lim |
^ |
T - |
|
x ->0 |
cx - d x |
|
1335. |
lim |
|
— . |
|
д.^О smxcosx |
||
1337. |
lim cosxln(x-a) |
||
|
x-»a ln(e*-ee) |
||
1339. |
lim |
etgx-g* |
|
|
x->0 |
tg x-x |
|
1341. |
lim |
|
- l - * a |
|
x->0 |
|
|
ln(l+x)4-4x+2x2--|x3+x4
1342. lim
x->0 6sinx-6x+x3
104 |
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ |
|
|
|
|||||||||||
1343. |
lim |
Jpio2x. |
|
1344. |
lim -rJa*-. |
|
|
|
|||||||
|
х_»0 |
lnsin;c |
|
|
|
*->0 In sin X |
|
|
|
|
|||||
1345. |
lim |
In (l-x)ftg- |
1346. |
lim |
(x ne' x). |
|
|
|
|||||||
ctgirx |
|
|
|
|
|||||||||||
|
X - > 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1347. |
lim |
[(T c-2arctg*)ln*]. |
1348. |
lim |
[x s in fl. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X — »O0 |
L |
X i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
135°- |
[(«2 -<Р2) * е ^ ] - |
|
||||||||
1351. |
lim |
|
]nx' |
1352. |
lim (ctg*--Jr). |
|
|
||||||||
|
x* -»1l ' ln* |
|
|
x->0 \ |
|
|
|
|
*/ |
|
|
||||
1353. |
lim — nJ — |
■ . 1354. |
lim |
\ц1(а + x)(b + x)(c + x) - x\. |
|||||||||||
|
X - > 1 C O S - f l n ( l - x ) |
|
X -»o o L * 4 |
|
14 |
|
|
/ v |
7 |
J |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
_L |
|
|
|
|
1355. |
lim |
|
|
|
1356. |
lim |
x |
|
J1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|||||||
|
х—>°° |
|
|
|
|
|
х-»0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1357. |
lim |
(tg * )2jt~\ |
1358. |
lim x3in*. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
х-»о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1359. |
lim |
: |
|
|
1360. |
lim |
Г |
|
- |
|
|
|
|
||
|
х—>0 |
|
|
|
|
|
х-»0 ( |
|
|
|
|
|
|||
1361. |
lim |
|
н |
1 - |
1362. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х—>°° ( « |
|
|
х—»а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1363. |
lim |
|
|
|
1364. |
lim |
ln(l+x) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||
|
X—>оо к |
г |
- |
|
|
x-»0 |
|
|
|
|
|
|
|||
1365. Проверить, что lim |
* |
s?n- |
существует, |
но не может |
|||||||||||
|
|
|
|
х_)оо |
x+sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
быть вычислен про правилу Лопиталя.
1366. |
Значение какой функции (при достаточно больших |
|
значениях х) больше: ахха или Xх ? |
||
1367. |
Значения какой функции (при достаточно больших |
|
значениях х) |
больше: f ( x ) или 1п /(х), при условии, что |
|
/ (х) —> оо |
при |
X -» оо . |
1368. Пусть х - » 0. Доказать, что е - (l + ле)х - бесконечно малая первого порядка относительно х.
1369. Пусть х —>0. Доказать, что 1п(1 + л:)-е1п1п(е + л:) - бесконечно малая второго порядка относительно х.
|
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |
105 |
1370. |
К окружности радиуса г |
|
проведена касательная в точке А (рис. 21) и на ней отложен отрезок AN, длина которого равна длине дуги AM. Прямая MN пересекает продолжение диаметра АО в точке В. Установить, что
ОВ = г (acosa-sina) sina-a ’
где a - радианная мера центрального угла, соответствующего дуге AM, и показать, что lim OB = 2г.
Асимптотическое изменение функций и асимптоты линий
1371. Проверить, исходя непосредственно из определения,
что прямая у = 2х +1 есть асимптота линии у = 2*4+*3+1. X*
1372. Проверить, исходя непосредственно из определения, что прямая х + у = 0 есть асимптота линии х2у + ху2 = 1.
1373. Доказать, что линии у = Vх3 + Зх2 и у = |
асимп |
тотически приближаются друг к другу при х —» ± » . |
|
1374. Доказать, что функции / (я) = V*6 + 2х4 + 7х2 +1 и |
|
<р (я) = х 3 + х асимптотически равны друг другу при |
х ->+<». |
Воспользоваться этим обстоятельством и вычислить прибли женно /(115) и /(120). Какую погрешность сделаем, положив
/(100) = ф(100)?
В задачах 1375-1391 найти асимптоты данных линий.
1375. |
4 |
- 4 = 1- |
1376- ХУ = а - |
|
|
« |
Ъ |
|
|
1377. |
у = ___ 1___ . |
Ш 8 . У = с + т ^ - |
||
|
|
х2- 4 х +5 |
|
(х-Ь) |
1379. |
2y(* + l)2 = * 8 |
1380. |
у3 = а3 - х3. |
|
1381. |
у8 = 6хг + х 3. |
1382. |
у2(х2 + lj = *2(*2 - 1) • |
|
106 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ
1383. |
ху2 + х 2у = а8 . |
|
|
|
1384. |
у (х2 - 3Ьх + 2&2)= * 3 - |
Зад:2 + а3. |
||
1385. |
(y + x + i f |
= х 2 + 1. |
1386. |
у = х In[е + |
1387. |
у = хех. |
|
1388. |
2 |
|
у = хех +1. |
|||
1389. |
у —х arcsec х. |
1390. |
у = 2д: + arctg - j . |
|
1391. |
у = |
гДе f ( x) ~ многочлен (а Ф0). |
||
1392. Линия задана параметрически уравнениями х = <p(f), |
||||
у = |
Доказать, |
что асимптоты, не |
параллельные коорди |
|
натным осям, могут быть только при тех значениях t = t0, при
которых одновременно |
|
lim ф(У) = оо и |
lim ц/ ft) = оо. |
t-*t0 v ' |
t->t0 T v J |
При этом, если уравнение асимптоты есть у = ах + b, то
Как найти асимптоты, параллельные координатным осям? 1393. Найти асимптоты линии х = у , у =
1394. |
Найти асимптоты линии х = |
у = |
|
|
1395. |
Найти асимптоты линии х = |
у = |
1 - г |
|
|
1 - г |
|
|
|
1396. |
Найти асимптоты декартова листа х = |
За* . |
а = -^4-. |
|
|
|
|
l+t3 |
* 1+#8 |
1397. |
Найти асимптоты линии х - |
у |
—с. |
|
|
г -4 |
|
|
|
Общее исследование функций и линий
В задачах 1398-1464 провести полное исследование данных функций и начертить их графики.
1398. у = ^ . |
1399. у = |
1400. у = |
1401. у (ж -1 )(д :-2 )(д г -3 ) = 1.
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
1 0 7
1402. у = - ^ ~ . |
1403. у = (ж2 - 1)3 . |
ух 2 —1
1404. |
j, = 32*2(*2 - l ) \ |
1405. |
y = i + 4ж2. |
|
|||||
1406. |
у = х 2 + -\. |
1407. |
и = |
2х~\ . |
|
||||
|
|
х с |
|
|
|
(«-1f |
|
||
1408. |
y = |
|
|
|
|
|
|
||
3-Д+ |
|
1409. |
у = |
*3 , . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
2(х+1)2 |
|
||
1410. |
у(х - 1) = X3. |
1411. |
у|л;3 - lj = х4. |
|
|||||
1412 |
г/ - |
|
|
141 о |
у |
_ |
х3+2дг+7д:-3 |
. |
|
( х + 1 )3 |
" |
1413. |
|
|
2х2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1414. |
дсу = (*2 - |
lJ(jc - 2). |
1415. |
(г/ - |
х)х4 + 8 = 0. |
||||
1416. |
у = |
|
|
1417. |
у = * V X . |
|
|||
1418. |
у = £ . |
|
1419. |
у = х - |
ln(jc + 1). |
|
|||
1420. |
у = 1п(ж2 + l). |
1421. |
у = х 2е~х\ |
|
|||||
|
|
|
|
|
у = |
|
х2 |
|
|
1422. |
у = |
. |
1423. |
|
. |
|
|||
1424. |
у = - ^ . |
|
1425. |
у — х + |
. |
|
|||
1426. |
y = (l + A)X. |
1427. |
у = |
л: + |
sin х. |
|
|||
1428. |
у = |
д sin * . |
|
1429. |
у = |
In cos л:. |
|
||
1430. |
у = |
cos л: - |
In cos х. |
1431. |
у = х - 2arctgx. |
|
|||
1432. |
v = |
------- -------- (без отыскания точек перегиба). |
|||||||
|
У |
е*2- 4*+3 |
|
|
|
|
|
|
|
1433. у = e8in* - sin * (без отыскания точек перегиба).
1434. |
у = V ? - |
ж. |
1435. |
у3 = |
* 2 ( * 2 - 4 ) 3. |
1436. |
(Зу + ж)8 = |
27ж. |
1437. |
у = ^|(ж + 1)2 - № = |
|
1438. |
у = (ж -1)*(ж + 1)8. |
1439. |
у 3 = |
бд:2 - х 3. |
|
108 |
|
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ |
|||||||
1440. |
|
|
|
|
1441. |
( i / - * 2) |
= * 6- |
||
1442. |
у2 = ха + 1. |
|
1443. |
у2= х 3-х . |
|||||
1444. |
y2 = x ( x - l f . |
1445. |
z/2 = лс2(л с-1). |
||||||
1446. |
y2 = 4 = * . |
|
1447. |
х 2у + ху2 = 2. |
|||||
|
* |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
1448. |
а |
|
a-x |
(строфоида) |
(a > 0). |
|
|||
1449. |
9y2 = 4л:3 - |
* 4. |
1450. |
25у2 = д:2( 4 - л:2)3. |
|||||
1451. |
y 2 = x 2 -x*. |
|
1452. |
* 2у2 = 4 (* - 1 ) . |
|||||
1453. |
y 2(2 a -x ) = л:3 (циссоида) (a > 0). |
|
|||||||
1454. |
x2y2 = ( x - l ) ( x - ■2)- |
|
|
|
|
|
|||
1455. |
x 2y2 = (a + x f (a ■- л:) |
(конхоида) (а > 0). |
|||||||
1456. |
16y2 = ( ж2 - |
-л :2). |
1457. |
у2 = (1 - л :2)3. |
|||||
1458. |
y V = ( * 2 - <■ |
|
1459. |
у 2 = 2ехе~2х. |
|||||
1460. |
y = e * - |
*. |
|
|
1461. |
y = etex. |
|||
1462. |
|
|
|
f(0) = 1. |
|
|
|
|
|
1463. |
у |
1 |
F |
x Ф 0, |
у = 1 при |
л: = 0. |
|||
= 1 - |
1 |
1 x при |
|||||||
1464. г/ = я2 - |
4 1*| + 3. |
|
|
|
|
|
|||
В задачах 1465-1469 исследовать функции, заданные пара |
|||||||||
метрически, и начертить их графики. |
|
|
|
||||||
1465. |
л: = £3 +3£ + 1, y = t8 - 3 t + l. |
|
|
||||||
1466. |
x = t3 -Зп, |
у = ta - 6 arctg t . |
|
|
|||||
1467. |
JC = -2L ., У = |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1+f 3 |
|
1+*3 |
|
|
|
|
|
1468. |
л: = £е‘ , |
y = te~t . |
|
|
|
|
|
||
1469. |
x = 2a cos t - a cos 2t, |
у —2a sin £ - a sin 2t (кардиоида). |
|||||||
|
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ |
109 |
||
В задачах 1470-1477 исследовать линии, уравнения кото |
||||
рых заданы в полярных координатах. |
|
|||
1470. |
p = asin3<p (трехлепестковая роза). |
|
||
1471. |
р = a tg(p. |
|
|
|
1472. |
р = a (l + tg(p). |
|
|
|
1473. |
р = a (l + cos <р) (кардиоида). |
|
||
1474. |
р = а (1 + Ьcos <р) |
(а > 0, b > 1). |
|
|
1475. |
р = |
(жезл). |
1476. р = &arctg ^ . |
|
1477. |
р = т/l - t 2 , (р = arcsin t + д/l - t2 . |
|
||
В задачах 1478-1481 исследовать и построить линии, пред варительно приведя их уравнения к полярным координатам.
Решение уравнений
1482. |
Проверить, |
что уравнение |
л:3 —л:2 —8л: + 12 = 0 |
имеет |
|||||||
один |
простой |
корень хх = -3 |
и |
одни |
двукратный |
корень |
|||||
*2 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1483. |
Поверить, |
что уравнение |
хА+ 2х3 - Зх2 - 4х + 4 = 0 |
||||||||
имеет два двукратных корня хх = 1 и х2 = -2 . |
|
|
|
||||||||
1484. Убедиться в том, что уравнение |
х arcsin х = 0 |
имеет |
|||||||||
только |
один |
действительный |
корень |
х = 0 |
и притом дву |
||||||
кратный. |
|
|
|
|
|
х sin х = 0 |
|
|
|||
1485. Показать, что корни уравнения |
имеют вид |
||||||||||
у = kn |
(Л = 0, ± 1, ± 2 ,...), причем значению |
k = 0 |
соответст |
||||||||
вует двукратный корень. Какова кратность остальных корней?
1486. Показать, что уравнение х8 - Зх2 + 6х - 1 = 0 имеет единственный действительный простой корень, принадлежащий интервалу (0 ,1 ), и найти этот корень с точностью до 0,1, поль зуясь методом проб.
110 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ
1487. Показать, что уравнение х 4 + Зх2 - х - 2 = 0 имеет два (и только два) действительных простых корня, принадлежащих
соответственно интервалам ( - 1 ,0 ) и (0, l ) . С помощью метбда
проб найти эти корни с точностью до 0,1.
1488. Показать, что уравнение f { x ) - аФО, где f(x) - мно
гочлен с положительными коэффициентами, показатели степеней всех членов которого нечетны, имеет один и только один дейст вительный корень (который может быть и кратным). Рассмотреть случай, когда а = 0. Найти с точностью до 0,01 корень уравне
ния х3 + Зх - 1 = 0, комбинируя метод проб с методом хорд.
1489. Доказать теорему: для того чтобы уравнение х3 + рх + +q = 0 имело три простых действительных корня, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты р и q удовлетворяли неравенст ву 4р3 + 27q2 < 0. Найти с точностью до 0,01 все корни уравне
ния х 3 - 9х + 2 = 0, комбинируя метод проб с методом хорд.
1490. Показать, что уравнение х4 + 2х2 - 6х + 2 = 0 имеет два (и только два) действительных простых корня, принадле--
жащих соответственно интервалам (0 ,1 ) и (1 ,2). Комбинируя
метод хорд с методом касательных, найти эти корни с точ ностью до 0,01.
1491. Показать, что уравнение х 5 +5х + 1 = 0 имеет единст венный действительный простой корень, принадлежащий ин
тервалу ( - 1 , 0), и найти этот корень с точностью до 0,01, ком бинируя метод хорд с,методом касательных.
В задачах 1492-1497 приближенные значения корней урав нения следует считать комбинированием трех методов: метода проб, метода хорд и метода касательных. (При необходимости следует пользоваться таблицами значений функций, входящих
в уравнение.) |
|
|
|
|
1492. Показать, что уравнение |
хех = 2 имеет |
только один |
||
действительный корень, |
который |
принадлежит |
интервалу |
|
(0 ,1 ), и найти этот корень с точностью до 0,01. |
|
|||
1493. Показать, что уравнение х In х = а не имеет вовсе дей |
||||
ствительных корней при |
а < |
имеет один действительный |
||
двукратный корень при |
а = |
два действительных простых |
||