книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf§ 1. СПОСОБЫ ТОЧНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ |
151 |
|
|
|
|
2333*. Доказать справедливость |
равенства ь |
- 1 * |
|
х |
l+t2 |
|
|
|
(* > »)• |
ctgx |
|
tgx |
|
|
2334. Доказать тождество | + | ■‘dt . = 1.
|
|
w 1+t |
л * (l+<2) |
|
|
|
l/e |
l/e |
|
2335. Доказать тождество |
|
|
||
. 2 |
X |
|
2 |
|
Bin |
|
COS X |
|
|
J |
arcsin 4td t+ |
J arccos Vf dt = j. |
||
о |
|
|
о |
|
2336. Доказать справедливость равенства |
||||
l |
|
l |
|
|
J |
xm(l - x fd x = j x n(1 - x)mdx. |
|||
о |
|
0 |
|
|
2337. Доказать справедливость равенства |
||||
|
Jь f(x)dx =ьJ |
f(a + b - x)dx. |
||
|
a |
a |
|
|
|
я/2 |
|
|
я/2 |
2338. Доказать, что J |
f(cosx)dx = |
J f (sin л:)do:, |
||
|
о |
|
|
о |
Применить полученнышй результат к вычислевнию интегралов
|
яi/2 |
я/2 |
|
|
Jcos2xdx и |
js in 2*dje. |
|
|
о |
о |
|
|
2339*. Доказать, что |
|
я/2 |
я |
я |
я/2 |
|
j x f (sin x)dx = f J f (sin*)dx = f - 2 J f (sin x)dx - |
n J f (sinx)dx. |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
Применить полученный результат к вычислению интеграла
я
J l+cos2x
0
2340*. Показать, что если f(x) - функция периодическая
а+Т
с периодом Т, то I f (x)dx не зависит от а.
1 5 2 ГЛ. VII. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
2341*. О функции f (х) известно, что она нечетная на отрез-
ке [ - у , у ] и имеет период, равный Т. Доказать, что J f(t)d t
а
есть также периодическая функция с тем же периодом.
1
2342. Вычислить интеграл j ( l - x 2)ndx> где п - целое по-
о
ложительное число, двумя способами: разлагая степень двучле на по формуле для бинома Ньютона и с помощью подстановки re = sin <р. Сравнив результаты, получить следующую формулу
суммирования (С* - биномиальные коэффициенты):
|
|
|
(-1ГС" |
2-4-6-...-2И |
п 3 |
5 |
7 |
2л+1 |
1-3-5-...(2л+1)’ |
|
2л |
|
|
|
2343. Интеграл |
I _ |
— |
легко берется с помощью подста- |
|
|
J 5-3 cosх |
|
|
|
|
0 |
2л |
О |
|
|
|
|
||
новки tg% = z. Имеем |
f |
— = f -----------------— = 0. |
||
о081 | М ( « й г )
|
Но, с другой стороны, |
-3 < -3 cos х < +3, следовательно, |
|||||
2 |
< 5 - 3 cos а: < 8 и |
5-3 cos х |
8 |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|||
|
2л |
2л |
|
2л |
|
2л |
|
|
Отсюда J±dx> j T^ |
> |
Ji&s и, значит, |
||||
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
о |
|
Найти ошибку в рассуждении. |
|
|
||||
|
|
|
л/4 |
|
|
|
|
|
2344*. Пусть In = |
J tgn xd x |
( п > 1 и целое). Проверить, что |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
7" + * -* = 7ГГ |
Доказать, что |
< / „ |
< |
. |
|||
|
2345*. Доказать справедливость равенства |
|
|||||
|
|
Г |
|
2 |
2 х |
2 |
|
|
|
|
*—г |
4 dz. |
|
||
|
|
1егхе |
2 dz = е 4 J е |
|
|||
|
|
о |
|
|
о |
|
если x < by |
2346*. Доказать, что |
|
*со2х 2 |
I 0, |
||||
lim i— — — = |
1+°°» |
если x = b |
|||||
|
|
|
<D->OO\eb'»zx*dx |
||||
(со > |
0 , k > 0 , b > a > 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
§ 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ |
153 |
§ 2. Приближенные методы |
|
|
В задачах |
2347-2349 вычисления вести с точностью |
до |
0, 001. |
|
|
2347. Площадь четверти круга, радиус которого равен еди |
||
нице, равна |
С другой стороны, взяв единичный круг с цен |
|
тром в начале координат, уравнение которого х2+ у2 = 1, и
применяя для вычисления площади четверти этого круга инте-
1 |
_____ |
1 |
грирование, получим j = |
*JlJ -x2dx, т. е. |
тс = 4J "J l-x2dx. |
о |
|
о |
Пользуясь правилами прямоугольников, трапеций и прави лом Симпсона, вычислить приближенно число тс, разбивая от
резок интегрирования [0, l] на 10 частей. Полученные резуль таты сравнить между собой и с табличным значением числа тс.
1
2348. Зная, что J —*2 = \ » вычислить приближенно число
о
тс. Результаты, полученные по различным правилам, при раз
биении отрезка интегрирования на 10 частей сравнить между собой и с результатами предыдущей задачи.
|
ю |
2349. Вычислить In 10 = |
используя правило Симпсона |
1 при п = 10. Найти модуль перехода от натуральных логариф
мов к десятичным. Сравнить с табличным значением.
В задачах 2350-2355 вычислить приближенно, пользуясь формулой Симпсона, интегралы, которые не могут быть найде ны в конечном виде с помощью элементарных функций. Число п частичных интервалов задается в скобках.
2350. |
J |
V - xl |
3dx (п = 10) . |
2351. |
jVl+ x4dx (n = 10). |
|
о |
|
|
|
0 |
|
5 |
^ |
=(6). n |
|
я/8 |
2352. |
J |
2353. |
J Vcos ф dtp (n = 10). |
||
|
2 |
|
|
|
2 |
154 |
ГЛ. VII. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ |
|
||||||
|
|
|
|
|
п/2 |
|
|
|
|
|
|
|
2354. |
j дД ~ 0,1 sin2 <р dip (п=б). |
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
я/3 |
|
|
|
|
|
|
|
2355. |
|
= 10). |
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
2356. |
Вычислить по |
формуле |
||
|
|
|
|
|
|
|
1,36 |
|
|
|
|
Симпсона |
интеграл |
\ f(x)dxt |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1,05 |
|
пользуясь следующей таблицей значений функции f (х) : |
|
|||||||
X |
1,05 |
1,10 |
1,15 |
1,20 |
1,25 |
1,30 |
| 1,35 |
|
fix) |
2,36 |
2,50 |
2,74 |
3,04 |
3,46 |
3,98 |
1 |
4,60 |
2357. Прямая линия касается берега реки в точках А и В. Для измерения площади участка между рекой и прямой АВ проведены 11 перпендикуляров к АВ от реки через каждые 5 м (следовательно, прямая АВ имеет длину 60 м). Длины этих
перпендикуляров оказались равными |
3,28 м; |
4,02 м; |
4,64 |
м; |
5,26 м; 4,98 м; 3,62 м; 3,82 м; 4,68 м; |
5,26 м; |
3,82 м; |
3,24 |
м. |
Вычислить приближенное значение площади участка. |
|
|
||
2358. Вычислить площадь поперечного сечения судна при |
||||
следующих данных (рис. 26): |
|
|
|
|
AAi — А1А2 = А2А3 = А3А4 = A^AQ = = |
Аб-Ац = ^ |
6 * ^ 7 = 0 » 4 |
м » |
|
АВ = 3 м, АгВг = 2,92 м, А2В2 = 2,75 м, А3В3 = 2,52 м,
А4В4 = 2,30 м, АЬВЪ- 1,84 м, А$В6 = 0,92 м.
2359. Для вычисления работы пара в цилиндре паровой ма шины вычисляют площадь индикаторной диаграммы, представ ляющей собой графическое изображение зависимости между давлением пара в цилиндре и ходом поршня. На рис. 27 изо бражена индикаторная диаграмма паровой машины. Ординаты точек линий АВС и ED, соответствующие абсциссам XQ, Х\, х2, ...
...» ^ю» даны следующей таблицей:
Абсциссы........................ |
XQ |
Х\ |
*2 |
хъ |
ха |
*5 |
Ординаты линии АВС . . |
60,6 |
53,0 |
32,2 |
24,4 |
19,9 |
17,0 |
Ординаты линии ED . . . |
5,8 |
1,2 |
0,6 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
Абсциссы........................ |
XQ |
Xl |
хв |
*9 |
|
*10 |
Ординаты линииАВС . . |
15,0 |
13,3 |
12,0 |
11,0 |
|
6,2 |
Ординаты линии ED . . . |
0,9 |
1,0 |
1,3 |
1,8 |
|
5.7 |
155
Рис. 27
Вычислить с помощью формулы Симпсона площадь ABCDE. Ординаты даны в миллиметрах. Длина OF = 88,7 мм (точка F -
общая проекция точек С и D на ось абсцисс).
В задачах 2360-2363 при нахождении пределов интегриро вания необходимо воспользоваться методами приближенного
решения уравнений. |
|
|
|
||
2360. |
Найти площадь фигуры, ограниченной дугами парабол |
||||
у = х 3 - 7 |
и у = -2 x 2 + Зх и осью ординат. |
|
|||
2361. |
Найти |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
параболой |
у = х3 и прямой |
у = 7(х + 1). |
|
|
|
|
2362. |
Найти |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
параболой |
у = 1 6 - х 2 и полукубической параболой у = - V ? . |
|
||||
2363. |
Найти |
площадь |
фигуры, |
ограниченной |
линиями |
у = 4 - х 4 и у = \[х .
2364. На рис. 28 изображена индикаторная диаграмма (упрощенная) паровой машины. Исходя из размеров, про-
156 |
ГЛ. VII. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ |
ставленных на чертеже (в мм), вычислить площадь ABCDO, если
известно уравнение линии ВС : pvy = const (линия ВС называет
ся адиабатой), у = 1,3, АВ - прямая, параллельная оси Ov.
2365. На рис. 29 представлена индикаторная диаграмма ди зельного двигателя. Отрезок АВ соответствует процессу сгорания смеси, адиабата ВС - расширению, отрезок CD - выпуску и адиа
бата DA - сжатию. Уравнение адиабаты ВС : pv1'8 = const, уравнение адиабаты AD : pv1,35 = const. Исходя из размеров, проставленных на чертеже (в мм), определить площадь ABCD.
§ 3. Несобственные интегралы
Интегралы |
с бесконечными пределами |
||||||
В задачах 2366-2385 вычислить несобственные интегралы |
|||||||
(или установить их расходимость). |
|
|
|
||||
|
+~ |
|
+~ |
|
+~ |
|
|
2366. |
№ . |
2367. |
|
2368. |
| e -axdx (a > ( |
||
|
1X |
+» |
1 |
|
0 |
|
|
|
+~ |
|
|
+oo |
|||
2369. |
\2xdx. |
2370. f |
J x . |
2371. |
f |
* |
|
|
J xUl |
J x +2x+2 |
|
J |
|||
|
-Н» |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
+°° |
|
|
+■» |
||
2372. |
f |
J |
2373. |
f — z-x-dx. |
2374. |
f |
|
J |
“ 2г 4 т - |
||||||
|
xz(x+l) |
|
№ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+» |
|
|
-Н» |
|
|
+» |
2375. |
f - * _ . |
2376. |
J xe~x*dx. |
2377. |
f x 3e~x2dx |
||
|
|
xVl+X2 |
|
0 |
|
|
0 |
|
a2 |
|
|
|
|||
|
+« |
|
|
-foo |
|
|
+00 |
2378. |
j x sin x dx. 2379. |
je '^ d x . |
2380. |
f e~x sin x d |
|||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
J |
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
+» |
|
|
+oo |
2381. |
je~ axcosbxdx. |
2382. j — |
* x dx. |
|
2383. |
||
2384.1 |
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
157 |
В задачах 2386-2393 исследовать сходимость интегралов.
2386. \ -f - d x .
2389. J lnt ^ 1) dx.
+w 2392. u
2387. f *-2>dx. |
2388. f . |
, , dx. |
2390. J -fxe~x dx. 2391.
-Н»
2393.
, x(lnx)2
Интегралы от функций
сбесконечными разрывами
Взадачах 2394—2411 вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).
2394 |
• f- т * - |
2395. |
Г-Г-&— . |
|
|
|
|
J х2 -4х+3 |
|
||
|
|
|
|
О |
|
2397. jxln xd x . |
2398. |
J |
|
||
2400. |
|
|
|
|
|
2402. |
-Xd^ T |
(“ <b). |
2403. f |
x2ix |
|
|
J0 1-x2+2>/l-x2 |
. 2405. f-— d* |
2406. |
||
|
|
|
|||
|
|
|
-1 |
||
|
i s ? * - |
2408- |
}# < * * ■ |
2409. |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
J- |
2411. |
|
|
|
|
|
|
|
|
J ^ d*- |
0 |
-1 |
158ГЛ. VII. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Взадачах 2412-2417 исследовать сходимость интегралов.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
24i 2- b |
|
|
|
|
хЧх= . |
2414. |
f - £ - . |
|
||
f r d*- |
24i3- iо |
|
Jо e** —1 |
|
||||||
. |
l |
|
|
2416 |
1 |
2417. |
"/2 |
|
|
|
(Jxdx_ |
|
f — dx— |
|
v i |
|
|||||
2415 |
J cs,nx_i |
|
|
|
J ex -co sx |
|
J |
|
||
|
|
|
|
Разные задачи |
|
|
|
|
||
2418. Функция |
f (x) |
в полуинтервале |
[a, + <») |
непрерывна и |
||||||
f (х) -» А * 0 |
при |
х -» +оо. Может ли интеграл |
J f (x)dx |
схо- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
Д И ТЬ С Я ? |
|
|
|
|
|
|
■Ь" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2419. При каких значениях k интеграл J xk |
|
dx |
будет |
|||||||
сходящимся? |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2420. При каких значениях k сходятся интегралы |
|
|||||||||
u ь |
ь |
! |
, |
Ь |
& |
’ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2421. При |
каких |
значениях k сходится интеграл Г— |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; м |
|
(b< а)? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+~ |
|
2422. Можно ли найти такое к, чтобы интеграл |
J x kdx |
схо- |
||||||||
дился? |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
+00 |
|
|
|
|
|
|
|
значениях k и t интеграл |
X>e—dx |
|
||||
2423. При каких |
f |
схо- |
||||||||
J 1+х*
о
дится?
я/2
2424. При каких значениях пг интеграл f - r- °3* dx сходится?
J х т
§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
159
2425, При каких значениях k интеграл f-Щ - сходится?
J sin*x
В задачах 2426 2435 вычислить несобственные интегралы.
|
+“ |
|
1 |
+« |
2426. |
f - f U . |
2427*. |
2428 |
|
|
+“ |
|
U |
1-1 |
|
|
|
|
|
2429. |
I |
x |
(n - целое положительное число), |
|
|
о (а +Х1 |
|
|
|
|
-н» |
|
|
|
2430. J хпе Xdx (п —целое положительное число),
о
+~
2431. J х 2п+1е х dx (л - целое положительное число). 0 1
2432. J (In xfd x (л - целое положительное число),
о
1
2433*. |
при т: а) четном, б) нечетном (т > 0). |
о 1' 1“ х
H i-*")
2434*. J — г-Л-dx (л - целое положительное число).
2435. f -------- йх. |
(О < а < 2л). |
|
|
j (*-cosa)Vx2-l |
|
|
|
|
+~ |
+«■ |
|
2436*. Доказать, что |
f -*Цг = |
f |
= -Ц=. |
|
J 1+х4 |
J 1+х4 |
2V2 |
|
О |
О |
|
2437*. Доказать, что f^ H r d x = 0.
J0 М ) |
|
+°“ |
^ |
2438. Вычислить интеграл J |
~ |
160 |
ГЛ. VII. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ |
|
|||||||
|
В задачах 2439-2448 вычислить интегралы, пользуясь фор- |
||||||||
мулами |
|
2 |
г~ |
|
|
|
|
||
I е~х dx = ^ |
(интеграл Пуассона), |
|
|
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J lilL* f a - . 5. (интеграл Дирихле), |
|
|
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ * |
|
|
|
+оо |
|
+ee |
^ |
|
2439. |
J е~а*2 dx |
(я > 0 ). |
2440. |
2441*. |
j x 2e~x dx. |
|||
|
|
о |
|
|
|
о |
|
о |
|
|
|
+•» |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
2442. |
J х2пе~х dx |
(п - целое положительное число), |
|
|||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
2443. |
|
dx. |
|
|
2444. |
|
|
|
|
|
Оо |
|
|
|
оО |
|
|
|
|
2445, |
+оо |
Sin ахсозЬх |
|
|
|
|
|
|
|
I |
dx (а > О, Ъ> 0). |
|
|
|
||||
|
I. J-an |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
2446. |
Jiinlida:. |
|
2447*. J a ^ c t e . |
2448*. |
j ^ ^ - d x . |
|||
|
|
О |
|
|
О |
О |
|
|
|
2449*. Положим <p(x)= -Jincosydy. (Этот интеграл называ-
o
ется интегралом Л обачевского.) Доказать соотношение <p(*) = 2q>(j + f )-2 ф (| -| )-ж 1 п 2 .
С помощью найденного соотношения вычислить величину
тс/2
<р(-|)=- Jin cos у dz/ (впервые вычисленную Эйлером),
о
В задачах 2450-2454 вычислить интегралы.
я/2 |
|
я |
2450. J Insin х dx. |
2451. |
J x Insin x dx. |
о |
|
о |
я/2 |
1 |
1 |
2452*. jx c tg x d x . 2453*. J a s s s i d x. |
2454. J ^ = f |