книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА |
121 |
|
Вычисление интегралов суммированием
1616. |
Непосредственным |
суммированием |
и |
последующим |
|
|
1 |
|
|
переходом |
к пределу вычислить интеграл ^exdx. (Интервал |
|||
|
|
о |
|
|
интегрирования делить на п равных частей.) |
|
|
||
1617. |
Непосредственным |
суммированием |
и |
последующим |
|
|
ь |
|
|
переходом к пределу вычислить j x kdx, где k - |
целое положи- |
|||
а
тельное число (интервал интегрирования делить на части так, чтобы абсциссы точек деления образовывали геометрическую прогрессию).
1618. При помощи формулы, полученной в предыдущей за даче, вычислить интегралы:
|
10 |
|
о + 2 |
|
a |
|
2a |
1) |
jx d x ; |
2) |
х dx; |
3) |
x2dx; |
4) |
|
|
0 |
|
а-2 |
a/2 |
|
a |
|
5) Jа(з*2 - * +1,)dx; |
6) ™ 0 |
, dx; |
|
2,5 |
|||
7) |
j (2x + \)2dx; |
||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
l |
|
4 |
|
|
J {a+zf dx |
|
|
|
8) |
Г (х - а)(х - b)dx; 9) |
w> |
|
||||
а-a
11) Jx3dx; |
3f |
|
|
12) j 1f * i |
|
||
0 |
l |
|
|
1619*. Найти |
lim |
( 1к+2к+...+пк'\ |
|
|
n->oo |
V, nk+1 |
J |
приближенно 1б + 2б+ .. .+1005.
0
13) }(£-£)**•
(Л '
при k > 0. Вычислить
1620. Непосредственным суммированием и последующим
|
2 |
переходом к пределу вычислить интеграл |
(Интервал ин- |
1 тегрирования делить на части так, чтобы абсциссы точек деле ния образовывали геометрическую прогрессию.)
122 |
ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
'L |
1621. Для |
интеграла J^ составить интегральную сумму, |
1 разбив интервал интегрирования на п равных частей. Сравнив с
результатом предыдущей задачи, вычислить
|
Иш |
(— + -Ц - + —Цг+...+ . |
|
|
|||
|
пл -—»>°о U |
Л+1 71+2 |
2 п / |
|
|
||
1622*. Вычислить |
lim |
|
& |
п) |
- |
целое |
|
|
|
п—>°° |
|
||||
число). Подсчитать приближенно |
+ -—j +...+ |
|
. |
||||
1623*. Непосредственным суммированием и последующим |
|||||||
переходом к пределу вычислить интегралы: |
|
|
|||||
а |
а |
|
|
|
Ъ |
|
|
1) J xexdx; |
2) Jin * d x ; |
3) |
j ^ d x ; |
|
|
||
0 |
1 |
|
|
|
a |
|
части, |
[В 1) разбивать |
интервал |
интегрирования на равные |
|||||
в 2) и 3) - как в задаче 1620.]
§ 2. Основные свойства определенного интеграла
Геометрическая интерпретация определенного интеграла
1624. Выразить при помощи интеграла площадь фигуры, ограниченной дугой синусоиды, соответствующей интервалу 0 < х < 2п, и осью абсцисс.
1625. Вычислить площадь фигуры, ограниченной, кубиче
ской параболой у = х3 и прямой у = х .
1626. Вычислить площадь фигуры, ограниченной парабола
ми у = х2 - 2х - 3 и у = - х 2 + 6 * - 3 .
1627. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
у = х3 - х и у = х А- 1.
Оценка интеграла
1628. Доказать, что интеграл [ - * dx меньше чем 4 .
J х3+16 |
6 |
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА |
123 |
Г 2
1629. Доказать, что интеграл J ех ~xdx заключен между ^
и2ег .
Взадачах 1630-1635 оценить интегралы.
|
3.5 |
|
2 |
5л/4 |
|
|
163°. |
J ^ L . |
1631. |
1632. |
J |
(l + sin2*)d*. |
|
|
1.5 |
|
0 |
л/4 |
е |
|
|
5/2 |
|
Л |
|
2 |
|
1633. |
j - х 2 dx. 1634. |
J*arctgxdx. 1635. |
j x ze~x dx. |
|||
|
1/2 +X |
. |
л/З/3 |
|
l/<? |
|
1636. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
|
1 |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
1) |
Jx2dx или |
2) |
j x 2dx или |
Jx 3djc? |
|
||||
|
0 |
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1637. Выяснить, какой из интегралов больше: |
|||||||||
1) |
Г |
2 |
Г |
3 |
f |
2 |
Г |
3 |
|
|
I 2х dx |
или |
I 2х dx; |
2) |
J 2х dx |
или |
J |
2х dx; |
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
4 |
3) |
|
jln xd x |
или |
J(lnxfdx; |
4) Jin xdx |
или J (in xfd x? |
|||
1638. Доказать, что J Vl + xzdx < , воспользовавшись не
равенством Коши-Буняковского
J fi(x)f2(x)dx < |
l Dif ( x ) ] 2 d |
x lf2(x)]2dxj |
. |
a |
I a |
1 a |
|
Убедиться, что применение общего правила дает менее точную оценку.
1639. Доказать, исходя из геометрических соображений, следующие предложения:
а) если функция f(x) на отрезке [а, б] возрастает и имеет вогнутый график, то
124 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
б) если функция f (х) на отрезке [а, &] возрастает и имеет
выпуклый график, то
|
|
а |
|
1640. |
Оценить интеграл |
А * |
пользуясь результатом зада |
J 1+х2’ |
|||
чи 1639. |
|
|
|
1641. |
Оценить интеграл |
у , |
|
1 + x*dx, пользуясь: |
|||
о
а) основной теоремой об оценке интеграла, б) результатом задачи 1639.
в) неравенством Коши-Буняковского (см. задачу 1638).
Среднее значение функции
1642. |
Вычислить |
среднее |
значение линейной |
функции |
|
у = кх+Ь на отрезке |
[*х, х2]. Найти точку, в которой функция |
||||
принимает это значение. |
|
|
|
||
1643. |
Вычислить среднее значение квадратичной функции |
||||
у = ах2 |
на отрезке |
[*х, х2]. |
В скольких точках интервала |
||
функция принимает это значение? |
|
|
|||
1644. |
Вычислить среднее значение функции у = 2л:2 + Зл: + 3 |
||||
на отрезке [1 ,4]. |
|
|
|
|
|
1645. |
Исходя из геометрических соображений, вычислить |
||||
среднее значение функции у = ^а2 - х 2 |
на отрезке [ - а> а]. |
||||
1646. |
Исходя из |
геометрических |
соображений, |
указать |
|
среднее значение непрерывной нечетной функции на интервале, симметричном относительно начала координат.
1647. Сечение желоба имеет форму параболического сегмен та. Основание его а - 1 м , глубина h = 1,5 м (см. рис. 23). Най ти среднюю глубину желоба.
1648. Напряжение электрической цепи в течение минуты равномерно увеличивается от Е0 = 100 В до EY= 120 В. Найти среднюю силу тока за это время. Сопротивление цепи 10 Ом.
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА |
125 |
1649. Напряжение электрической цепи равномерно падает, убывая на 0,4 В в минуту. Начальное напряжение в цепи 100 В. Сопротивление в цепи 5 Ом. Найти среднюю мощность в тече ние первого часа работы.
Интеграл с переменным пределом
1650. Вычислить интегралы с переменным верхним пределом:
1651. Скорость движения тела пропорциональна квадрату времени. Найти зависимость между пройденным расстоянием 5 и временем t, если известно, что за первые 3 с тело прошло 18 см, а движение началось в момент t = 0.
1652. Сила, действующая на материальную точку, меняется равномерно относительно пройденного пути. В начале пути она равнялась 100 Н, а когда точка переместилась на 10 м, сила возросла до 600 Н. Найти функцию, определяющую зависи мость работы от пути.
1653. Напряжение электрической цепи равномерно меняет ся. При t - tx оно равно Е\, при t = t2 оно равно Ez. Сопротив ление R постоянно, сомоиндукцией и емкостью пренебрегаем. Выразить работу тока как функцию времени t, прошедшего от начала опыта.
1654. Теплоемкость тела зависит от температуры так:
с = с0 + at + р*2 . Найти функцию, определяющую зависимость количества тепла, полученного телом при нагревании от нуля до f, от температуры t.
1655. Криволинейная трапеция ограничена параболой
у = х2, осью абсцисс и подвижной ординатой. Найти значение приращения AS и дифференциала dS площади трапеции при х = 10 и Ах = 0,1.
1656. Криволинейная трапеция ограничена линией
у = у/х2 +16, осями координат и подвижной ординатой. Найти
значение дифференциала dS площади трапеции при х - 3 и Ах = 0,2.
126 ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1657. Криволинейная трапеция ограничена линией у - х3 ,
осью абсцисс и подвижной ординатой. Найти значение прира
щения AS площади, ее дифференциала dSy абсолютную (а) и
относительную |
погрешности, возникающие при замене |
||||
приращения дифференциалом, |
если х = 4, |
а Ах принимает |
|||
значения 1; 0,1 и 0,01. |
|
X |
|
||
|
|
|
|
|
|
1658. |
Найти |
производную от функции у = J-1—*+*2 dt |
при |
||
|
|
|
|
о |
|
* = 1. |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
1659. |
Найти |
производную |
от функции |
у = Jsin х dx |
при |
х = 0, х = J и х = J.
1660. Чему равна производная от интеграла с переменным
нижним и постоянным верхним пределом по нижнему пределу?
|
5 ______ |
|
1661. Найти производную от функции у = 1^1 + x 2dx при |
||
х = 0 |
и * = т - |
|
|
4 |
|
1662. Найти производную по х от функции у = |
|
|
|
0 |
|
1663. Найти производную по х от функции: |
|
|
|
1 |
|
1) |
jlSf-dz; 2) jln x d x . |
|
|
f |
х d x . |
1664*. Найти производную по х отфункции [ In2 |
||
X
1665. Найти производную по х от функции у, заданной не>
ух
явно: J e*dt + Jcos t dt = 0 .
§ 2 .'ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА |
127 |
|
|
|
|
Рис. 25 |
1666. Найти производную по х от функции у, заданной па |
||||
раметрически: |
|
|
|
|
1) |
г |
г |
*г |
’Г |
х = jsin fd * , |
у = J costdt; |
2) х = \t\ntdt, y - ^ t 2\ntdt. |
||
|
0 |
0 |
1 |
t2 |
1667. Найти значение второй производной по z от функции |
||||
!' = tО e |
Dp,,2=1- |
|
|
|
1668. При каком значении х функция |
I (лс) = J хе~х dx име- |
|||
|
|
|
|
0 |
ет экстремум? Чему он равен?
1669. Найти кривизну в точке (0, 0) линии, заданной урав
нением: у = J (l + f)ln (l+ *)<**•
о
1670. Найти точки экстремумов и точки перегиба графика
функции у = J (я2 - Зле + 2^dx. Построить график этой функции.
О
1671. По графикам функций, данным на рис. 24 и 25, выяс нить вид графиков из первообразных.
Формула Ньютона-Лейбница
1672. Вычислить интегралы:
1) J ^ f; |
2) } f ; |
3) ] * |
dx; 4) J (* + i ) 2d*; |
1 X |
4 X |
1 |
1 |
128 |
ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ и н т е г р а л |
|
||||
9 |
|
2 |
, |
. |
|
2а |
5) |
JV x(l + Jx)dx; |
6) |
j\yfx - |
tfxfdx; |
7) |
|
4 |
|
1 |
|
|
a |
|
4 |
b |
|
|
|
|
21 |
в) |
9) |
(a > 0, b > 0); |
10) |
J(ViF - 1fdz. |
||
1 |
a V |
|
|
|
|
z0 |
1673. Вычислить интегралы:
яя
1) Jsin x d x ; 2) Jcosxd x
о0
(объяснить геометрический смысл полученного результата);
3 |
я/4 |
l |
|
•УЗ/2 |
|
|
3) Jexdx; 4) j |
sec2 xdx; |
6) |
J - |
|
||
0 |
0 |
|
0 |
|
1/2 |
|
1674. Функция |
/ (г) имеет равные значения в точках х = а |
|||||
и х = Ь и непрерывную производную. Чему равен J f(x)d x ? |
||||||
|
|
|
|
|
а |
|
1675. Касательная к |
графику функции |
у = f(x) |
в точке |
|||
с абсциссой |
лс = а составляет с осью абсцисс угол |
и в точке |
||||
с абсциссой |
х = Ъ - угол |
-?•. |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
ft |
|
6 |
|
|
|
Вычислить ^f'(x)dx |
и j / '( x ) / #(x)djc; |
/"(лс) предполагается |
||||
непрерывной.
Глава VI
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§1. Простейшие приемы интегрирования
Взадачах 1676-1702, воспользовавшись основной таблицей интегралов и простейшими правилами интегрирования, найти интегралы.
1676. |
^Jocdx. |
1676. |
jifc'd x . |
|
1678. |
J-^f. |
||||
1679. |
J10Xdx. |
1680. |
Jaxexdx. |
|
1681- 1 * - |
|||||
|
f |
dh |
|
|
|
|
|
|||
1682. |
1683. |
J M * -0’17, |
|
1684. j(l-2u )d u . |
||||||
|
J 4 2 gh' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1685. |
J(V* +1)(* - -Jx +1 )dx. |
|
1686. |
J |
|
dx. |
||||
1687. |
| (г*'1'2 + 3 * 0’8 - 5*0’38 )dx. |
|
|
|
|
|
||||
1688. |
J ^f-Jdz. |
1689. |
|
|
|
|
|
|
||
1690. |
j^ ± 0 f-d x . |
1691. J |
|
|
dx. |
|
|
|||
1692.LJ: |
|
1693. |
J.3 2*-2 3' dx. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1694. |
f -^-coa2/ dx. |
1695. |
\— f ^ z— dx. |
|
||||||
i. |
J 1+соз2х |
|
|
J cos |
xsin x |
|
|
|||
J |
V |
1697. J |
c txgdx2. |
|
1698. |
J |
2 s i ndx2. 1 |
|||
1696. |
|
xdx. |
|
|||||||
1699. |
J (l+2x2)</x |
1700. |
J |
xfl+x2) |
|
|
||||
|
x2(l+x2)‘ |
|
|
|
|
|||||
1701. |
____ dx____ |
1702. |
| ( |
a |
r c |
xs +i na |
r c |
cx)dxo s . |
||
J cos2x+sin2x |
||||||||||
5-2S2S
130ГЛ. VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Взадачах 1703-1780 найти интегралы, воспользовавшись теоремой об инвариантности формул интегрирования.
1703. |
J * s i |
n x d ( s |
i n 1704x ) .. |
J |
t |
g |
3 |
|
x |
d ( t g x ) . |
1705. j l k i |
|
1706.L / ^ |
+ |
,\15 |
dx. |
|
||||
|
I )1 |
|
|
|||||||
|
'1+x* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1707. |
dx |
|
1708. |
f |
|
dx |
( c * |
1). |
||
Г7-йь |
|
|
||||||||
J (2x~;-3)5 |
|
|
J |
(e+bx) |
v |
> |
||||
1709. J# - 3*)6dx. |
1710. J |
|
|
|
|
dx. |
|
|||
1711. J -T-m |
_ dx. |
1712. J |
2x4X* + 1 dx. |
|||||||
1713. J x V l - * 2^ . |
1714. |
j*x2Vx3 + 2 dx. |
||||||||
1715. J |
xdx |
|
1716. |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
J |
л/4+х6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
1717. |
x3 dx |
|
1719. J s i n 3 x c o s x
1fT91 Г cosxdx
1723. № dx.
1725• / (arcsinx)3^ !-*^ ’
1727. Jcos3xd(3x).
1718. |
f |
(6x-5)dx |
—. |
1—j |
|||
1720d x .. |
J2V3x2-5x+6 |
||
j* sinxdx |
|
||
|
J cos2 x |
|
|
1722. |
|* cos3 x sin 2x dx. |
||
1724. |
f (arctgx)2dx |
||
1 |
1+x2 |
|
|
|
|
||
1726. |
f |
dx |
|
|
' |
COS2 X y j l + t g X |
|
1728. |
J- d(l+lnx) |
|
|
|
|
!0S2(l+lnx) |
|
1729. Jcos3xdx. |
1730. |
J |
(cosa - cos 2x)dx. |
|||
|
J s i n |
-( |
3)dx2 x . |
|||
1731. |
1732. |
J |
cos (l - 2x)dx. |
|||
m s. |
|
|
|
1734. |
Jexsin(e*)dx. |
|
|
|
|
|
|||
1735. |
f .dfc+* |
). |
1 7 3 g |
(• dfercainx) |
17„_ f (2x-3)dx |
|
|
J 1+1 |
|
|
'J «rceinx |
|
J X2 .3j:+8- |