книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf
|
|
|
§ 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ |
|
111 |
|||
корня |
при |
- j < a < 0 и одни действительный |
простой корень |
|||||
при |
а > 0. Найти корень уравнения |
х In х = 0,8 |
с точностью до |
|||||
0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1494. |
Показать, что |
так называемое |
уравнение Кеплера |
|||||
х - |
esinx + а у где 0 < е < 1 , |
имеет |
один простой |
действитель |
||||
ный |
корень, и найти этот |
корень |
с |
точностью |
до 0,001 при |
|||
е = 0,538 и а = 1. |
|
|
|
|
|
|||
1495. |
Показать, что уравнение ах - |
ах при а > 1 всегда имеет |
||||||
два (и только два) действительных и положительных корня, причем один корень равен 1, а второй корень меньше, больше или равен 1 в зависимости от того, будет ли а больше, меньше или равно е. Найти с точностью до 0,001 второй корень этого уравнения при а - 3.
1496. Показать, что уравнение х2arctg х = а , где а * 0, имеет один действительный корень. Найти с точностью до 0,001 корень этого уравнения при а = 1.
1497. При каком основании а системы логарифмов сущест вуют числа, равные своим логарифмам? Сколько таких чисел может быть? Найти такое число (с точностью до 0,01) при
а= 1 ? 2 '
§5. Формула Тейлора и ее применение
Формула Тейлора для многочленов
1498. Разложить многочлен |
х4 - 5х3 + х2 - Зх + 4 |
по степе |
||||||
ням двучлена х - 4. |
|
|
|
|
|
|
||
1499. |
Разложить |
многочлен |
х3 + Зх2 - 2 х + 4 по степеням |
|||||
двучлена х + 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1500. |
Разложить многочлен |
я10 - Зх5 +1 |
по степеням дву |
|||||
члена х - 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1501. Функцию |
f (х) = |х2 - Зх + lj разложить по степеням |
|||||||
х, пользуясь формулой Тейлора. |
|
|
|
|
||||
1502. |
/(х ) |
- |
многочлен четвертой степени. |
Зная, |
что |
|||
/(2 ) = -1 , |
/'(2 ) = 0, |
|
Г ( 2) = 2, |
Г '(2) = -1 2, |
/ 1V(2) = 24, |
вы |
||
числить /( - I ) , |
f ' (о)> |
/ " (l). |
|
|
|
|
||
1 1 2 |
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ |
|
|
|
|
|
|
Формула Тейлора |
1503. |
Написать формулу Тейлора п-го порядка для функции |
|
у = ± при * 0 = - 1 . |
||
1504. |
Написать формулу Тейлора (формулу Маклорена) л-го |
|
порядка для функции у = хех при х0 = 0. |
||
1505. |
Написать формулу Тейлора л-го порядка для функции |
|
У = у[х при * о = 4 . |
||
1506. Написать формулу Тейлора 2л-го порядка для функ |
||
ции У = gXf2 ~ |
ПРИ *0 = °* |
|
1507. |
Написать формулу Тейлора л-го порядка для функции |
|
у = х3\пх при |
*0 = 1. |
|
1508. |
Написать формулу Тейлора 2л-го порядка для функ |
|
ции у = sin2 * |
при * 0 = 0 . |
|
1509. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции |
||
у = |
при * 0 = 2 и построить графики данной функции и ее |
|
многочлена Тейлора 3-й степени. |
||
1510. |
Написать формулу Тейлора 2-го порядка для функции |
|
у = tgx |
при * 0 = 0 и построить графики данной функции и ее |
|
многочлена Тейлора 2-й степени. |
||
1511. |
Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции |
|
у - arcsin * при *0 = 0 и построить графики данной функции и |
||
ее многочлена Тейлора 3-й степени. |
||
1512. |
Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции |
|
У = -р- при * 0 = 1 и построить графики данной функции и ее |
||
SX |
|
|
многочлена Тейлора 3-й степени. |
|
|
|
1513*. Доказать, что число 0 |
в остаточном члене формулы |
||
Тейлора 1-го порядка |
|
|
|
|
f(a + h) = f(a) + hf' (а) + ^ |
/ " (а + Qh) |
|
стремится к |
при h -» 0, если |
/"'(* ) |
непрерывна при * = а и |
Г { а ) * 0. |
|
|
|
§ 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ |
1 1 3 |
Н е к о т о р ы е п р и м е н е н и я ф о р м у л ы Т е й л о р а
Взадачах 1514-1519 выяснить поведение данных функций
вуказанных точках.
1514. |
у = 2*6 - х3 + 3 в точке х = 0. |
||||
1515. |
у = х11 + З*6 +1 в точке х = 0. |
||||
1516. |
у - 2 cos х + х2 в точке х = 0. |
|
|||
1517. |
у = 6 In х - 2х3 + 9х2-1 8 * |
в точке х = 1. |
|||
1518. |
у = 6 sin * + х2 в точке * = 0. |
|
|||
1519. |
у = 24е* - 24* - 12*2 - 4*3 - *4 в точке * = 0. |
||||
1520. |
/ (*) = * 10 - З*6 + * 2 + 2. |
Найти первые три члена |
|||
разложения по формуле Тейлора при |
*0 = 1. Подсчитать при |
||||
ближенно /(1,03). |
|
|
|
||
1521. |
/ (*) = * 8 - 2*7 + 5*6 - * + 3. |
Найти первые три члена |
|||
разложения по формуле Тейлора при |
*0 = 2. Подсчитать при |
||||
ближенно /(2,02) и /(1,97). |
|
|
|||
1522. |
/ (*) = * 80 - * 40 + * 20 . Найти первые три члена разло |
||||
жения /(* ) по степеням * - 1 и найти приближенно /(1,005). |
|||||
1523. |
/ (*) = * 5 - 5*3 + * . Найти первые три члена разложе |
||||
ния по степеням |
* - 2 . |
Вычислить приближенно /(2 ,1 ). Вы |
|||
числить |
/(2 ,1 ) |
точно |
и найти абсолютную и относительную |
||
погрешности.
1524. Проверить, что при вычислении значений функции ех
при 0 < * < ^ по приближенной формуле ех » 1 + * + -у- + -^г-
допускаемая погрешность меньше 0,01. Пользуясь этим, найти
Ге с тремя верными цифрами.
1525. |
2 |
Пользуясь приближенной формулой ех » 1 + * + ^ , |
|
найти |
и оценить погрешность. |
114 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ
1526. Проверить, что |
для углов, |
меньших |
28°, |
погреш |
ность, которая получится, |
если вместо sin а ; в з я т ь выражение |
|||
х - ^ т + 4т-> будет меньше |
0,000001. |
Пользуясь |
этим, |
вычис- |
3 1 5 1 |
|
|
|
|
лить sin 20° с шестью верными цифрами.
1527. Найти cos 10° с точностью до 0,001. Убедиться в том, что для достижения указанной точности достаточно взять соот ветствующую формулу Тейлора’2-го порядка.
1528. Пользуясь приближенной формулой
„ . 2 3 „ 4
найти In 1,5 и оценить погрешность.
§6. Кривизна
Взадачах 1529-1536 найти кривизну данных линий.
1529. |
Гиперболы |
ху = 4 |
в точке (2, 2). |
|
|
2 |
и2 |
= 1 в вершинах. |
|
1530. Эллипса |
Ъ |
|||
|
аг |
|
|
|
1531. |
у - х4 - 4л:8 - 18л:2 |
в начале координат. |
||
1532. у2 = 8х в точке |
^|>, з). |
|||
1533. |
у = In л: в точке |
(l, 0). |
||
1534. |
у - 1п^л: + Vl + * 2 j |
в начале координат. |
||
1535. у = sin л: в точках, соответствующих экстремальным значениям функции.
1536. Декартова листа х3 + у3 = Заху в точке
В задачах 1537-1542 найти кривизну данных линий в про извольной точке (х, у).
1337. у = Xs . |
1338. |
4 |
- 4 = 1• |
1339. |
у = In s e c * . |
|
|
|
а |
Ь |
|
|
|
1540. х К у * = а * . |
1541. 4 |
+ 4 |
- = 1. |
1542. u = ach ^ . |
||
9 |
|
|
ат |
Ьт |
а |
|
В задачах 1543-1549 найти кривизну данных линий. |
||||||
1543. х = 3#2 , |
у = 3t - |
13 при |
t = 1. |
|
||
|
§ 6. КРИВИЗНА |
115 |
|
1544. |
х = a cos3 t , у - a sin3 t |
при t = tx. |
|
1545. |
x = a (cos £ + f sin £), у = a (sin * - * cos*) при |
f = -|. |
|
1546. |
x = 2a cost —acos2f, |
i/ = 2a sin £ —a sin 2^ |
в произ |
вольной точке. |
|
|
|
1547. |
p = аф в точке р = 1, <р = 0. |
|
|
1548. |
р = а<р в произвольной точке. |
|
|
1549. |
р = а<р* в произвольной точке. |
|
|
1550. |
Найти радиус кривизны эллипса |
в той его |
|
точке, в которой отрезок касательной между осями координат делится точкой касания пополам.
1551. Показать, что радиус кривизны параболы равен удво енному отрезку нормали, заключенному между точками пересе чения нормали с параболой и ее директрисой.
1552. Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой ее точке вдвое больше длины нормали в той же точке.
1553. Показать, что радиус кривизны лемнискаты
р2 = a2 cos 2ср обратно пропорционален соответствующему по
лярному радиусу.
1554. Найти окружность кривизны параболы у = х2 в точке
(1,1).
1555. Найти окружность кривизны гиперболы ху = 1 в точ
ке (1,1). |
|
|
|
1556. |
Найти окружность кривизны линии |
у = ех |
в точке |
( о д ) . |
|
|
|
1557. |
Найти окружность кривизны линии |
у = tg х |
в точке |
м -
1558. |
Найти окружность кривизны циссоиды |x2 + y 2j x - |
- 2 ay2 = 0 |
в точке (а, а). |
В задачах 1559-1562 найти вершины (точки, в которых кривизна принимает экстремальное значение) данных линий.
1559. |
jx +Jy = V a . |
1560. у = In*. |
1561. у = ех. |
1562. |
* = а (3cos t + cos3f), у - a (3sint + sin3f). |
||
116 |
ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ |
|
||||
|
1563. |
Найти |
наибольшее зна |
|||
|
чение радиуса |
кривизны |
линии |
|||
|
•з Ф |
|
|
|
||
|
р = asm |
j . |
|
|
|
|
|
1564. Показать, что кривизна |
|||||
|
в точке |
Р |
линии |
у = f(x) |
равна |
|
|
|z/"cos3 a|, |
где |
a |
- угол, |
обра |
|
|
зуемый касательной к линии в |
|||||
|
точке Р |
с |
положительным на |
|||
правлением абсцисс.
1565. Показать, что кривизну линии в произвольной точке можно представить выражением
k -| d^ "a|, |
где а |
имеет то же значение, что и в предыдущей |
|
задаче. |
|
|
|
1566. Функция |
f (x ) определена так: /( * ) = я 8 в интервале |
||
- < * S 1 . |
/( * ) = ах2 + Ъх + с в интервале |
1 < х < +°°. Каковы |
|
должны быть а, Ь, с, для того чтобы линия |
у = f(x) имела вез |
||
де непрерывную кривизну.
1567. Даны (рис. 22): дуга AM окружности с радиусом, рав
ным 5, и с центром в точке (0, 5) и отрезок ВС прямой, соеди няющей точки В ( l , 3) и С (11,6б). Требуется точку М соеди
нить с точкой В дугой параболы так, чтобы линия АМВС имела везде непрерывную кривизну. Найти уравнение искомой пара болы (взять параболу 5-го порядка).
В задачах 1568-1574 найти координаты центра кривизны и уравнение эволюты для данных линий.
1568. |
Парабола л-го порядка у = хп. |
||
|
2 |
„2 |
= 1. |
1569. Гипербола |
Ьг |
||
|
а |
1 |
|
1570. |
1 |
1 |
|
Астроида х 3 + у 3 = а3. |
|||
1571. |
Полукубическая парабола у3 = ах2. |
||
1572. |
Парабола х = 3*, |
у = t2 - 6. |
|
1573. Циссоида у2 = 2~ ' -
1574. Линия х = a (l + cos21)sin t, у = a sin21cos t.
§ 6. КРИВИЗНА |
117 |
|
|
1575. Показать, что эволюта трактрисы |
|
х = —а (lntg 1- + cos t ), y = asinf |
|
есть цепная линия.
1576. Показать, что эволюта логарифмической спирали
р = аф представляет собой точно такую же спираль, только по
вернутую на некоторый угол. Можно ли так подобрать а, чтобы эволюта совпала с самой спиралью?
1577. Показать, что любую эвольвенту окружности можно получить путем поворота одной из них на соответствующий угол.
1578. Показать, что расстояние некоторой точки циклоиды от центра кривизны соответствующей точки эволюты равно удвоенному диаметру производящего круга.
1579. |
Эволютой параболы у2 =4рх |
служит полукубическая |
|
парабола |
ру2 = - ^ ( х - 2 p f . Найти длину дуги полукубической |
||
' параболы от острия до точки |
(х , у) . |
|
|
1580. |
Найти длину эволюты эллипса, полуоси которого рав |
||
ны а и Ь. |
|
|
|
1581. |
Показать, что |
эволютой |
астроиды х = acos31, |
'y = asin3t является астроида вдвое больших линейных разме ров, повернутая на 45°. Воспользовавшись этим, вычислить
длину дуги данной астроиды.
1582*. |
Показать, что эволюта кардиоиды х = 2а cos t - |
-acos2f, |
у = 2а sin t - a sin 2t есть также кардиоида, подобная |
данной. Воспользовавшись этим, найти длину дуги всей кар диоиды.
1583*. Доказать теорему: если кривизна дуги некоторой ли нии либо только возрастает, либо только убывает, то окружно сти кривизны, соответствующие различным точкам этой дуги, не пересекаются и лежат одна внутри другой.
Глава V
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл и его простейшие свойства
1592. Выразить с помощью интеграла площадь фигуры,
ограниченной следующими линиями: |
|
|
1) осями координат, прямой х = 3 |
и параболой у = х 2 + 1; |
|
2) осью абсцисс, прямыми х = а , |
х = Ь и линией у = ех + 2 |
|
(& > а); |
|
|
3) осью абсцисс и дугой |
синусоиды у = sin я , соответ |
|
ствующей первому полупериоду; |
|
|
4) параболами у = х 2 и у - |
8 - х 2; |
|
5)параболами у = х2 и z/.= <Jx ;
6)линиями у = In х и у = In2 а:.
1593. Фигура ограничена осью абсцисс и прямыми у = 2х, х = 4, х = 6. Найти площади входящих и выходящих л-сту- пенчатых фигур («лестниц»), разбивая отрезок [4, б] на равные части. Убедиться, что оба полученных выражения стремятся при неограниченном возрастании п к одному и тому же пределу S - площади фигуры. Найти абсолютную и относительную по грешности при замене данной площади площадями входящих и выходящих л-ступенчатых «лестниц».
1594. Криволинейная трапеция с основанием [2, 3] ограни чена параболой у = х 2 . Найти абсолютную и относительную
погрешности при замене данной площади площадью входящей 10-ступенчатой «лестницы ».
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА |
119 |
|
1595. Вычислить |
площадь фигуры, |
огра- |
|
||
ничейной параболой |
у = |
2 |
х = 3, |
|
|
прямыми |
|
||||
х - 6 и осью абсцисс. |
|
|
|
||
1596. Вычислить площадь сегмента, отсе |
|
||||
каемого прямой у - 2* + 3 от параболы у = х2. |
|
||||
1597. Вычислить площадь параболического |
|
||||
сегмента с |
основанием а = 10 см и стрелкой |
Рис. 23 |
|||
h = 6 см. |
(Основанием служит хорда, перпен |
||||
дикулярная к оси параболы, рис 23.)
1598. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
у = х 2 - 4х + 5, осью абсцисс и прямыми х = 3, х = 5.
1599. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугами парабол у = j X 2 и у - 3 - ^ - .
1600. Вычислить площадь фигуры, ограниченной парабола ми у = х 2 - 6х + 10 и у = 6х - х2 .
1601. Вычислить площадь, заключенную между параболой
у - х 2 - 2х + 2, касательной к ней в точке (3, 5), осью ординат и осью абсцисс.
1602. Материальная точка движется со скоростью v = 21 + + 4 см /с. Найти путь, пройденный точкой за первые 10 с.
1603. Скорость v при свободном падении равна gt. Найти путь, пройденный за первые 5 с падения.
1604. Скорость движения, пропорциональная квадрату вре мени, в конце 4-й секунды равна 1 см/с. Чему равен путь, пройденный за первые 10 с?
1605. Известно, что сила, противодействующая растяжению пружины, пропорциональна удлинению ее (закон Гука). Растя гивая пружину на 4 см, произвели работу 10 Дж. Какая работа будет произведена при растяжении пружины на 10 см?
1606. Чтобы растянуть пружину на 2 см, нужно произвести работу 20 Дж. Насколько можно растянуть пружину, затратив работу 80 Дж?
1607. Скорость v радиоактивного распада является заданной функцией времени: v = v(t). Выразить количество т радиоак тивного вещества, распавшегося за время от момента То до мо мента Т\\ а) приближенно - суммой, б) точно - интегралом.
120 |
ГЛ. V. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
1608. Скорость нагревания тела является заданной функци |
|
ей времени |
\|/(*). На сколько градусов 0 нагреется тело за вре |
мя от момента Т0 до момента Т{> Выразить решение : а) при ближенно - суммой, б) точно - интегралом.
1609. Переменный ток I является заданной функцией времени I = /(* ). Выразить (приближенно - суммой и точно -
интегралом) количество Q электричества, протекшее через по перечное сечение проводника за время Т, считая от начала
опыта.
1610. Напряжение Е переменного тока является заданной функцией времени £ = cp(f); ток I - тоже заданной функцией времени I = у (f). Выразить работу А тока за время от момента То до момента Т\1 а) приближенно - суммой, б) точно - инте гралом.
1611. Электрическая цепь питается батареей аккумуляторов. В течение 10 мин напряжение на клеммах равномерно падает
от EQ = 60 В до |
Е = 40 В. Сопротивление цепи R = 20 Ом. |
Найти количество |
электричества, протекшее через цепь за |
10 мин. |
|
1612. Напряжение электрической цепи равномерно падает, уменьшаясь на а = 1,5 В в минуту. Первоначальное напряжение цепи Е0 =120 В; сопротивление цепи R = 60 Ом. Найти работу тока за 5 мин. Индуктивностью и емкостью пренебрегаем.
1613. В цепь равномерно вводится напряжение. В начале опыта напряжение равно нулю. По истечении минуты напря жение достигает 120 В. Сопротивление цепи равно 100 Ом. Ин дуктивностью и емкостью пренебрегаем. Найти работу тока в течение одной минуты.
1614. Прямоугольная стенка аквариума, до краев наполнен ного водой, имеет основание а и высоту Ь. Выразить силу Р давления воды на всю стенку: а) приближенно - с помощью суммы, б) точно - с помощью интеграла.
1615. а) Вычислить силу Р, с которой вода, наполняющая аквариум, давит на одну из его стенок. Стенка имеет форму
прямоугольника. Длина ее |
а = 60 см, |
а высота b = 25 см. |
б) Разделить горизонтальной |
прямой |
стенку аквариума так, |
чтобы силы давления на обе части стенки были одинако выми.