книги / Сборник задач по курсу математического анализа

82

ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

1067. Доказать, что если

ах2 + 2Ьху + су2 + 2gx + 2fy + h = 0, то

dy _

ax+by+g

и d*y_ _

а

dx

bx+cy+f

dx2

(bx+cy+ff ’

1069.

х = at2 , у = bt3;

= ?

dy“

1070.

л: = a cos £,

у = a sin t ;

d2u

— f- = ?

dx"

1071.

x = acost,

y = &sin*;

?

dx

2 ) x

= acos2 *,

y = asin2 *;

= ?

1074. 1) л

= In *, у = *2 - 1 ; - ^ f = ?

dx

2)

зс = arcsint , y = l n | l - f 2j;

= ?

1075.

x = at cost, у = at sin t;

= ?

dx*

1076.

Доказать, что

функция

у = /(* ) ,

заданная

парамет­

рически

уравнениями

у = е* cost,

x - e l sin t , удовлетворяет

соотношению

у"(х + у)2 =2 (ху' - у).

1077.

Доказать, что

функция

i/ = /(* ) ,

заданная

парамет­

рически

уравнениями y = 3 t - t 3,

x = St2,

удовлетворяет соот­

ношению

36у# (г/ - л/Ззс) = я + 3.

§ 5. ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

83

формулой s = t2 - 4t +1 .

Найти скорость и ускорение движения.

1082.

Точка

движется

прямолинейно,

причем

s = -|sin-y + s0. Найти

ускорение в конце первой секунды (s

выражено в сантиметрах, t - в секундах).

84

ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

1) [(*’ + i j s i n

. f s

2)

р sin ,)(") 5 3)

р sine**)'”’ .

1089. Показать, что если

у = (l - х) ае~ах,

то

( 1 - * ) £ = с т /.

Применив формулу Лейбница, показать, что

(1 - х)у(п+1^-

(л + ах)у^ - пси/"-1) = 0.

1090.

Функция

у = eaarcsinx удовлетворяет

соотношению

(l - х2 )у' - ху - а 2у = 0

(см. задачу 1051).

Применив формулу Лейбница и дифференцируя это равенст­

во л раз, показать, что

(l - х 2)у(п+2^- (2л + 1) ху(п+1^-

(л2 + а2) у ^

= 0.

1091.

Показать,

что

(еах COS&JC) ^

= rneax cos (рх + л<р), где

(

1

1092. Доказать, что I хп~гех I

= ( - 1)Л

§ 5. ПОВТОРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

85

1093. Доказать, что функция у = arcsin х удовлетворяет со­

отношению (l - я2) у ' = ху. Применяя к обеим частям

этого

уравнения формулу Лейбница, найти t/n^(o) (п > 2).

функция у -

cos(m arcsin я) удовлетворяет соотношению

(l - x2)i/ п+2^- (2л + l)xi/п+1) + (т2 - л2) ^ = 0.

1095. Если у = (arcsin x f , то

(l -

* 2)z/n+l) -

(2л - 1)ху^ + (л - 1)2*/^”-1^= 0.

Найти у'(о),

/'(О ),...,

у ^ (о ).

1096.

у = V

? ;

d2y = 1

1097.

у = хт;

day = 7

1098.

у = (ж+ 1)8(*- i f

; А

= ?

1099.

у = 4“*Z ;

d2y = ?

1100.

у = arctg(-£tg*);

d2y = ?

1101.

у = l/ln2 * - 4 ;

А

= 1

1102.

у = sin2 * ;

d3y = ?

1103.

р2cos3 <р - a2sin3 tp = 0;

d2p = ?

1104.

ж» + у * = а* ;

d2y = ?

1105

и = In ^=^5-;

* = tg f; выразить

d2y через: 1) х и

У

1+х2

2)

t и dt.

1106.

у = sin г ;

г - а х \ х - t9;

выразить d2y через: 1) г и

dz,

2) я и cte,

3 )* и

dt.

зать, что

функция у - х8 - З х + 2 возрастает в точке

х1 = 2,

убывает в точке х2 = 0, достигает максимума в точке х3 = -1 и

минимума в точке х4 = 1.

1109.

Так же, как

в задаче 1108, показать, что

функция

у = cos 2*

возрастает в

точке хх = *SjL, убывает в точке

х2 =-*г,

дение данной функции в точке х = 0 :

1)

у = 1 - х4 ;

2) у = хб - х 8;

3) у = $[х;

4) y = tfx2 ;

5) у

tfx4 ;

6 ) y = |tg*|;

7)

у = |ln(* + l)|;

8 ) y = e"l*l;

9) у = V*3 + х 2 .

1111. Показать, что функция у - In (я2 + 2дс —з) возрастает в

точке

хх - 2 , убывает в точке

х2 = -4

и не имеет стационар­

ных точек.

1112. Выяснить поведение функции

у - sin я + cos я в точ­

ках хг = 0 , ж2 = 1 , *3 = —| и

дг4 = 2.

§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

87

1113.

Выяснить поведение

функции

у = х - In х

в

точках

xi = 2 *

х 2 = 2 > х з = е

и

х 4 -

1 и

показать, что если

данная

функция возрастает в точке х = а > 0,

то она убывает в точке —.

у = xaictgx

а

1114. Выяснить поведение функции

в точках

х1 = 1 ,

х2 = “ 1 и х3 = 0.

1115. Выяснить поведение функции

fsinx

при

X4t0

У -

\

х

при

х = О

[

1

в точках

= | , *2 =

и *3 = 0.

Теоремы

Ролля и Лагранжа

1116. Проверить справедливость теоремы Ролля для функ­

ции у - х 3 + 4х2 - 7 х - 1 0

на отрезке [ - 1 ,2 ] .

1117. Проверить справедливость теоремы Ролля для функ­

ции у = In sin х на отрезке [ j » ^ ]«

1118. Проверить справедливость теоремы Ролля для функ­

ции у = 481ПХ на отрезке

[0, тс].

1119. Проверить справедливость теоремы Ролля для функ­

ции у = \1х2 - З х + 2

на отрезке [1,2].

1120. Функция

у =

х

принимает равные значения на

концах отрезка [- 1 ,1 ].

Убедиться в том, что производная от

этой функции нигде на отрезке

[-1 ,1 ] в нуль не обращается, и

90

ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

1147. Показать, что функция

2

л

у =

возрастает в любом

интервале, на содержащем точки

х = 0.

. .

sin(x+a)

1148. Показать, что функция у = -г-)— гг изменяется мо-

зпця+о)

нотонно

в любом интервале,

не содержащем точек разрыва

функции.

1149*. Доказать неравенство

при условии

0 < ж 1 <ж2 < | .

1150.

Найти интервалы монотонности функции

1153.

у = ij(2x - а)(а -

x f

(а > 0).

1154.

у =

1155. у =

ю

1+х+х*

4 х 3 - 9 х 2 + 6 х ‘

1156.

у = х - е х.

1157.

у = х 2е~х.

1158. у = -г^—.

9

9 In х