книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ФИЗИКИ |
191 |
|
2723. Если при прохождении через слой воды толщиной 3 м поглощается половина первоначального количества света, то какая часть этого количества дойдет до глубины 30 м? Количе ство света, поглощенного при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально толщине слоя и количеству света, па дающего на его поверхность.
2724. Если первоначальное количество фермента 1 г через час становится равным 1,2 г, то чему оно будет равно через 5 часов после начала брожения, если считать, что скорость при роста фермента пропорциональна его наличному количеству?
2725. Если через два часа после начала брожения наличное количество фермента составляет 2 г, а через три часа 3 г, то каково было первоначальное количество фермента? (См. преды дущую задачу.)
2726. 2 кг соли растворяются в 30 л воды. Через 5 мин рас творяется 1 кг соли. Через какое время растворится 99% перво начального количества соли? (Скорость растворения пропорцио нальна количеству нерастворенной соли и разности между кон центрацией насыщенного раствора, которая равна 1 кг на 3 л, и концентрацией раствора в данный момент.)
Глава IX
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды
Сходимость числового ряда
В задачах 2727-2736 для каждого ряда: 1) найти сумму п первых членов ряда (<S„), 2) доказать сходимость ряда, пользу ясь непосредственно определением сходимости и 3) найти сумму ряда (S).
2727*- TV |
JV |
- |
|
л (л+l) |
|
|||
« » • |
* |
+ * + - |
. + -------- 1-------- + ... |
|||||
|
(2n-l) (2n+l) |
|
||||||
2729. * |
+ |
+ |
|
.+ |
1 |
+ ... |
||
|
|
|
|
|
|
(3n-2) (3n+l) |
|
|
273° - |
& + ■ & + - |
.+ |
7*— |
+ ... |
|
|||
|
л (л+3) |
|
|
|||||
2731‘ |
l V + |
319 + - |
, + -------- 1-------- + ... |
|||||
|
|
|
|
|
|
(2л-1) (2л+5) |
|
|
2732- v |
h |
+ r t i |
+ ... + --------1--------+ |
|||||
|
л(л+1) (л+2) |
|||||||
2733. |
1 + Ц |
+ - |
+ |
3"+2П , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
6П |
|
|
2734. } |
+ £ |
+ ...+ |
|
2л+1 |
, |
|
||
л2(л+1)2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
2735- ? |
+ ж |
+- |
+ (2л-1)2(2л+1)2 |
|
||||
2736. arctg \ + arctg - + ... |
+ arctg -± r +... |
|
2 |
8 |
2л2 |
|
|
|
|
§ 1. ЧИСЛОВЫ Е РЯДЫ |
1 9 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряды |
с положительными |
членами |
||||
В задачах 2737-2753 вопрос о сходимости данных рядов |
||||||
решить с помощью признаков сравнения. |
|
|||||
2737’ |
|
|
+ |
о._____1_ |
-+ ... |
|
|
|
|
|
|
||
2738. |
sin-5- + sin-7 +...+ sin — +... |
|
||||
|
|
2 |
4 |
2n |
|
|
2739. 1 + |
|
1+л2 |
|
|
||
|
|
1+22 |
|
|
||
2740. |
2 5 |
+... + -— ^ — |
- + ••• |
|
||
|
3,6 |
(л+ l) (л+4) |
|
|||
2741. |
-I + -I + ...+ |
п+* - + ... |
|
|
||
|
3 |
8 |
(л+2) л |
|
|
|
2742. |
tg ^ + tg| + ... |
+ tg.^-+... |
|
|
||
2743. |
l |
+ i |
+...+ - |
i - +... |
|
|
2744. |
1 + 1 +...+ ^ |
+... |
|
|
||
2745‘ |
Ь2 + ЫЗ+ - |
+ Б Г М ) + - |
|
|||
2746. |
|
|
|
|
2747. |
|
|
П=1 |
|
|
|
|
|
2748. |
Х т = = - |
|
2749. ^ |
In л |
||
|
Jab- |
|||||
|
~ |
>/л2+2л |
|
|
|
|
2750. ]£(л/л - V n - l ) |
2751. |
|
||||
|
П=1 |
|
|
|
|
|
2752. ^ -i-(Vn +1- V n - i ) . |
|
|
||||
|
n = l |
|
|
|
|
|
2753. ^T-i/V/i2+ n +T - Vn2- л +1j. |
|
|||||
|
n = l |
^ |
|
|
|
|
В задачах 2754-2762 доказать сходимость данных рядов с |
||||||
помощью признака Даламбера. |
|
|
||||
2754. £ |
+ £+•■■+ (2л+1)! |
|
|
|||
7-2525
194 ГЛ. IX. РЯДЫ
2755. i |
+ 4 + ... + -*t-+... |
|
2 |
22 |
2” |
2756. t g * + 2 tg £ + ...+ n t g -£ r + ...
|
|
|
... + -------- j----- - + |
|
||
|
1 + 1 * + ' |
1-6-...•(4л-3) |
|
|||
|
i + f h . . |
+ 4 + ... |
|
|
||
|
3 |
9 |
|
3" |
|
|
|
i3 + i3-i6 + |
, l-3-...-(2«-l) ! |
|
|||
|
|
3”-л1 |
|
|||
|
sin-J + 4sin-T-+...+n2 sin-” |
|
||||
|
2 |
|
4 |
2n |
|
|
|
21 |
3! |
|
+__й__. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 + M + . |
2” л! |
|
|||
|
2^2-4 |
' |
|
|||
В задачах |
2763-2766 |
доказать |
сходимость данных рядов |
|||
с помощью радикального признака Коши. |
||||||
2763. |
In2 |
In2 3 |
1пл(л+1) |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
2764- ^ + {б)2+- |
+Ш |
п+- |
|
|||
2765. |
arcsin 1 + arcsin2 -J-+...+ arcsin7* — +... |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
л |
2766I. ^ + |
|
|
|
— +... |
|
|
В задачах 2767-2770 вопрос о сходимости данных рядов решить с помощью интегрального признака Коши.
2767.
2 In2 2 |
31п2 3 |
(л+1)1п2(л+1) |
2768. о1 о ^ |
1 |
— г1— к .. |
21п2 |
31п3 |
л1пл |
2769- t e ) 2+t e |
) 2+- f e ) 2+- |
|
2770.
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ |
1 9 5 |
В задачах 2771-2784 выяснить, какие из данных рядов схо дятся, какие расходятся.
|
|
|
1 ’ |
+... |
|
2V2 Зл/з (n+i)V£TT |
|||
2772. |
1 + 4+ ...+ - 3 - + ... |
|
||
|
3 |
2л-1 |
|
|
2773. |
л/2 + |
.-+yl^+- ■. |
||
2774. 1 +-4- +... +4 |
+- |
|
||
|
1-2 |
пI |
|
|
2775. |
2 + #+ .. |
,+ -*£±i+... |
|
|
2777. - ^ + - ^ + . . . + -*4 -+ ...
1+12 1+22 1+л2
2778. |
± + ± + . . .+&=*■+... |
||
|
3 |
32 |
3» |
2779. |
arctg 1 + arctg2 -j +...+ arctg” +... |
||
2780. |
2 + ± + ...+ £r+... |
||
|
|
16 |
n4 |
2781’ |
b3 + 6V + ' " + (5n-4)(4n-l) + " ' |
||
2782. |
4 + | + . - + - ат + - |
||
|
2 |
8 |
л - 2 |
2783. |
1 + |
2+ ... + nn + ... |
|
2784*. |
sin -j + sin +...+ sin -^ +... |
||
В задачах 2785-2789 доказать каждое из соотношений, с по мощью ряда, общим членом которого является данная функция.
2785. |
Иш 4 = 0. |
2786. |
lim ^ r = 0 (о>0). |
|
я! |
|
|
2787. |
lim7f TT = 0. |
2788. |
lim-д-т- = 0. |
|
»->- (2п)1 |
|
и - (л!)2 |
2789. |
lim М 1 = 0. |
|
|
196 ГЛ. IX. РЯДЫ
Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость
В задачах 2790-2799 выяснить, какие из указанных рядов сходятся абсолютно, какие не абсолютно, какие расходятся.
|
|
|
|
|
|
\л+1 |
1 |
|
|
|
2790. |
l - i + . . . + ( - l ) ' |
2п-1 +... |
|
|
||||||
2791. |
1 - 4 - + ...+ ( - !)'i/i+l |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2п-1)3 |
|
|
|
2792. |
^ |
+ ^ |
|
+ ••■ + (- 1 Г |
ln(n+l) |
|
|
|||
|
In 2 |
|
1пЗ |
|
|
|
|
|
||
2793 |
sinot + sin2а . |
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2794. |
l - |
i |
. i |
|
+...+( - l ) " +1J L . i +. |
|
|
|||
|
2 |
2 |
о2 |
|
|
' |
' |
п o ’1 |
|
|
2795. |
2 - |
1 + ...+ (-1)"+1 n il + ... |
|
|
||||||
2796. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2797. |
1 - | +... + ( - 1 Г 1л1+ ... |
|
|
|||||||
|
2 |
4 |
|
|
' |
/ |
2п |
|
|
|
2798. |
X |
( - 1)" |
|
|
|
|
|
|
|
|
л-1пл * |
|
|
|
|
|
|||||
|
Л=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2799. |
^ |
( - l r |
1^ - . |
|
|
|
|
|||
|
П—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2800. Показать, что если ряды ^ |
и |
сходятся, то |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п=1 |
|
п=1 |
ряд ^ flrt&n абсолютно сходится.
п=1
2801. Показать, что если ряд ^ ап абсолютно сходится, то
п=1
и ряд |
также абсолютно сходится. |
п-1
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ |
197 |
§ 2. Функциональные ряды
Сходимость функциональных рядов
В задачах 2802-2816 определить области сходимости рядов.
2802. |
1 + х + . . . + х п+ . . . |
|
|
||||||
2803. |
In х |
+ In2 х + . ..+ In'1х + . .. |
|
||||||
2804. |
х |
+ х * + . . . + х п2+... |
|
|
|||||
2805. |
* + 4 + - " + - 4 + -- - |
|
|
||||||
|
|
22 |
|
л2 |
|
|
|
||
2806. |
* + V2 |
4п |
|
|
|
||||
2807. |
Тг - + - ^ г +...+ - ± - + . . . |
|
|||||||
|
1+х |
|
|
1+дс2 |
|
1+хп |
|
|
|
2808. |
2х + 6х 2 + ... + л (п + 1) х п + ... |
||||||||
2809. |
f |
+ -4 = + ...+ - 4 = + — |
|
||||||
|
" |
2+у2 |
|
п+уп |
|
|
|||
2810. |
- J V |
|
+ - 4 - + ...+ - 4 - + . . . |
|
|||||
|
1+х2 |
1+дс4 |
1+х2" |
|
|||||
2811. |
sin^- + sin ^ + ...+ sin |
2" |
|
||||||
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
||
2812. |
x t g |
f |
+ х 2 t g f + . . . + х 11tg |
2 |
|||||
|
|
|
< |
6 . |
4 |
|
|
||
2813. sin* + - § ^ + ...+ ^ £ + . . .
2814. cosx , cos2* .
2815. e~x + e"4*+...+e"n x+...
2816.
Равномерная (правильная) сходимость
В задачах 2817-2820 доказать, что данные ряды равномерно (правильно) сходятся на всей оси Ох.
2817. 1 + - ^ + . . . + - ^ + . . . |
|
1! |
л1 |
2818- л=1£ жI м ТJ |
2819- п=1Ё ' Т - 282°-/1=Х1 11? - |
1 9 8 |
ГЛ. IX. РЯДЫ |
|
|
|
|
|
|
2821. Показать, что ряд |
_1_ |
_1_ |
п2+[Ф(*)]2 |
|
1+[ф(*)]2 ' |
4+[<р(д:)]2 ' |
сходится равномерно (правильно) в любом интервале, в котором определена функция <р(лс).
2822. Показать, что ряд |
+ - А - - + ... + |
и . |
+ ... |
Vl-kr |
241+2х |
2“ V I +пх |
|
равномерно (правильно) сходится на всей положительной полу оси. Сколько нужно взять членов, чтобы при любом неотрица тельном х можно было вычислить сумму ряда с точностью до
0,001?
2823*. Показать, что ряд lnA tT>+ Ц 1*2*) + ... + И 1! '» ) + ...
г |
* |
2хг |
пх" |
равномерно сходится в полуинтервале |
1 + со < х < +«>, где со - |
||
любое положительное число. Убедиться, что при любом х из отрезка 2 < х < 100 достаточно взять восемь членов, чтобы по лучить сумму ряда с точностью до 0,01.
2824. Показать, что ряд ^ л с ” (1-л:) сходится неравномерно
п = 1
на отрезке [0, l ] .
2825. Функция f (х) определяется равенством
п = 1
Показать, что функция любом х. Найти /(О), f ( j )
вычисления приближенных
f(x) определена и непрерывна при и f ( j \ Убедиться в том, что для значений функции f (ле) при любом
хс точностью до 0,001 достаточно взять три члена ряда. Найти
суказанной точностью / (l) и f (- 0,2).
2826. Функция / (лс) определяется равенством
(“ >»)•
Показать, что функция / ( х) определена и непрерывна при лю бом х. Убедиться, что / ( х) - периодическая функция с перио
дом со.
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ |
199 |
|
Интегрирование и дифференцирование рядов
2827. Показать, что ряд х2 + хв + ... + х4п~2 + ... равномерно сходится на отрезке -1 + (0< * < 1-ю , где (о - любое положи тельное число, меньшее единицы. Интегрированием данного ряда найти в интервале (-1 , l) сумму ряда
|
„7 |
v4n-l |
|
|
3 + 7 + |
4л-1 |
|
2828. |
Найти сумму ряда х + +... + 4л-3 |
|
|
2829. Найти сумму ряда f |
j - f j +.... + ( - 1)*+1 |
+... |
|
2830. Функция f (я) определяется равенством |
|
||
|
f (я) = е~х + 2е~2х +... + пе~пх +... |
|
|
Показать, что функция f(x) |
непрерывна на всей положитель- |
||
|
1пЗ |
|
|
ной полуоси Ох. Вычислить I f(x)dx. |
|
||
|
In 2 |
|
|
2831. Функция f (х) определяется равенством |
|
||
|
f(x) = 1 + 2 •3* +... + п •3n"1xn"1 +... |
|
|
Показать, |
что функция f (х) |
непрерывна в интервале |
|
|
0,125 |
|
|
Вычислить |
J f {x)dx. |
|
|
|
о |
|
|
2832*. Функция f (ж) определяется равенством |
|
||
|
/(* )= 2 tgf + 4 t g 4 + - + y t g ^ - + - |
|
|
Вычислить |
I f(x)dx, предварительно убедившись |
в том, что |
|
|
п/б |
|
|
функция f (*) непрерывна в заданном интервале интегрирования. 2833*. Функция / (я) определяется рядом
1Ь > -1 ±Г
2 0 0 |
|
|
ГЛ. IX. РЯДЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Показать, что функция f(x) непрерывна на всей числовой |
|||||||
|
+? |
|
|
|
|
|
|
оси. Вычислить |
\f(x)dx. |
|
|
|
|
||
|
о |
|
|
1Jxndx = |
|
|
|
2834. |
Исходя из |
соотношения |
, найти |
сумму |
|||
ряда: 1) 1 - т +-” + Т ^ Г + --- : |
2> 1 ~ 5+” -+ У ^ Г +- " |
|
|||||
|
|
|
|
|
+» |
|
|
2835. |
Исходя |
из соотношения |
= — |
найти |
сумму |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
P**a I ^ + I ^ + - |
+ ^ |
+ - |
|
|
|
|
|
2836. Исходя из соотношения |
|
|
|
||||
|
я/2 |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
найти сумму ряда |
+ ... + (- l)n+1 |
+ ... |
|
||||
2837. Доказать, что ряд -s^ |
nx + |
-к ..+ |
пх.+ ... рав- |
||||
|
|
|
|
й |
4 |
2 п |
|
номерно сходится на всей числовой оси. Показать, что этот ряд нельзя почленно дифференцировать ни в каком интервале.
2838. Исходя из равенства 1 + х + х2+... = |
(| х |< l ) , |
про |
|||||||
суммировать |
ряды |
1+ 2х + Ъх2+...+пхп~1+... |
и 1 + 3* + ... |
||||||
... + |
|
хп~г + ... и |
показать, |
что ряд |
1 + 2х+.. .+пхп~1+ ... |
||||
равномерно сходится на отрезке |
[- р, р], где |р |< 1. |
|
|||||||
2839. Показать справедливость равенства |
|
|
|||||||
|
|
|
1+* |
|
|
_ _ ! _ |
|
|
|
|
|
|
1+х2 |
1+3 |
|
|
|
||
где т = 2Л-1 и -1 < х < 1. |
|
|
|
|
|
||||
2840. Убедиться, что функция у = / (*), |
определяемая рядом |
||||||||
х + х |
о |
з |
„П |
|
удовлетворяет |
соотношению |
, |
||
|
+ -%г+...+ -,- ■■>, +.♦., |
дсу - |
|||||||
|
|
21 |
(л-1М |
|
|
|
|
|
|
- » ( * |
+ !)• |
|
|
|
|
|
|
|
|