книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ |
И СТАТИКИ |
171 |
2568. Одна арка циклоиды х = a (t - |
sin t), у = а (1 - cos t) |
|
вращается вокруг своего основания. Вычислить объем тела, ограниченного полученной поверхностью.
2569. Фигура, ограниченная аркой циклоиды (см. предыду щую задачу) и ее основанием, вращается вокруг прямой, пер пендикулярной к середине основания (ось симметрии). Найти объем получающегося при этом тела.
2570. Найти объем тела, полученного при вращении астрои-
1 1 1
ды х 3 + у 3 = а3 вокруг своей оси симметрии.
2571. Фигура, ограниченная дугой линии Jc = -^*cos3t,
у = -^-sin3 t (эволюта эллипса), лежащей в первом квадранте, и
координатными осями, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем получающегося при этом тела.
2572. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью бесконечного веретена, образованного вращением линии
у= —Ц - вокруг ее асимптоты. 1+лс
2573. Линия у2 = 2ехе~2х вращается вокруг своей асимпто
ты. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, которая получается в результате этого вращения.
2574*. 1) Фигура, ограниченная линией у = е'х и ее асим
птотой, вращается вокруг оси ординат. Вычислить объем тела, которое при этом получается.
2) Та же фигура вращается вокруг оси абсцисс. Найти объем получающегося тела.
2575*. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью,
получающейся при |
вращении линии у = х2е~х |
вокруг своей |
асимптоты. |
|
|
2576*. Фигура, |
ограниченная линией у = |
и осью абс |
цисс, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем полу чающегося тела.
2577*. Найти объем тела, ограниченного поверхностью,
производимой вращением циссоиды у2 = |
(а > 0) вокруг ее |
асимптоты. |
|
172 |
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА |
|
|
|
2578. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, по |
||
лучающейся при вращении |
трактрисы |
х = a (cos* + lntg-|), |
|
у - |
a sin t вокруг ее асимптоты. |
|
|
|
2579*. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом |
||
|
2580. 1) Вычислить объем тела, ограниченного эллиптиче |
||
ским параболоидом г - |
и плоскостью |
г = 1. |
|
2)Найти объем тела, ограниченного однополостным гипер
болоидом |
^ — z2 = 1 и плоскостями г - -1 |
и 2 = 2. |
||||
2581. |
Вычислить объемы тел, ограниченных параболоидом |
|||||
z = х 2 + 2у2 и эллипсоидом |
х2 + 2у2 + z2 = 6. |
|
|
|||
2582. |
Найти объемы тел, образованных пересечением двупо- |
|||||
лостного |
гиперболоида |
2 |
у2 |
2 |
и |
эллипсоида |
з - |
4 - |
9 = * |
||||
2583. Найти объем тела, ограниченного конической поверх-
ностью
2584. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом
2585*. Найти объем тела, отсеченного от круглого цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания («цилиндри ческий отрезок», рис. 30). В частности, положить R - 10 см и Я = 6 см.
2586. Параболический цилиндр пересечен двумя плоскостя ми, из которых одна перпендикулярна к образующей. В резуль тате получается тело, изображенное на рис. 31. Общее основа
ние параболических сегментов а = 10 |
см, высота |
параболиче |
|
ского |
сегмента, лежащего в основании, |
Н = 8 см, |
высота тела |
h = 6 |
см. Вычислить объем тела. |
|
|
2587. Цилиндр, основанием которого служит эллипс, пере сечен наклонной плоскостью, проходящей через малую ось эл липса. Вычислить объем тела, которое при этом получается. Линейные размеры указаны на рис. 32.
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ |
173 |
|
Рис. 30 |
Рис. 31 |
2588*. На всех хордах круга радиуса R, параллельных од ному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты Н. Плоскости сегментов перпен дикулярны к плоскости окружности. Найти объем полученного таким образом тела.
2589*. Прямой круглый конус радиуса R, высотой Н рассе чен на две части плоскостью, проходящей через центр основа ния параллельно образующей (рис. 33). Найти объемы обеих частей конуса. (Сечение конуса плоскостями, параллельными образующей, суть параболические сегменты.)
2590. Центр квадрата переменного размера перемещается вдоль диаметра круга радиуса а, причем плоскость, в которой лежит квадрат, остается перпендикулярной к плоскости круга, а две противоположные вершины квадрата перемещаются по окружности. Найти объем тела, образованного этим движущим ся квадратом.
2591. Круг переменного радиуса перемещается таким обра зом, что одна из точек его окружности остается на оси абсцисс,
S
N
Рис. 32 |
Рис. 33 |
центр движется по окружности х 2 + у2 = г2 , а плоскость этого
круга перпендикулярна к оси абсцисс. Найти объем тела, кото рое при этом получается.
2592. Оси двух равных цилиндров пересекаются под пря мым углом. Найти объем тела, составляющего общую часть цилиндра (на рис. 34 изображена 1/8 тела). (Рассмотреть сече ния, образованные плоскостями, параллельными осям обоих цилиндров.)
2593. Два наклонных цилиндра имеют одну и ту же высоту Н и общее верхнее основание радиуса R, а нижние основания их соприкасаются (рис. 35). Найти объем общей части цилиндров.
|
Площадь |
поверхности |
вращения |
||
2594. |
Найти площадь поверхности, образованной вращением |
||||
параболы |
у2 = 4ах вокруг оси |
абсцисс |
от |
вершины до точки |
|
с абсциссой х = За. |
|
|
|
|
|
2595. |
Вычислить |
площадь |
поверхности, |
образованной вра |
|
щением кубической параболы 3у - х 2 = 0 |
вокруг оси |
абсцисс |
||||
(от |
хг = 0 |
до |
х2 = а). |
|
|
|
|
2596. Вычислить площадь катеноида —поверхности, образо |
|||||
ванной вращением цепной линии у - |
a ch*^- вокруг оси абсцисс |
|||||
(от |
хх = 0 |
до |
х2 = а). |
|
|
|
|
2597. |
При |
2 |
у2 |
= 1 вокруг |
большой |
|
вращении эллипса |
Ьг |
||||
|
|
|
а* |
|
|
|
оси получается поверхность, называемая удлиненным эллип
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ |
175 |
соидом вращения, при вращении вокруг малой - |
поверхность, |
называемая укороченным эллипсоидом вращения. Найти пло щадь поверхности удлиненного и укороченного эллипсоидов вращения.
2598. Вычислить площадь веретенообразной поверхности,
образованной вращением одной арки синусоиды |
у = sin х |
во |
||
круг оси абсцисс. |
|
|
|
|
2599. |
Дуга тангенсоиды |
у = tg х от ее точки |
(0, 0) до |
ее |
точки |
lj вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить площадь |
|||
поверхности, которая при этом получается. |
|
|
||
2600. |
Найти площадь поверхности, образованной вращением |
|||
петли линии 9ау2 = х (За - х)2 вокруг оси абсцисс. |
|
|
||
2601. |
Дуга окружности |
х2 + у2 = а2, лежащая в первом |
||
квадранте, вращается вокруг стягивающей ее хорды. Вычислить площадь получающейся при этом поверхности.
2602. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг |
оси абсцисс дуги линии x = e<sint, у = е* cost от |
h = 0 |
до t2 = f . |
2603. Найти площадь поверхности, образованной вращением
астроиды х = acos8t, у = a sin31 вокруг оси абсцисс.
2604. Арка циклоиды вращается вокруг своей оси симмет рии. Найти площадь получающейся при этом поверхности. (См. задачу 2568.)
2605. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды р = a (l + cos<p) вокруг полярной оси.
2606. Окружность р = 2г sin ср вращается вокруг полярной оси. Найти площадь поверхности, которая при этом получа ется.
2607. Лемниската р2 = a2cos 2ср вращается вокруг полярной оси. Найти площадь поверхности, которая при этом получа ется.
2608. Бесконечная дуга линии у = е~х , соответствующая положительным значениям х, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить площадь поверхности, которая при этом получается.
176 |
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА |
2609. |
Трактриса х = a (cos t + lntg-j), у = a sin t вращается |
вокруг оси абсцисс. Найти площадь получающейся бесконечной поверхности.
Моменты и центр масс*)
2610. Вычислить статический момент прямоугольника с ос нованием а и высотой h относительно его основания.
2611. Вычислить статический момент прямоугольного рав нобедренного треугольника, катеты которого равны а, относи тельно каждой из его сторон.
2612. Доказать, что имеет место следующая формула:
J(ах + b)f (x)dx = (а£ + b)J/ (x)dx,
a a
где £ “ абсцисса центра масс криволинейной трапеции с осно
ванием [а , b], ограниченной линией у = / (х).
2613. Н айти. центр масс симметричного параболического сегмента с основанием, равным а, и высотой h.
2614. Прямоугольник со сторонами а и b разбивается на две части дугой параболы, вершина которой совпадает с одной из вершин прямоугольника и которая проходит через его противо положную вершину (рис. 36). Найти центр масс обеих частей SY и S2 прямоугольника.
2615. Найти координаты центра масс полуокружности
у = yjr2 - х2 .
2616. Найти координаты центра масс полукруга, ограниченного осью абсцисс
и полуокружностью у = Vr2 - х 2 .
2617. Найти центр масс дуги окруж-
хности радиуса R, стягивающей цент ральный угол а.
*) Во всех задачах этого раздела (2610-2662) плотность принимается рав ной единице.
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ |
1 7 7 |
2618. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной
осями координат и параболой V* + -Jy = у[а.
2619. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной
координатными осями и дугой эллипса ^ - + -^- = 1, лежащей в
а? Ь2
первом квадранте.
2 2
2620. Найти статический момент дуги эллипса -у- + ~ = 1,
лежащей в первом квадранте, относительно оси абсцисс.
2621. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной дугой синусоиды у - sin х и отрезком оси абсцисс (от хг = 0 до
*2 = я ) .
В задачах 2622-2624 найти статический момент фигуры, ог раниченной данными линиями, относительно оси абсцисс:
2622. у = — и у = х2 .
1+х
2623. у = sin х и у = j (для одного сегмента).
2624. у = х2 и у = 4х .
2625. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной
замкнутой линией у2 = ах3 - х4 .
2626. Найти координаты центра масс дуги цепной линии
у = ach-J, содержащейся между точками с абсциссами хг = -а
и х2 = а.
2627. Доказать, что статический момент произвольной дуги параболы относительно оси параболы пропорционален разности радиусов кривизны в конечных точках дуги. Коэффициент про
порциональности равен у , гдер - параметр параболы.
2628. Найти координаты центра масс первой арки циклоиды
х = a (t - sin t), у = a (l-cost).
2629. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды и осью абсцисс.
2630. Найти координаты центра масс дуги астроиды
х = a cos8 1, у - a sin31, расположенной в первом квадранте.
2631. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной осями координат и дугой астроиды (в первом квадранте).
178 |
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА |
2632. Доказать, что абсцисса и ордината центра масс секто ра, ограниченного двумя полярными радиусами и линией, за данной в полярных координатах уравнением р = р(ср), выража*
|
|
|
Y р3 cosфАр |
*J2p3sin<pAp |
|
|
х = .2 Ф]_________ |
= 1т________ _ |
|
|
|
3 |
? р’ «ф ’ |
3 ? Р2*Р |
|
|
|
Ф1 |
|
|
2633. Найти декартовы координаты центра масс сектора, ог |
|||
раниченного |
одним |
полувитком |
архимедовой спирали р = а<р |
|
(от |
= 0 до |
<р2 = 71 ). |
|
|
2634. Найти центр масс сектора круга радиуса R с цен
тральным углом, равным 2 а .
2635. Найти декартовы координаты центра масс фигуры, ог раниченной кардиоидой р = а(1 + соэф).
2636. Найти декартовы координаты центра тяжести фи гуры, ограниченной правой петлей лемнискаты Бернулли
р2 = а2 cos 2ф.
2637. Показать, что декартовы координаты центра масс дуги
линии, |
уравнение |
которой |
дано |
в полярных координатах |
р = р (ф), |
выражаются так: |
|
I- ■—■ |
|
|
Ф2 |
I |
|
|
|
/ pcos<p^p2+p/2d(p |
|
/ psin<p7p2+p/2Ap |
|
|
Ф1 |
|
|
Ф1 |
2638. |
Найти декартовы координаты центра масс дуги лога |
|||
рифмической спирали р = аеф |
(от ф2 = ■£■ до ф2 = тс). |
|||
2639. |
Найти декартовы координаты центра масс дуги кар |
|||
диоиды р = a (l + cos ф) (от фх = 0 до |
ф2 = п). |
|||
2640. На каком расстоянии от геометрического центра ле жит центр масс полушара радиуса R?
2641. Найти центр масс поверхности полусферы.
2642. Дан прямой круглый конус; радиус основания его R,
высота Н. Найти расстояние от основания конуса до центра масс его боковой поверхности, полной поверхности и объема.
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ И СТАТИКИ |
1 7 9 |
2643. На каком расстоянии от основания лежит центр масс тела, ограниченного параболоидом вращения и плоскостью, . перпендикулярной к его оси? Высота тела Л.
2644. Найти момент инерции отрезка АВ = I относительно оси, лежащей с ним в одной плоскости, зная, что конец А от резка отстоит от оси на о единиц, конец В - на b единиц.
2645. Найти момент инерции полуокружности радиуса R
относительно ее диаметра. |
|
|
2646. |
Найти момент инерции дуги линии у = ех |
(о < х < -i-j |
относительно оси абсцисс. |
|
|
2647. |
Вычислить момент инерции одной арки циклоиды |
|
х - a (t - |
sint), у = а(1 - cost) относительно обеих |
осей коор |
динат. |
|
|
2648. |
Найти момент инерции прямоугольника со сторонами |
|
а и & относительно стороны а. |
|
|
2649. |
Найти момент инерции треугольника с основанием а и |
|
высотой h относительно: |
|
|
1)основания;
2)прямой, параллельной основанию, проходящей через вер
шину;
3)прямой, параллельной основанию, проходящей через центр тяжести треугольника.
2650. Найти момент инерции полукруга радиуса R относи
тельно его диаметра.
2651. Найти момент инерции круга радиуса R относительно его центра.
2652. Найти момент инерции эллипса с полуосями а и Ъот носительно обеих его осей.
2653. Найти момент инерции цилиндра, радиус основания которого R, высота Н, относительно его оси.
2654. Найти момент инерции конуса, радиус основания ко торого R, высота Н, относительно его оси.
2655. Найти момент инерции шара радиуса R относительно его диаметра.
2656. Эллипс с полуосями а тлb вращается вокруг одной из своих осей. Найти момент инерции получающегося тела (эллип соид вращения) относительно оси вращения.
2657. Найти момент инерции параболоида вращения, радиус основания которого R, высота Я , относительно оси вращения.
180 |
ГЛ. VIII. ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА |
2658. Вычислить момент инерции тела, ограниченного од нополостным гиперболоидом
и плоскостями |
z = 0 и 2 = 1, относительно оси Ог. |
|
||
2659. |
Криволинейная |
трапеция, ограниченная |
линиями |
|
у = ех , |
у = 0, |
х = 0 и |
х = 1, вращается: 1) вокруг |
оси Ох, |
2) вокруг оси Оу. Вычислить момент инерции получающегося тела относительно оси вращения.
2660. Найти момент инерции боковой поверхности цилиндра (радиус основания R, высота Н) относительно его оси.
2661. Найти момент инерции боковой поверхности конуса (радиус основания R, высота Н) относительно его оси.
2662. Найти момент инерции поверхности шара радиуса R относительно его диаметра.
Теоремы Гульдина
2663. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг одной из сторон. Найти объем тела, которое при этом получается.
2664. Эллипс с осями ААг = 2а и ВВХ= 2Ъ вращается во
круг прямой, параллельной оси AAi и отстоящей от нее на рас стоянии 36. Найти объем тела, которое при этом получается.
2665. Астроида вращается вокруг прямой, проходящей через два соседних острия. Найти объем и псэверхность тела, которое при этом получается (см. задачу 2630).
2666. Фигура, образованная первыми арками циклоид
х = a (t - sin *), |
у = a (l - cos t) и |
x = a (t-sin t), |
у = - a (l - c o s * ), |
вращается вокруг оси ординат. Найти объем и поверхность те ла, которое при этом получается.
2667. Квадрат вращается вокруг прямой, лежащей в его плоскости и проходящей через одну из его вершин. При каком положении прямой относительно квадрата объем получающего ся тела вращения будет наибольшим? Тот же вопрос для тре угольника.