Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по курсу математического анализа

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

19.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 446 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

I ригонометрические функции

В задачах 517-546 продифференцировать данные функции.

517. у —sinх + cos х .				518. у = т—2— .
				9	1-COS X
519.	у =	X		520. р = <рsintp+ созф.
	*
521. 2 = 8ina+_a_				522. s = 1+cost
		a sina
523.	y = ^ - z -----.			524. y = f 8’11*.
				y	l+tg*
525.	у = cos2 x .			526. y = itg4z.
527.	у = cos x - -\|cos8 x .			528. у = 3sin2 z - sin3 x
529.	у = -\|tg3* - t g * +*.			530. у = x sec2 x - tg x .
531.	у = sec2 x + cosec2 x .			532. у = sin3x.
533.	у = acos-\|.			534. у = 3sin(3jc + 5).
535. у = tg ^ -.				536. у = yjl + 2 tg x .
537.	у = sin-i-.			538. у = sin(sin*).
539. у -		cos3 4x .		540. y	= f t g f .
541. y = sinVl + * 2.				542. у = ctgVl +л2 .
543.	у = (l + sin2		•	544. y = y/l + tg(x + ±).
545. у = cos2				546. у = sin2(cos3*).
547. Вывести формулы
		^sin"x cos n) = nsin"-1 я: cos (л+l);

|sin" *sinn*j = nsin"-1JCsin(n+1)*; |cos"jcsinnx^ = /I cos"-1 * cos (n+ l)x; (cos" *cos nx\ = -n cos"-1x sin(n +1)x ;

52		ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Обратные тригонометрические								функции
В задачах 548-572 продифференцировать данные функции.
548.	у = х arcsin х .				549.	у = arc8inx.
						y	arccos*
550.	у = (arcsin *)2 .				551.	у - x arcsin x + J l - x 2.
552.	у = — \— .				553.	у —x sin x arctg x .
	*	arcsin*
554.	у = агсс09Х.				555.	у - 4x arctg x .
556.	у = (arccos д: + arcsin x f .
557.	у - arcsec х .				558.	у - -2-г - arctg x .
							1+*“
559.	y = &jmf.				560. у = - 4			— .
						9	arctg*
561.	у = arcsin(х - l ) .				562.	у = arccos
563.	у -	arctg х2.			564.	у = arcsin — .
565.	у = arcsin (sinх).				566.	у = arctg2 -j.
567.	у = J1 - (arccos x f .				568.	у = arcsin
569. у = ^ ^arcsin V2 +2 .					570.	у = arcsin			l-cosasin*
						*			l-cosasin*
571. у = arccos— ° с°з*.					572.	у = arctgГде- V l + * 2\
	*	e+6cos*
		Логарифмические				функции
В задачах 573-597 продифференцировать данные функции.
573.	у -	х2log3 х .	574.		у = In2 х.		575.	у - х Igx.
576.	у = V ln *.		577.	у			578. у = дс sin х Inх .
579. у -		Inл ’	580.	1/ = ^ .			““ •«'"Ж
582.	у = -Ц г .		583.	у = * " In*.			584.	у = Vl + h~ х .
		1 + Х 2						9

585. у = In(1 - 2х).

588. у = In(я2 - 4*).

		§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ			53
					53
587. у	=	In sin х .	588. у = log3\|*2 - lj.
589. у = In tg х .			590. у = In arccos 2 x .
591. у	= In4 sin x .		592.	у = arctg [in (ax + b ) l
593. у	= (l + In sin x )n .		594.	i/ = log2(log3(log5 *)].
595. у	= ln a rctg V l + * 2 .		596.	у = arcsin2\|^ln(a3 + x s

597. у = i^ ln s in - z f - .

Показательные функции

В задачах 598-633 продифференцировать данные функции.

598. у = 2х .				599.	2/ = Ю х .		600. у =
601. 2/ = ■£-•				602. у = х - 10х .			603. у = же1 .
604. 2/ = - т -				605. y = £ ± f ~ .			606. у = е* cos х
	ех
607. 2/ = -г — .				608.	у =		609. I f - j f r .
°	В1ПХ				ех
610. у =	х 3 - З х .			611. у = у1 + ех .
612. у = \|*2 -		2зс + з\|е* .				613. у	= ^ - .
614. у =			615. у = - s - j .			616.	у = ze	(cos
617. у =	е~х .			618.	у = 102х_3 .		619. у = е
620. у =	sin (2х).			621.	у= 38inx .		622. у	sin3 X
								=а'
623».. уI/ =-	,arcein2* ^			624<	у= 28*.		625. у =
	ес		•
626,i. у = s i n ( V t3x~2j.							Л-ein4 Зх
						627. у = Ю ]
	Jlnfax2+&x+c]					629. у = In sin ^/arctg е3:
628. 2/ = **				'

	2	2				631. у	= А.2 - о2
630. у = ае,-ь2х‘
632. у = -Ае			п(амс + а ).			633. у = ахх а.

54	ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
	Гиперболические функции
В задачах 634-649 продифференцировать данные функции.
634.	y = sh3 * .	635.	у = In ch х . 636.		у = arctg(th;c).
637.	у = th jl - х 2j.		638. у = eh2 х + ch2 х.
639.	y = ch(shx).	640. у = Vchx.				641. у - ech х.
642.	у = th(ln х ).		643.	у = х sh х -		ch х.
644.	у = Щ1 + th2 xj	.	645.	у = i t h — - —th3 —.
				2	2	6	2

648. у = ^ ch 2х + Vx sh 2х. 649. у = A 3* csch х .

логарифмическое дифференцирование

В задачах 650-666 продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования.

650.	у = д:*2.		651.	у -	Xх .	652.	у = (sin)008 .
653.	у = (in х )х.		654.	у = (я + l )x .
655.	у = A * 2 sin 2х. 656.				у = -	^	. 657. у = х 1п* .
						(х-51
658.	у =	(x+l)3Vx-2			659.	р = ijxsinxV 7 7 .
658.	у =	У	.		659.	р = ijxsinxV 7 7 .
		м
660.	у = Л р Щ й * .				661. у = * * .
	v	V 1+arceinx				*
662.	у = * ,1п1.				fie3-y =(i^r
					fie3-y =(i^r
664.	у/= 2^.		в б в - у - ^ - Ы			р .	666. У = з1 Щ .
				'	7		y(*2-i)

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ	55

Разные функции

В задачах 667-770 продифференцировать данные функции.

667. у = (l + V ? )3 .

669. у = ^1 + у/2рх .

671.р = lg(* - cos*).

673.» = 5 t g £ + t g f .

675. у = sin у sin 2*.

677. у = W * 6 - 8 .

679.i, = ( v t + ^ } 10.

681.у = e2‘ *s(x2 - x + ±')'.

683. , = -L arctg

685. p = sin2|-ctg|-.

668.p = a tg (| + &).

670.у = arctg |'x 2 - 3* + 2 ) .

672.у = 3 cos2 * - cos3 * .

676.у = sine'0*1 .

678.	у -	e	2
			In * .
680.	у = arctg
682.	_	2sin2 x
	*	cos2x
684.		tgf+ctgf
	У=		X	•

V4x‘ +2

686.

У3x4

687.	p = l n ( * W a 2 + * 2J.	688.	1/ = * arctg V * .
689.	у = yjl + tg2 x + tg* x .	690.	p = cos 2 * In * .
		X	692. у = arcsin (n sin *).
691.	у = J-arctg * + у arctg 1-x2 '		692. у = arcsin (n sin *).
691.	у = J-arctg * + у arctg 1-x2 '
693.	у = arcsin V sin*.	694.	у = ^-sin6 3* - -^-sin8 3*
695.	p = * - V l - * 2 arcsin* .	696.		p - cos arcs2m x.
697.	у = y x + y/x + Jx .	698.		у = arccos V1 - 3* .
699.	у = sin2( ^ ^ ) .	700.		у = log3\|2 - sin).
701.	y = a r c t g ^ T	702. у = In
703.	у = x arcsin (in*).	704.		!/ = * е ^ Г -

56	ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

705. у = cos х Vl + sin2 лс.

707. у ■- & =*•10“

709.у =:1пагс‘ е тт т -

711.у =^/l + х4х + з .

713.	у -	1
715.	у	In sinх
		In cosx ’
717.	у :	arcsin4x
		l-4x *
719.	у = In l-e*
721.	у	sin2 д: sin л:2 .

706.	у = 0,4 (cos		- sin 0,8ле)
708.	у =	.
		tg2 2х

710.у = In— J

712.у = x 2yjl + 4х .

714.у = ле3 arctg л:3 .

716. у = arcsin ле + V l - л

718. у =

720.y = 10*tB*.

722.у = 2cosx_

Vcos2x

723. г/

Vi+*2

725. у 2 1"* .

	724.	у = \| ln i± £		_ 1 ,
		у 4	1-х	2 '
726. у = 1	1	1	1	- 6 )

727.	г/	sinЗге	728.	у =	.
		2sin2 хcosх
729.	у	=4а2 - х 2 - a arccos —.
			а
730.	у			731- У = Ш Г г - 1+tgx
				731- У = Ш Г г - 1+tgx
732.	у	■In^x + Jx2 - lJ -- = ^ =
733.	у	вах(азтле -	соэде).	734. у	= хе1созх.
735.	у	arctgе"2^ ‘	736.	у = е*(sin Зле - 3 cos Зле).
737.	у = Зле3 arcsin ле + (ле2 + 2 ^ 1 - х2 .
738.	у	1 п •	739. у = 2 а гсз т^ М --7 2 + 4лс-л
		Vi+e-V*			V6
740.	у = In (ежcos л: +		sin ле

			§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ				57
							57
741.	у	1+х arctgх		742.	у = -
741.	у	Vl+x2		742.	у = -
		Vl+x2				cos(x-cosx)"
743.	у = е* sin JCcos3 x.			744.	i/ =	+ бл/л:9.
745.	у = JC -		ln^2e* +1 + л/е2х + 4ex + 1j .
746.	у = g a rc tg V l+ ln ( 2 x + 3) ^			7 4 7 >	=	c x 2 ^
						ex+e_x
748.	у = lntg		- ctg x ln,(l + sin x) - x .
749.	у = 21n^2x - Зл/l - 4дс2 j - 6 arcsin 2*.
750.	у		L+ lnVl + z	+ arctg л:.

751. у = -|(3- x )-J l-2 x - x 2 + 2 a rcsin -^ .

752.	у = ln^jtrsin W l - * 2				753.	у = x-\jl + x 2 sinx .
754.	_	V*+2(3-i)4			755.	у = J	1 + JCC
	л:
		1 x 2 - a r c tg x + i In * + l
756.	у = 7Г*
757.	у _	sinx +	3sinx	+ 3.	1+tfff
					_
		4cos4x	8COS2X	8
758.	у _	xex arctgx				1-x^ )e		cosx
					759*	У "	(arccosx)3
		In5 x
760.	у = x ^ x 2 + a2)3 + 3 ^ x ^ 2 + a2 + 3\|iln^							+V x2 + a 2j .
761.	у = я (arcsin зсJл2 - 2* + 2л/1 - * 2 arcsin * .

762. у = In cos arctg

— .

763. у =

arctg \^em

764.у

765.у

o-|o

58	ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
766.	у = (tg2)“ ' .			767.	у = ^ £=&=■.
768.	у = In	+ ^ ( a r c t g ^			+ arctg	.
769.	у = a r c c o s ^ i .
770.	у = ■	r + A-In	(i+2*)8	. я	arctg ■
				+ ~
	1+8х3 12 1-2х+4х2				Vi •
771. Доказать,		что функция		у = ln-j— удовлетворяет соот

ношению ху' +1 = еу .

772. Доказать, что функция

у ~ ^y + j x j x 2 + l + \nyjx + Jx*~+l

удовлетворяет соотношению 2у = ху' + Inу'.

arcsinх

Vl-x2

ношению (l - я2)*/' - JCZ/ = 1.

774*. Вычислить суммы

а) 1 + 2ж + 3х2+...+пхп~1;

б) 2 + 2 •3* + 3 •Ах2 + ... + п (п - 1)хп~2.

Обратные функции

775.Допустим, что правило дифференцирования степенной функции установлено только для целого положительного пока зателя. Вывести формулу дифференцирования корня, используя правило дифференцирования обратной функции.

776.х = ейпешу ; найти выражение для — через у\ через х.

777.t = 2 - 3s + s8 ; выразить & через s.

778. и = -i-ln-r^;	проверить соотношение 4^ -4^ = 1-
2 1—у	dv du

779. Зная, что функции arcsin 4х и sin2 х - взаимно об ратные функции и что (sin 2*) = sin2*, найти (arcsinVic).

	§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ			59

780.	Обозначим функцию, обратную степенно-показательной
функции у = х х , символом			а (дс), т. е. положим, что из у = хх
следует	х = а (у). Найти формулу для производной от функции
У = <().
781.	Функции,	обратные гиперболическим, обозначаются
символами Arsh*,		Arch х,	Arth х. Найти производные этих
функций.
782.	s = te~*; найти 4L.
		de

783.Выразить ^ через х; через у. Показать

справедливость соотношения			= 1.
784.	х = у3 -4 у + 1.	Найти ~ .
785.	t = arcsin 2s . Найти выражение для ^ через s; через t.
786.	Проверить справедливость соотношения			ес
ли х и у связаны зависимостью:
1) у - х2 + ах+ Ь;		2) у = х~п;	3) у = 1п\|дс2 -	lj.

Функции, заданные неявно

787. Убедиться дифференцированием в том, что производ

ные от обеих частей равенства sin2 х = 1 - cos2 х тождественно равны между собой.

788. Убедиться дифференцированием в том, что производ ные от обеих частей равенства

2sin2 х-1 , cos*(28ins+l)

COSJC

l+sin*

тождественно равны друг другу.

789. Чему равен угловой коэффициент касательной, прове

денной к эллипсу

~ = 1 в точке ^1, >/2J ?

790.Чему равен угловой коэффициент касательной к гипер боле ху = а (а * О), проведенной в точке (а, 1)?

791.Чему равен угловой коэффициент касательной к ок

ружности (х - 1)2 + (у + З)2 = 17, проведенной в точке (2 ,1)?

60	ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

В задачах 792-812 найти производные функций у, заданных неявно.

	О	-2			1	1	1
792.	* - + f r = l .			793.	х 2 + у 2		= а2 .
794.	х3 + у3 - Ъаху = 0.			795.	у2 cos х = a2sin Зх.
796.	у9 - Зу + 2ах = 0.			797.	у2 -	2ху + Ь2 = 0.
798.	х4 + у4 = х2у2.			799.	х9 + ах2у + Ъху2 + у9 = 0.
800.	sin (ху) + cos (ху) = tg (х + у).					801.	2* + 2У= 2*+у.
802.	2у\пу = х.		803.	х - у = arcsin * -			arcsinу .
804.	ху = ух.		805.	у = cos (я + у).
806.	cos(xy) = х.			807.	2.	2.	1
					х 8 + у 8		= а 8 .
808.	у = 1 + хеу .			809.	xsin y -		cosy + cos2y = 0.
810.	t g f	=		811.	у s in * -c o s ( я - у ) = 0.

812.у = x + arctg у.

813.Убедиться в том, что функция у, определенная уравне

нием ху - In у = 1, удовлетворяет также соотношению

* 2 + ( * * - ! ) £ = 0.

Применения производной

814. На параболе у - х2 взяты две точки с абсциссами

хх = 1, х2 = 3. Через эти точки проведена1%Ьекущая. В какой

точке параболы касательная к ней будет параллельна проведен ной секущей?

815. Через фокус параболы проведена хорда, перпендику лярная к оси параболы. Через точки пересечения этой хорды с параболой проведены касательные. Доказать, что эти каса тельные пересекаются под прямым углом.

816. Составить уравнение касательной и нормали к гипербо

ле у = ~ в точке с абсциссой х = - j . Найти подкасательную и

поднормаль.

817. Показать, что отрезок касательной к гиперболе у = ■£,

заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 446 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf
#
20.11.20237.63 Mб16Сборник задач по общей физике.-1.pdf
#
12.11.20235.33 Mб27Сборник задач по общей физике..pdf
#
12.11.20236.71 Mб41Сборник задач по подземной гидравлике..pdf
#
12.11.202313.85 Mб14Сборник задач по разработке нефтяных месторождений..pdf